O Problema de Monty Hall

Um carro e algumas cabras atrás de portas fechadas. Escolha uma porta, deixe o apresentador abrir outras e decida se quer trocar. A página calcula a probabilidade atrás de cada porta com base na regra do apresentador e no que ele fez, simula milhares de jogos para o verificar ou permite que jogue você mesmo. A tabela abaixo mostra a aritmética.

Regra de Bayes, a ação do apresentador como evidência	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
O apresentador que sabe onde está o carro e abre ao acaso k portas com cabras	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

Exemplo resolvido — O Problema de Monty Hall

A priori, cada porta	1/3
Verossimilhança, Porta 1 · sua escolha	1/2
Verossimilhança, Porta 2 · fechada	1
Verossimilhança, Porta 3 · aberta	0 · cabra mostrada
Evidência	1/2
A posteriori, Porta 1 · sua escolha	1/3
A posteriori, Porta 2 · fechada	2/3
A posteriori, Porta 3 · aberta	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Problema de Monty Hall

A probabilidade de o carro se encontrar atrás de uma determinada porta, após a intervenção do apresentador, calcula-se pela regra de Bayes: a probabilidade a priori dessa porta, 1 ÷ n, multiplicada pela verossimilhança de o apresentador agir exatamente como agiu caso o carro estivesse ali, a dividir pela probabilidade total dessa mesma ação.

O que significa cada símbolo

n: o número de portas
k: o número de portas que o apresentador abre
P(H | C_i): a verossimilhança: a probabilidade de o apresentador fazer o que fez se o carro estiver atrás da porta i
P(C_i | H): a posteriori: a probabilidade de o carro estar atrás da porta i após ver o que o apresentador fez

De onde vem a fórmula

Identifique as hipóteses e atribua a probabilidade a priori a cada uma. C_i representa o carro estar atrás da porta i; antes da intervenção do apresentador, todas as portas são equiprováveis.
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
Determine a probabilidade da jogada H do apresentador sob cada hipótese. É o único passo em que a regra dele intervém. Para o apresentador que sabe onde está o carro e abre ao acaso k portas com cabras de entre as que pode abrir, designando por d₀ a sua porta e por O o conjunto das portas que ele abriu:
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
Some as parcelas para achar a probabilidade total da ação observada.
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
Divida o produto do a priori pela verossimilhança por esse total. Para o apresentador que sabe onde está o carro, a sua porta mantém 1/n sejam quais forem as portas que ele abra, cabendo a cada uma das outras m = n − 1 − k portas fechadas (n − 1)/(nm).
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

Problemas resolvidos na íntegra

As três portas, pela regra de Bayes 4 passos
Você escolhe a porta 1. O apresentador, que sabe onde está o carro e abre sempre uma porta com cabra, escolhendo ao acaso quando tem opção, abre a porta 3. Calcule a probabilidade de o carro estar atrás da porta 1 e atrás da porta 2. Pressione Três portas para verificar.

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1. Antes de ele agir, cada porta é igualmente provável:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Qual a probabilidade de ele abrir a porta 3 para cada lugar onde o carro poderia estar?
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. A probabilidade total de ele abrir a porta 3:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. Divida a a priori de cada porta vezes a sua verossimilhança por esse total:
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Resposta

O carro está atrás da porta 1 com probabilidade 1/3 e atrás da porta 2 com probabilidade 2/3. A resposta inteira reside no segundo passo: se o carro estiver atrás da porta 2, ele é forçado a abrir a porta 3, e se estiver atrás da porta 1, ele abre a porta 3 apenas metade das vezes; assim, abrir a porta 3 é duas vezes mais provável se o carro estiver atrás da porta 2.

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
Quatro portas, uma aberta 5 passos
Quatro portas. Escolhe a porta 1 e o apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras portas que esconde uma cabra, escolhendo ao acaso sempre que tem opção. Ele abre a porta 4. Calcule a probabilidade de o carro estar atrás de cada porta fechada e confirme o resultado contando os casos antes de ele intervir.

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1. Antes de ele agir:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. Qual é a probabilidade de ele abrir a porta 4 para cada uma das posições possíveis do carro? Se o carro estiver atrás da porta 1, sobram-lhe três portas com cabras por onde escolher; atrás da porta 2 ou da porta 3, apenas duas:
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. A probabilidade total de ele abrir a porta 4:
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. Dividindo o produto do a priori pela verossimilhança de cada porta por esse total:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. O mesmo resultado sem recorrer a Bayes: mudar para uma porta fechada ao acaso só dá a vitória se a escolha inicial tiver sido errada, o que acontece com probabilidade 3/4; o carro estará então atrás de uma das duas portas fechadas restantes:
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
Resposta

A porta 1 mantém 1/4; as portas 2 e 3 ficam com 3/8 cada. Mudar compensa em relação a manter. No entanto, a probabilidade de 3/4 que as portas 2, 3 e 4 partilhavam entre si divide-se agora por apenas duas portas, pelo que nenhuma atinge essa fasquia isolada.

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
Um apresentador que não sabe 4 passos
Três portas; escolhe a porta 1. Este apresentador não sabe onde está o carro: abre a porta 2 ou a porta 3 ao acaso, e por sorte a porta 3 revela uma cabra. Calcule a probabilidade de o carro estar atrás da porta 1 e atrás da porta 2. Prima Apresentador não sabe para verificar.

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1. Antes de ele agir:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Seja H₃ a abertura da porta 3 revelando uma cabra. Com o carro atrás da porta 1 ou da porta 2, o apresentador abre a porta 3 metade das vezes e surge uma cabra. Com o carro atrás da porta 3, abri-la mostraria o carro, pelo que H₃ não pode acontecer:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. A probabilidade total de H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. Divida:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
Resposta

1/2 e 1/2. A porta aberta e a cabra são exatamente as mesmas do primeiro problema. Mudou apenas a verossimilhança para a porta 2, que passou de 1 para 1/2, porque este apresentador nunca foi obrigado a evitar o carro.

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
Um apresentador com uma porta favorita 5 passos
Três portas; escolhe a porta 1 e o apresentador sabe onde está o carro. Quando o carro está atrás da porta 1, podendo ele abrir a porta 2 ou a porta 3, abre a porta 2 com probabilidade p. Calcule a probabilidade de ganhar ao mudar de porta se ele abrir a porta 2 e se abrir a porta 3. Depois tome p = 1: o apresentador que abre sempre a porta com cabra de menor número. Prima Enviesado abre a 2 para verificar p = 1.

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1. Antes de ele agir:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. A verossimilhança de cada jogada. Com o carro atrás da porta 2 ou da porta 3, ele não tem escolha:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. A probabilidade total de cada jogada:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. Divida. Mudar após a porta 2 significa escolher a porta 3; após a porta 3, significa escolher a porta 2:
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. Com p = 1:
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
Resposta

Mudar de porta vence com probabilidade 1/(1 + p) após a porta 2 e 1/(2 − p) após a porta 3. Ambas são no mínimo 1/2 para qualquer p de 0 a 1, logo mudar nunca é pior do que manter, qualquer que seja a preferência dele. Com p = 1 valem 1/2 e 1; com p = 1/2, o caso do primeiro problema, ambas voltam a ser 2/3.

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
Quando a proposta é a evidência 5 passos
Três portas; escolhe a porta 1. Se acertar no carro, o apresentador oferece sempre a troca; se escolher uma cabra, oferece a troca com probabilidade q. Sempre que faz a proposta, abre uma porta com cabra, ao acaso se houver duas. Ele faz a proposta e abre a porta 3. Para que valores de q deve trocar? O Monty Hell é q = 0: prima Monty Hell para verificar.

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1. Antes de ele agir:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. H₃ passa a representar uma proposta com a porta 3 aberta. Com o carro atrás da porta 1, ele faz a proposta com toda a certeza e abre a porta 3 metade das vezes; atrás da porta 2, faz a proposta com probabilidade q e é obrigado a abrir a porta 3; atrás da porta 3, não a pode abrir:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. A probabilidade total de H₃:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. Divida:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. Compare as duas portas fechadas:
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
Resposta

Mude quando q > 1/2 e mantenha a porta quando q < 1/2; em q = 1/2 as escolhas equivalem-se. O apresentador que propõe sempre a troca, q = 1, confere à mudança uma probabilidade de 2/3; já o Monty Hell, com q = 0, anula-a por completo. A própria proposta funciona como evidência: vinda de quem só a oferece a um palpite errado menos de metade das vezes em relação a um acerto, o sinal é para manter.

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
As caixas de Bertrand 4 passos
Três caixas contêm duas moedas de ouro, duas moedas de prata e uma de cada metal. Escolhe uma caixa ao acaso e retira, também ao acaso, uma das suas moedas. É de ouro. Calcule a probabilidade de a outra moeda dessa caixa ser igualmente de ouro.
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1. Designemos as caixas por GG, SS e GS. Antes da extração:
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. Qual é a probabilidade de extrair uma moeda de ouro de cada caixa?
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. A probabilidade total de extrair ouro:
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. Divida:
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Resposta

2/3, e não o 1/2 que resultaria de contar apenas as duas caixas que podiam conter ouro. A caixa com duas moedas de ouro dá ouro em todas as extrações, ao passo que a mista só o faz em metade dos casos; por isso, é duas vezes mais provável que a moeda tenha vindo da primeira. Joseph Bertrand propôs este problema no seu Calcul des probabilités de 1889, 86 anos antes de Steve Selvin apresentar as três portas aos leitores de The American Statistician.

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

Problemas suplementares, só com a resposta

Três prisioneiros, A, B e C, sabem que um deles, escolhido ao acaso, será perdoado. O prisioneiro A pede ao guarda que nomeie um dos outros dois que será executado; se ambos forem condenados, o guarda escolhe um ao acaso. O guarda nomeia B. Calcule a probabilidade de A ser perdoado e de C ser perdoado.

Mostrar resposta

1/3 e 2/3. É o problema das três portas, com o guarda no papel de apresentador.

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
Cem portas. O apresentador, sabendo onde está o carro, abre 98 das 99 portas que não escolheu, todas com cabras. Calcule a probabilidade da sua porta e daquela que ele deixou fechada.

Mostrar resposta

1/100 e 99/100.

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
Cinco portas. O apresentador, conhecendo o conteúdo, abre ao acaso duas portas com cabras de entre as quatro que não escolheu. Calcule a probabilidade da sua porta e de cada uma das outras duas portas fechadas.

Mostrar resposta

1/5, e 2/5 cada.

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
Dez portas. Um apresentador desinformado abre ao acaso 8 das 9 portas que não escolheu, e todas as 8 escondem cabras. Calcule a probabilidade da sua porta e da outra porta fechada, bem como a probabilidade de um apresentador assim mostrar 8 cabras.

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1/2 e 1/2; ele mostra 8 cabras com probabilidade 1/5.

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
No problema do apresentador com uma porta favorita, considere p = 1/3. Ele abre a porta 3. Calcule a probabilidade de ganhar ao mudar de porta.

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1/(2 − 1/3) = 3/5.

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
Mil jogos com o apresentador que sabe onde está o carro. Entre que duas taxas deve situar-se a proporção de vitórias da troca em 95% das vezes?

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2/3 ± 1,96 √((2/3 · 1/3)/1000): de 63,74% a 69,59%.

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

Trocar ganha duas vezes em três

Pressione Três portas. Você escolhe a porta 1, que tem uma probabilidade de um em três de esconder o carro. Nada do que este apresentador faz pode alterar isso. Ele abriria a porta 3 metade das vezes se o carro estivesse atrás da sua porta, e quando tem opção escolhe ao acaso, logo a sua jogada não traz novidades sobre a porta 1. Ele abre a porta 3 e mostra uma cabra. A probabilidade de dois em três de o carro estar na porta 2 ou na porta 3 recai agora inteiramente sobre a porta 2, por isso trocar ganha 2 vezes em 3. Pressione 100 portas e tudo fica claro. Você escolheu uma porta em cem, o apresentador abre 98 das restantes para revelar cabras, e a única porta que ele deixa fechada é a que deve escolher, 99 vezes em 100. Em 1990, Marilyn vos Savant deu a resposta das três portas na sua coluna da revista Parade e recebeu milhares de cartas a dizer que estava errada, muitas delas assinadas por pessoas com doutoramento.

A mesma visão dá uma resposta diferente se o apresentador não sabia

Pressione Apresentador não sabe. Vê exatamente o que viu antes: porta 1 escolhida, porta 3 aberta, uma cabra. Mas este apresentador abriu uma porta ao acaso e por sorte não revelou o carro, e agora manter e trocar ganham ambas 1 vez em 2. A probabilidade depende da regra que produziu o que está a ver e não apenas do que vê. Um apresentador que sabe, que é obrigado a mostrar uma cabra e que escolhe ao acaso quando pode, não lhe revela nada sobre a sua própria porta. Toda a probabilidade que ele retira da porta 3 transita para a porta 2. Um apresentador que abrisse a porta 3 ao acaso teria mostrado lá uma cabra com a mesma frequência se o carro estivesse atrás da porta 1 ou da porta 2, por isso a cabra não favorece nenhuma das duas.

A porta que ele abre pode ser toda a resposta

Pressione Enviesado abre a 2. Este apresentador abre sempre a porta com cabra de menor número que puder. A porta 2 é a que ele abriria quer o carro estivesse atrás da porta 1 ou da porta 3. Portanto, vê-la não favorece nenhuma, e manter ou trocar valem 1 em 2. Pressione Enviesado abre a 3: ele ignorou a porta 2, o que só faria se o carro estivesse lá, por isso trocar ganha sempre. Feita a média ao longo dos jogos, sendo metade em dois terços das vezes e uma certeza num terço das vezes, trocar continua a ganhar 2 vezes em 3. Monty Hell é o apresentador que só oferece a troca quando você já encontrou o carro, e perante a oferta, trocar perde sempre.

Percurso de aprendizagem

Escolher com base no que se vê

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.