← Física

Drenagem de Tanques e Decaimento de Torricelli

tools.tank-drain.intro

A carregar a simulação interativa...

Um tanque a esvaziar não tem meia-vida

Toda a gente espera que isto decaia como um condensador carregado, e não decai. O caudal de saída segue √h e não h, pelo que o nível desce segundo H(1 − t/T)² — uma parábola que chega a zero num tempo finito. Ajuste uma exponencial ao mesmo instante de meio esvaziamento: quando este tanque está mesmo seco, ela ainda garante que restam 9,4%, e nunca se esvazia. É esta a diferença entre um ritmo fixado pela quantidade e um ritmo fixado pela sua raiz quadrada.

Quatro vezes a profundidade é o dobro da espera

T = (A / CdA₀)√(2H/g): o H está debaixo de uma raiz quadrada e as duas áreas não estão. Encha o mesmo tanque quatro vezes mais fundo e demora o dobro, não o quádruplo. Reduza o furo a metade e demora exatamente quatro vezes mais, porque a área acompanha o quadrado do diâmetro. Aqui a profundidade é o termo complacente e o furo é o impiedoso.

O furo é mais pequeno do que o furo que abriu

O coeficiente de descarga não é um fator de correção improvisado. A água que se aproxima de um orifício de aresta viva não consegue virar a esquina de um instante para o outro, por isso a veia continua a estreitar-se depois de deixar a parede e só atinge o mínimo verdadeiro um pouco mais à frente — a vena contracta. Um furo de aresta viva anda perto de 0,62, ou seja, a abertura efetiva não chega a dois terços daquela que abriu. Ponha Cd a 1 e o tanque esvazia-se em 62% do tempo real: é esse o tamanho do erro que comete ao confiar no desenho.

Problema resolvido na íntegra

  1. Por que a metade inferior de um barril demora 2,4 vezes mais que a superior 8 passos

    Um barril de 300 mm é preenchido com 1,00 m de água e abre-se um orifício de 10 mm no fundo. Quanto tempo o barril leva para esvaziar, e quanto desse tempo corresponde à metade final da água?

    1. Duas áreas sustentam todo o problema. A seção transversal do barril dita a quantos litros equivale um milímetro de nível. A área do orifício estipula a rapidez com que esses litros conseguem sair.

      A=πd24=π(0.30)24=0.0707 m2,a=π(0.010)24=7.85×10−5 m2A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.30)^2}{4} = 0.0707\ \mathrm{m^2}, \qquad a = \frac{\pi (0.010)^2}{4} = 7.85 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2}

    2. A velocidade no orifício obedece novamente à lei de Torricelli, definida pela carga hidrostática ainda restante acima dele. O coeficiente de descarga se faz presente porque o jato se contrai para cerca de 62% da área do buraco ao sair. Multiplique pela área do orifício para obter o volume por segundo. Em seguida, divida pela seção transversal do barril e encontrará a velocidade de queda do nível.

      dhdt=−Cd a 2ghA\frac{dh}{dt} = -\frac{C_d\,a\,\sqrt{2gh}}{A}

    3. A profundidade figura em ambos os membros da equação, então isole a variável e integre do nível máximo até o esvaziamento. Este é o único cálculo integral do problema. Todo o comportamento físico subsequente deriva dele.

      ∫H0dhh=−Cd a 2gA∫0Tdt⟹2H=Cd a 2gA T\int_H^0 \frac{dh}{\sqrt h} = -\frac{C_d\,a\,\sqrt{2g}}{A}\int_0^T dt \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt H = \frac{C_d\,a\,\sqrt{2g}}{A}\,T

    4. Reordenada a expressão, tem-se o tempo total de escoamento. Substituem-se então os valores numéricos.

      T=ACd a2Hg=0.07070.62×7.85×10−52×1.009.81=655.4 sT = \frac{A}{C_d\,a}\sqrt{\frac{2H}{g}} = \frac{0.0707}{0.62 \times 7.85 \times 10^{-5}}\sqrt{\frac{2 \times 1.00}{9.81}} = 655.4\ \mathrm{s}

    5. Ao interromper a mesma integral em uma profundidade h em vez de zero, e inverter a expressão, determina-se o nível em qualquer instante. Trata-se de uma parábola: ela chega a zero em T e lá permanece. Um capacitor nunca termina totalmente a sua descarga. Um barril sim, porque a última fração de água continua sendo empurrada pela última fração de profundidade.

      h(t)=H(1−tT)2h(t) = H\left(1 - \frac{t}{T}\right)^{2}

    6. Iguale o nível à metade e resolva a equação para encontrar o tempo. O resultado não é a metade de T.

      H2=H(1−tT)2⟹tT=1−12=0.293\frac{H}{2} = H\left(1 - \frac{t}{T}\right)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{T} = 1 - \frac{1}{\sqrt 2} = 0.293

    7. A metade superior se esvai em 29,3% do processo, o que reserva os 70,7% restantes à metade inferior. Nenhuma parte dessa proporção tem ciência da profundidade, do diâmetro, da gravidade ou do coeficiente de descarga.

      T−t1/2t1/2=1/21−1/2=1+2=2.414\frac{T - t_{1/2}}{t_{1/2}} = \frac{1/\sqrt 2}{1 - 1/\sqrt 2} = 1 + \sqrt 2 = 2.414

    8. A grandeza T carrega uma raiz quadrada de H e absolutamente mais nada a respeito da água. Portanto, preencher o mesmo barril até a marca de 2,00 m não duplica a espera. A duração apenas se multiplica por 1,414.

      T(2.00)T(1.00)=2.001.00=1.414⟹T=926.9 s\frac{T(2.00)}{T(1.00)} = \sqrt{\frac{2.00}{1.00}} = 1.414 \quad\Longrightarrow\quad T = 926.9\ \mathrm{s}

    Resposta

    655,4 segundos, e 70,7% deles recaem sobre a metade inferior. O nível cai de acordo com a expressão H(1 − t/T)². Essa parábola atinge o estado vazio em um tempo finito, opondo-se a uma curva exponencial que apenas o tangencia. Metade do volume de água se perde após 29,3% do escoamento. Isso obriga a metade de baixo a demorar 1 + √2 = 2,414 vezes mais que a de cima. Não existe tanque algum nesse número.

    T=ACd a2Hg  ∝  HT = \frac{A}{C_d\,a}\sqrt{\frac{2H}{g}} \;\propto\; \sqrt H

Percurso de aprendizagem

Água de um tanque: uma velocidade, dois destinos

Referências (1)
  • Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.