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Explorador de Pi por Monte Carlo

pontos aleatórios e comportamento de convergência

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por que o erro diminui tão devagar

O erro de Monte Carlo diminui proporcionalmente a 1/√N, não a 1/N — uma consequência do Teorema Central do Limite, já que a estimativa é uma média de N lançamentos independentes de "dentro/fora", cuja variância cai como 1/N. Essa raiz quadrada sai cara: ganhar mais uma casa decimal correta exige cerca de 100 vezes mais pontos, não 10 — por isso a nuvem de pontos pode parecer convincentemente circular muito antes de as casas decimais deixarem de oscilar. É também por isso que este método raramente é usado na prática só para calcular π — ele compensa em integrais de alta dimensão, onde os métodos determinísticos em grelha escalam exponencialmente com a dimensão, mas a taxa de 1/√N do Monte Carlo não depende do número de dimensões.

um valor fixo a partir do puro acaso

O curioso: π é um número fixo e exato e, ainda assim, esta ferramenta o determina usando apenas o acaso. Cada ponto individual cai de forma imprevisível, dentro ou fora do círculo por pura sorte. Mas a média acumulada se comporta — a lei dos grandes números garante que, ao acrescentar pontos, a fração ruidosa se assenta em um valor estável. A lição: o acaso, promediado em massa, torna-se um instrumento de medida confiável.

a agulha que trapaceou

Muito antes dos pontos na tela, a agulha de Buffon (1777) estimava π deixando cair agulhas sobre linhas igualmente espaçadas — possivelmente o primeiro experimento de Monte Carlo. Em 1901, Mario Lazzarini afirmou que 3,408 lançamentos davam π = 3.1415929, exato até a sexta casa decimal. O detalhe: isso é exatamente 355/113, uma famosa aproximação antiga, e 3,408 é suspeitosamente o número preciso de arremessos necessário para acertá-lo — quase com certeza ele parou no instante em que o acaso coincidiu com o alvo.

Problema resolvido na íntegra

  1. Avaliação de se 3,122 é uma má execução a partir de 2000 pontos 5 passos

    3,122 é uma má execução? O estado predefinido gera N = 2000 pontos a partir da semente 42, e 1561 deles caem dentro do quarto de círculo. Calcule qual teria sido uma contagem normal antes de julgar a estimativa.

    1. Cada ponto é uma tentativa que tem sucesso se cair no quarto de disco, e como o quadrado envolvente tem área 1, a probabilidade de sucesso é diretamente essa área. Ao longo de 2000 tentativas independentes, a contagem é binomial, e a média de uma distribuição binomial é o número de tentativas multiplicado pela probabilidade.

      p=π/41=0.7853982,E ⁣[Nin]=Np=2000×0.7853982=1570.80p=\frac{\pi/4}{1}=0.7853982,\qquad \mathbb{E}\!\left[N_{\mathrm{in}}\right]=Np=2000\times0.7853982=1570.80

    2. Estes mesmos dois números determinam a dispersão. A contagem observada fica a menos de dez unidades do valor esperado, o que é escassamente meio desvio padrão, pelo que esta semente é comum — algo que convém estabelecer antes de lhe atribuir qualquer culpa.

      σNin=Np(1−p)=337.10=18.360,z=1561−1570.8018.360=−0.534\sigma_{N_{\mathrm{in}}}=\sqrt{Np(1-p)}=\sqrt{337.10}=18.360,\qquad z=\frac{1561-1570.80}{18.360}=-0.534

    3. A estimativa é a contagem multiplicada por uma constante fixa, pelo que o seu desvio padrão é o da contagem multiplicado por essa mesma constante. É aqui que entra o bem conhecido 1/√N: a dispersão da contagem cresce como √N, enquanto a divisão é feita por N.

      π^=4NinN ⟹ σπ^=4N σNin=4×18.3602000=0.036720\hat\pi=\frac{4N_{\mathrm{in}}}{N}\ \Longrightarrow\ \sigma_{\hat\pi}=\frac{4}{N}\,\sigma_{N_{\mathrm{in}}}=\frac{4\times18.360}{2000}=0.036720

    4. O erro apresentado tem de corresponder aos mesmos 0,53 desvios padrão, porque multiplicar por uma constante não pode deslocar um valor em relação à sua própria dispersão. Trata-se de um único facto expresso em duas unidades, e não de dois factos.

      ∣π^−π∣=∣3.122000−3.141593∣=0.019593=0.534 σπ^\left|\hat\pi-\pi\right|=\left|3.122000-3.141593\right|=0.019593=0.534\,\sigma_{\hat\pi}

    5. Agora a parte que nenhuma semente consegue corrigir. Quatro vezes um inteiro sobre 2000 é sempre um múltiplo de 0,002, e π é irracional, pelo que nunca coincide com nenhum desses valores — o erro não pode chegar a zero, e o ponto mais próximo em que o estimador pode fisicamente aterrar fica a um passo da grelha.

      π^∈42000Z=0.002 Z:min⁡k∣4k2000−π∣=∣3.142−3.141593∣=4.073×10−4\hat\pi\in\tfrac{4}{2000}\mathbb{Z}=0.002\,\mathbb{Z}:\quad \min_{k}\left|\frac{4k}{2000}-\pi\right|=\left|3.142-3.141593\right|=4.073\times10^{-4}

    Resposta

    A ferramenta apresenta 1561 pontos no interior, uma estimativa de 3,122000 e um erro de 1,959 × 10⁻² em relação a 3,141593. Um erro típico para N = 2000 é 0,0367, pelo que esta execução é melhor do que a média, e não pior, e cerca de três em cada cinco sementes teriam um desempenho pior do que a 42. O limite inferior do passo 5 é 4,073 × 10⁻⁴: nenhuma semente com este N o consegue superar, porque nada do que a fórmula pode produzir se situa mais próximo de π do que isso. É 90 vezes menor do que o erro típico, pelo que a grelha não é de todo o fator limitante, e a diferença aumenta com N em vez de diminuir — o limite inferior diminui como 1/N enquanto o erro aleatório diminui apenas como 1/√N. Isso esclarece também uma afirmação com que se cruzará sobre este método: seis casas decimais corretas a partir de um par de milhares de tentativas não é uma execução de sorte, mas sim aritmeticamente inalcançável, uma vez que para N = 2000 nada do que o estimador produz é correto sequer até à quarta casa decimal.

    σπ^=4p(1−p)N=1.6422Nvsδmin⁡≤2N\sigma_{\hat\pi}=\frac{4\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt N}=\frac{1.6422}{\sqrt N}\quad\text{vs}\quad \delta_{\min}\le\frac{2}{N}
Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.