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Explorador do teorema central do limite

observe as médias amostrais assumirem forma de sino

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Por que as médias se tornam normais mesmo a partir de fontes estranhas

As médias aproximam-se da normal porque calcular médias sucessivas equivale a repetir convoluções, salvo uma mudança de escala, e a convolução reiterada de uma distribuição consigo própria acaba por suavizar as suas irregularidades. Depois de eliminar o efeito da largura por reescalamento, a assimetria e os picos vão diminuindo, mas a dispersão mantém-se; por isso, o resultado parece cada vez mais gaussiano, seja qual for a distribuição de partida. A única condição essencial é que a variância seja finita. Uma distribuição uniforme, uma exponencial e uma bimodal com dois picos tendem todas para a mesma curva em forma de sino, embora a ritmos diferentes. Foi assim que n = 30 se tornou uma regra prática informal da estatística, e não um limiar exato.

A lei da raiz quadrada por trás do estreitamento

À medida que você continua a extrair, o histograma das médias não só fica mais suave: fica mais estreito. Sua dispersão é o erro padrão σ/√n, de modo que a precisão melhora apenas com a raiz quadrada do tamanho da amostra — para reduzir a largura à metade é preciso quadruplicar n. Esse é o cerne prático do teorema: amostras maiores fixam a média com mais exatidão, mas com retornos cada vez menores.

A distribuição que quebra o teorema

O teorema pressupõe silenciosamente uma variância finita, e um famoso fora da lei a viola: a distribuição de Cauchy, a razão entre duas normais padrão. Calcule a média de um milhão de extrações de Cauchy e o resultado segue exatamente a mesma curva de Cauchy de uma única extração — o sino nunca surge e mais dados não servem de nada. Suas caudas são tão pesadas que um único valor monstruoso pode dominar qualquer média, por maior que seja.

Problema resolvido na íntegra

  1. A regra n = 30 para uma fonte uniforme em [0, 1] 5 passos

    Sobre o que é na realidade a regra n = 30? Este é o estado predefinido: uma fonte Uniforme em [0, 1] com dimensão da amostra n = 30.

    1. A fonte uniforme é plana em [0, 1], pelo que a sua média se situa no ponto médio e a sua variância é o segundo momento menos o quadrado dessa média. Todos os números apresentados abaixo decorrem deste valor.

      μ=12,σ2=∫01x2 dx−μ2=13−14=112,σ=112=0.288675\mu=\tfrac12,\qquad \sigma^{2}=\int_0^1 x^{2}\,dx-\mu^{2}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac1{12},\qquad \sigma=\tfrac{1}{\sqrt{12}}=0.288675

    2. O erro padrão decorre da variância e de mais nada. Não necessita que a fonte seja simétrica, nem em forma de sino, nem que n seja grande — a fórmula é exata quer para n = 1 quer para n = 30, e o único facto de que se serve é que as variâncias de grandezas independentes se somam.

      σXˉ=σn=0.28867530=0.2886755.477226=0.052705\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{0.288675}{\sqrt{30}}=\frac{0.288675}{5.477226}=0.052705

    3. Portanto, a largura nunca foi assunto do teorema. A forma é que é, e a medida padrão de uma assimetria é o coeficiente de assimetria. Os terceiros momentos centrais somam-se para extrações independentes tal como as variâncias, e a assimetria é construída para resistir a uma alteração de escala do eixo, pelo que juntar ambas as propriedades faz com que a assimetria da média diminua segundo 1/√n.

      μ3 ⁣(∑i=1nXi)=nμ3,σ ⁣(∑i=1nXi)=σn ⟹ γ1(Xˉ)=nμ3(σn)3=γ1n\mu_3\!\left(\textstyle\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=n\mu_3,\quad \sigma\!\left(\textstyle\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sigma\sqrt n\ \Longrightarrow\ \gamma_1(\bar X)=\frac{n\mu_3}{\left(\sigma\sqrt n\right)^{3}}=\frac{\gamma_1}{\sqrt n}

    4. As fontes da ferramenta partem de assimetrias muito diferentes. Uma fonte uniforme não tem assimetria a perder, pelo que a sua média amostral é simétrica para todo o n, n = 1 incluído; uma fonte exponencial começa com uma assimetria de 2 e continua inclinada à direita para n = 30.

      U(0,1): γ1=0 ⇒ γ1(Xˉ)=0  ∀n;Exp(1): γ1=2 ⇒ 230=0.3651U(0,1):\ \gamma_1=0\ \Rightarrow\ \gamma_1(\bar X)=0\ \ \forall n;\qquad \mathrm{Exp}(1):\ \gamma_1=2\ \Rightarrow\ \frac{2}{\sqrt{30}}=0.3651

    5. Aplique a mesma relação no sentido inverso para uma assimetria suficientemente pequena para ser ignorada.

      2n≤0.1 ⟹ n≥400\frac{2}{\sqrt n}\le0.1\ \Longrightarrow\ n\ge400

    Resposta

    A tabela apresenta uma média da distribuição de partida igual a 0,5 e um erro-padrão de 0,052705; para reproduzir estes valores, bastou usar a variância 1/12. Os últimos três passos esclarecem que esta linha não resulta do teorema: o erro-padrão é exato para qualquer n e qualquer distribuição com variância finita. O aumento de n melhora a forma.

    A distribuição uniforme já é simétrica, pelo que elevar n para 30 não reduz a sua assimetria. Neste exemplo predefinido, a regra prática de n = 30 não acrescenta nada. Com uma distribuição exponencial e n = 30, a assimetria ainda é 0,365; para a reduzir a menos de 0,1, é necessário n = 400.

    A distribuição bimodal parece a menos normal das três, mas converge quase tão depressa como a uniforme. Também é simétrica, logo a sua assimetria vale 0 para todo o n. A curtose em excesso, inicialmente −1,28, diminui proporcionalmente a 1/n e chega a −0,043 quando n = 30, enquanto a da uniforme é −0,040. Nenhum destes três valores aparece numa linha da tabela, por isso a convergência só pode ser observada no histograma.

    σXˉ=σn=0.052705,γ1(Xˉ)=γ1n,γ2(Xˉ)=γ2n\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}=0.052705,\qquad \gamma_1(\bar X)=\frac{\gamma_1}{\sqrt n},\qquad \gamma_2(\bar X)=\frac{\gamma_2}{n}

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Referências (1)
  • Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.