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Jatos de Efluxo de um Tanque

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O jato mais rápido não é o que vai mais longe

Compare as três velocidades com os três alcances. O furo de baixo é o mais rápido, a 4,20 m/s, e cai a 1,039 m. O de cima é o mais lento, a 2,43 m/s, e cai a 1,039 m — no mesmo sítio. O do meio, a 3,43 m/s, bate os dois com 1,200 m. A profundidade compra velocidade e paga-a em tempo de voo, e o produto dos dois é máximo algures no meio, não numa das pontas.

O alcance máximo é exatamente a profundidade da água

O alcance de um furo à profundidade y vale 2√(y(H − y)), é máximo em y = H/2 e aí vale H. Não perto de H. O painel marca 1,200 m para uma profundidade de 1,2 m e devolve-lhe a profundidade que puser, seja ela qual for. É também o que explica os pares: y e H − y dão o mesmo produto, por isso os furos a 0,30 m e a 0,90 m molham o mesmo ponto — que é o que a predefinição Furos Gêmeos Simétricos está a mostrar.

Na velocidade não há nada do líquido

Em v = √(2gy) não entra nenhuma densidade nem nenhuma viscosidade, por isso o mercúrio sai do furo à mesma velocidade que a água. O peso a mais que empurra o líquido pesado é exatamente a inércia a mais que o trava, e os dois anulam-se. A substância entra nesta página num único sítio: o coeficiente de velocidade. Ponha-o em 0,97 e o jato sai a 97% da velocidade ideal — esses 3% são todo o fluido real.

Problema resolvido na íntegra

  1. Dois furos, um único destino 6 passos

    Um tanque é mantido cheio até a marca de 1,20 m. Três furos são feitos em sua lateral, a 0,30 m, 0,60 m e 0,90 m acima da mesa em que ele se apoia. Calcule onde cada jato cai e determine a altura que lança a água mais longe.

    1. A água expelida por um furo é impulsionada apenas pela coluna de líquido acima dela. Essa pressão confere ao jato a exata velocidade que uma pedra teria após cair em queda livre por essa mesma distância. Este é o resultado de Torricelli. O furo mais baixo tem 0,90 m de água sobre ele.

      v=2gh=2×9.81×0.90=4.20 m/sv = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.90} = 4.20\ \mathrm{m/s}

    2. No ar, o jato é um projétil disparado horizontalmente. O seu tempo de voo é decidido unicamente pela distância que a água tem de cair. A profundidade acima do furo define a velocidade. A altura abaixo do furo dita o tempo.

      t=2yg=2×0.309.81=0.2473 st = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.30}{9.81}} = 0.2473\ \mathrm{s}

    3. Multiplique os dois fatores e g se cancela do resultado. Um jato na Lua sairia mais devagar e passaria mais tempo no ar, mas cairia exatamente no mesmo ponto.

      R=vt=2gh  2yg=2hy=20.90×0.30=1.039 mR = vt = \sqrt{2gh}\;\sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{hy} = 2\sqrt{0.90 \times 0.30} = 1.039\ \mathrm{m}

    4. O alcance enxerga apenas o produto da profundidade acima pela altura abaixo, e a soma desses dois valores resulta sempre em H. Trocar y por H − y não altera o produto. Assim, o furo a 0,90 m atira a água rigorosamente à mesma distância que o furo a 0,30 m.

      R(y)=2(H−y) y ⟹ R(0.90)=20.30×0.90=1.039 m=R(0.30)R(y) = 2\sqrt{(H-y)\,y}\ \Longrightarrow\ R(0.90) = 2\sqrt{0.30 \times 0.90} = 1.039\ \mathrm{m} = R(0.30)

    5. O produto de dois números com soma fixa atinge o máximo quando eles são iguais. Isso coloca o melhor orifício na exata metade da altura. A profundidade acima e a altura abaixo passam a valer H/2. O alcance resultante atinge o valor exato de H.

      max⁡y (H−y)y  ⟹  y=H2=0.60 m,Rmax⁡=2H2⋅H2=H=1.200 m\max_y\,(H-y)y \;\Longrightarrow\; y = \tfrac{H}{2} = 0.60\ \mathrm{m}, \qquad R_{\max} = 2\sqrt{\tfrac{H}{2}\cdot\tfrac{H}{2}} = H = 1.200\ \mathrm{m}

    6. Logo, nenhum tanque lança a água ao longo da mesa além de sua própria profundidade, independentemente do que você faça com a furadeira. E os jatos gêmeos atingem o mesmo ponto sem chegarem juntos: o fluxo superior voa por 0,4284 s contra os 0,2473 s do inferior. O piso molhado é atingido duas vezes, com 0,18 s de diferença.

      t0.90=2×0.909.81=0.4284 s,t0.90−t0.30=0.1810 st_{0.90} = \sqrt{\frac{2 \times 0.90}{9.81}} = 0.4284\ \mathrm{s}, \qquad t_{0.90} - t_{0.30} = 0.1810\ \mathrm{s}

    Resposta

    A água sai a 4,20 m/s do furo mais baixo, com queda a 1,039 m de distância. O orifício a 0,90 m também cai lá. O furo central alcança 1,200 m, que é a distância máxima que um tanque de 1,20 m consegue lançar. A equação R = 2√((H − y)y) não possui g e é simétrica em relação ao ponto médio. Portanto, cada furo exceto o central tem um parceiro na parede que atinge o mesmo local.

    R(y)=2(H−y) y  ≤  HR(y) = 2\sqrt{(H-y)\,y} \;\le\; H

Percurso de aprendizagem

Água de um tanque: uma velocidade, dois destinos

Referências (1)
  • Original formulation of Torricelli's law for liquid efflux speed from an orifice: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.