Simulador de refração — Lei de Snell

A luz incide na água a 30°. Encontre para onde ela vai e quanto é refletido — depois encontre o ângulo em que um peixe não consegue ver nada do exterior. n₁ = 1.00 (ar), n₂ = 1.33 (água).

1. A refração é uma afirmação sobre a componente da onda ao longo da superfície: ela deve coincidir de ambos os lados, caso contrário as frentes de onda rasgar-se-iam. Essa condição de correspondência é a lei de Snell, e decorre igualmente do princípio de Fermat.

   $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

2. Calcule o ângulo transmitido. O simulador acima mostra isto, e o raio desvia-se em direção à normal porque está a entrar no meio mais lento.

   $$\sin\theta_2=\frac{1.00\sin 30^\circ}{1.33}=0.3759\quad\Longrightarrow\quad \theta_2=22.08^\circ$$

3. Quanto se reflete é uma questão à parte que a lei de Snell não consegue responder — exige as equações de Fresnel, que tratam as duas polarizações de forma diferente.

   $$R_s=\left|\frac{n_1\cos\theta_1-n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}\right|^2,\quad R_p=\left|\frac{n_1\cos\theta_2-n_2\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_2+n_2\cos\theta_1}\right|^2$$

4. A luz não polarizada é uma mistura equitativa, por isso faça a média entre elas. A ferramenta apresenta este valor e, a 2%, é a razão pela qual uma janela é uma janela e não um espelho.

   $$R=\tfrac12(R_s+R_p)=2.11\%$$

5. Agora inverta o trajeto. Indo no sentido oposto — da água para o ar — existe um ângulo a partir do qual a equação exige que sin θ₂ > 1, o que não tem solução.

   $$\text{water}\to\text{air}:\quad \theta_c=\arcsin\frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}=\arcsin\frac{1.00}{1.33}=48.75^\circ$$

O painel desvia o raio para 22,08° e indica uma refletância de 2,11 %. Esse valor é a média de dois números que não mostra em separado — e num ângulo específico um deles é exatamente zero. Encontre-o.

1. Comece pela refração que o painel imprime, diretamente da lei de Snell a 30° para dentro de água.

   $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2:\quad \theta_2=\arcsin\!\left(\frac{1.00}{1.33}\sin30^\circ\right)=22.08^\circ$$

2. Olhe agora para o que a refletância realmente é. A luz tem duas polarizações relativamente à superfície, refletem-se em medidas diferentes, e 2,11 % é a média delas. Só vale a pena tirar médias quando as duas são comparáveis.

   $$R=\frac{R_s+R_p}{2}=2.11\%,\qquad R_s\neq R_p$$

3. Escreva o coeficiente de Fresnel da polarização paralela e pergunte quando o seu numerador se anula. É uma pergunta algébrica honesta, com resposta exata.

   $$R_p=\left|\frac{n_2\cos\theta_1-n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}\right|^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ n_2\cos\theta_1=n_1\cos\theta_2$$

4. Essa condição rearranja-se em algo notável: verifica-se exatamente quando os raios refletido e refratado saem perpendiculares entre si. Substituindo, tudo se reduz a uma única tangente.

   $$\theta_1+\theta_2=90^\circ\ \Longrightarrow\ \sin\theta_2=\cos\theta_1\ \Longrightarrow\ \tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$$

5. Meta a água. A 53,06° a componente paralela não reflete absolutamente nada, e tudo o que ressalta da superfície fica polarizado na outra direção.

   $$\theta_B=\arctan\!\left(\frac{1.33}{1.00}\right)=53.06^\circ,\qquad \theta_2=90^\circ-53.06^\circ=36.94^\circ$$

6. Repare onde isso fica em relação ao outro ângulo especial que a ferramenta conhece — a reflexão total interna, que vive do outro lado da fronteira e num ângulo menor.

   $$\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{1.00}{1.33}\right)=48.75^\circ\ <\ \theta_B$$