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Bloch-Kugel-Explorer

Ein-Qubit-Zustände, Basismessungen und Gatter-Rotationen auf der Bloch-Kugel

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Bei δ = π löschen sich die beiden Hälften exakt aus

Auf dem Äquator ist der Zustand eine gleichmäßige Aufteilung von |0⟩ und |1⟩, eine Z-Messung ist also ein Münzwurf, ganz gleich was die Phase tut. Trotzdem entscheidet die Phase alles – sie zeigt sich nur in der X- und Y-Basis. Das Zeiger-Panel macht es sichtbar: Es zeichnet A = 1 + eiδ und lässt δ von selbst durchlaufen, als Animation und nicht als Bedienelement. Die Amplitude ist |A| = 2cos(δ/2), die Wahrscheinlichkeit folgt also cos²(δ/2): volle 100 % bei δ = 0, genau 50 % bei δ = π/2 und eine saubere Null bei δ = π, wo zwei Einheitszeiger in entgegengesetzte Richtungen weisen und sich zu nichts addieren. Gleiche Besetzungen, entgegengesetztes Ergebnis – diese Auslöschung ist die Ressource, die jeder Quantenalgorithmus ausgibt.

Ein Qubit passt auf einen Globus

Der gesamte Zustand eines einzelnen Qubits ist nur ein Punkt auf der Oberfläche dieser Kugel. Der Nordpol ist |0⟩, der Südpol ist |1⟩, und alles dazwischen ist eine Superposition. Der Breitengrad (θ) legt fest, wie sich die Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 aufteilen — die Pole bedeuten Gewissheit, der Äquator eine 50/50-Münze —, während der Längengrad (φ) die Phase bestimmt. Praktisch heißt das: Eine Messung in der Z-Basis fragt einfach, zu welcher Hemisphäre dein Punkt neigt.

720° bis man wieder daheim ist

Beachte den halben Winkel: Der Zustand verwendet cos(θ/2), nicht cos(θ). Dieser Faktor zwei ist das Kennzeichen einer tiefen Verbindung — 3D-Drehungen bilden die Gruppe SO(3), doch der wahre Zustandsraum eines Qubits ist SU(2), die sich zweimal um sie windet. Die Folge ist verblüffend: Dreht man ein Qubit volle 360°, kippt sein Zustandsvektor zu -|ψ⟩, statt zurückzukehren; erst eine zweite Umdrehung, volle 720°, stellt ihn wieder her. Jedes Elektron zeigt dieses Spinor-Verhalten, veranschaulicht durch Diracs Gürteltrick.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein Qubit bei θ = 90°, das wie eine Münze 50/50 liefert 5 Schritte

    Ein Qubit bei θ = 90° zeigt 50/50. Das sieht aus wie eine Münze. Finde heraus, warum das nicht so ist — und wo die Gewissheit geblieben ist.

    1. Ein reiner Qubit-Zustand besteht aus zwei Winkeln auf einer Kugel. θ bestimmt, wie sich die Wahrscheinlichkeit zwischen |0⟩ und |1⟩ aufteilt; φ legt eine Phase fest, die die Z-Messung überhaupt nicht sehen kann.

      ∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiϕsin⁡θ2∣1⟩,θ=π2, ϕ=0|\psi\rangle=\cos\tfrac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\phi}\sin\tfrac{\theta}{2}|1\rangle,\qquad \theta=\tfrac{\pi}{2},\ \phi=0

    2. Bei θ = 90° sind die beiden Kosinusse gleich, sodass beide Ergebnisse genau die Hälfte betragen. In der Z-Basis gemessen ist dies tatsächlich nicht von einer fairen Münze zu unterscheiden.

      P(∣0⟩)=cos⁡2π4=0.5,P(∣1⟩)=sin⁡2π4=0.5P(|0\rangle)=\cos^2\tfrac{\pi}{4}=0.5,\qquad P(|1\rangle)=\sin^2\tfrac{\pi}{4}=0.5

    3. Aber der Zustand enthält mehr als diese zwei Wahrscheinlichkeiten. Der Bloch-Vektor zeigt entlang +x, und seine Länge ist 1.

      b⃗=(sin⁡θcos⁡ϕ, sin⁡θsin⁡ϕ, cos⁡θ)=(1, 0, 0)\vec{b}=(\sin\theta\cos\phi,\ \sin\theta\sin\phi,\ \cos\theta)=(1,\,0,\,0)

    4. Länge 1 bedeutet, dass der Zustand rein ist — er liegt auf der Oberfläche der Kugel. Eine echt zufällige Münze wäre ein gemischter Zustand im Zentrum mit der Länge 0, und beide ergeben 50/50 in Z.

      ∣b⃗∣=1⟹a PURE state lies on the surface, not inside|\vec{b}|=1\quad\Longrightarrow\quad \text{a PURE state lies on the surface, not inside}

    5. Der Unterschied zeigt sich in einer anderen Basis. Dieser Zustand ist |+⟩, und eine Messung entlang x liefert jedes Mal mit Gewissheit +.

      this is ∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩): random in Z, certain in X\text{this is}\ |+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right):\ \text{random in }Z,\ \text{certain in }X

    Antwort

    Das Werkzeug gibt 50,00% für beide Ergebnisse mit einem Bloch-Vektor von (1, 0, 0) aus. Die Lehre daraus ist, dass 50/50 eine Aussage über die gewählte Basis ist, nicht über den Zustand. Eine Münze ist in jeder Basis zufällig; dieses Qubit ist in einer Basis zufällig und in einer anderen vollständig bestimmt, und auf der Oberfläche der Kugel wird genau dieser Unterschied sichtbar. Schalte die Basisauswahl von Z auf X um und beobachte, wie derselbe Zustand 100/0 anzeigt, ohne dass sich irgendetwas an ihm geändert hat.

    50/50 is a statement about the BASIS, not about the state50/50\ \text{is a statement about the BASIS, not about the state}
Quellen (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.