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Rechner für komplexe Zahlen

Gib z₁ und z₂ ein und wähle eine Rechenart. Bei handlichen ganzen Zahlen sind die Ergebnisse exakt: ein Quotient als Bruch, der Betrag als Wurzel und das Argument als Vielfaches von π, wo immer das zutrifft.

Multiplikation i2=−1(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}&i^{2}=-1\\&(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
Division a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}
Betrag und Argument z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,tan⁡θ=ba−180∘<θ≤180∘\begin{aligned}&z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad\tan\theta=\frac{b}{a}\\&-180^{\circ}<\theta\le180^{\circ}\end{aligned}
Produkte und Quotienten ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\begin{aligned}&|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\\&\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}\end{aligned}
Satz von de Moivre [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
Die n-ten Wurzeln wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ⇒wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\\&w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}
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Lektion

Die Theorie — Rechner für komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi mit reellen Zahlen a und b sowie i² = −1. a ist ihr Realteil, b ihr Imaginärteil; in der Gaußschen Zahlenebene entspricht z dem Punkt (a, b).

Woher die Formel kommt

  1. Rechne wie in der Algebra und ersetze am Ende i² durch −1. Klammern multiplizierst du wie gewohnt aus. Der Term mit i² wechselt das Vorzeichen und wandert in den Realteil.
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^{2}\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
  2. Dividiere mit der Konjugierten. (c + di)(c − di) ergibt c² + d², also eine reelle Zahl. Erweiterst du Zähler und Nenner mit dem konjugierten Nenner, wird dieser reell – danach teilst du Real- und Imaginärteil getrennt.
    (c+di)(c−di)=c2+d2a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\begin{aligned}&(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}\\&\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\end{aligned}
  3. Bestimme Betrag und Argument. Der Betrag r ist der Abstand zum Nullpunkt, das Argument θ der Winkel zur positiven reellen Achse, gewählt zwischen −180° und 180°. Ist a < 0, zeigt tan⁻¹(b/a) in den gegenüberliegenden Quadranten; addiere oder subtrahiere dann 180°.
    r=a2+b2,θ=tan⁡−1ba  (a>0)θ=tan⁡−1ba±180∘  (a<0)\begin{aligned}&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\ \ (a>0)\\&\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\pm180^{\circ}\ \ (a<0)\end{aligned}
  4. Multipliziere in Polarform. Beim Ausmultiplizieren zeigen sich die Additionstheoreme: Die Beträge multiplizieren sich, die Argumente addieren sich. Für n gleiche Faktoren liefert das den Satz von de Moivre.
    r1(cos⁡α+isin⁡α)⋅r2(cos⁡β+isin⁡β)=r1r2[(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)]=r1r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))⇒ [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=r_{1}r_{2}\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&\qquad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\big]\\&=r_{1}r_{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\\&\Rightarrow\ \left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&\qquad=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
  5. Nutze de Moivre rückwärts für Wurzeln. wⁿ = z legt den Betrag von w als n-te Wurzel aus r fest, den Winkel allerdings nur bis auf ganze Umdrehungen. θ, θ + 360°, θ + 720°, … beschreiben alle denselben Punkt z. Geteilt durch n liefern sie n verschiedene Wurzeln im Abstand von 360°/n.
    wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ)⇒ wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&\Rightarrow\ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}

Aufgaben vollständig gelöst

  1. Multiplizieren 3 Schritte

    Bringe (4 − 3i)(2 + 5i) in die Form a + bi.

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    1. Multipliziere die beiden Klammern aus.

      (4−3i)(2+5i)=8+20i−6i−15i2(4-3i)(2+5i)=8+20i-6i-15i^{2}

    2. Ersetze i² durch −1. Der letzte Term wechselt das Vorzeichen und wandert in den Realteil.

      =8+15+14i=23+14i=8+15+14i=23+14i

    3. Eine Probe in einer Zeile: Der Betrag eines Produkts ist das Produkt der Beträge, also muss 23² + 14² gleich 5² × 29 sein.

      232+142=529+196=725=52×2923^{2}+14^{2}=529+196=725=5^{2}\times29

    Antwort

    23 + 14i

    23+14i23+14i
  2. Division mit der Konjugierten 4 Schritte

    Bringe (3 + 2i)/(1 + 2i) in die Form a + bi.

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    1. Erweitere Zähler und Nenner mit 1 − 2i, dem konjugierten Nenner.

      3+2i1+2i⋅1−2i1−2i\frac{3+2i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}

    2. Der Nenner wird zu 1² + 2² = 5, einer reellen Zahl.

      (1+2i)(1−2i)=12+22=5(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5

    3. Multipliziere den Zähler aus und ersetze i² durch −1.

      (3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3+2i)(1-2i)=3-6i+2i-4i^{2}=7-4i

    4. Teile Real- und Imaginärteil jeweils durch 5.

      7−4i5=75−45i\frac{7-4i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i

    Antwort

    7/5 − 4/5 i oder 1,4 − 0,8i.

    75−45i\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i
  3. Ein Argument im dritten Quadranten 4 Schritte

    Bestimme Betrag und Argument von z = −2 − 2i. Gib z² anschließend in Polarform an.

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    1. Den Betrag liefert der Satz des Pythagoras.

      ∣z∣=(−2)2+(−2)2=8=22|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    2. tan⁻¹ von (−2)/(−2) ergibt 45° und zeigt in den ersten Quadranten. z liegt links unterhalb der 0 im dritten – subtrahiere also 180°.

      tan⁡−1−2−2=45∘arg⁡z=45∘−180∘=−135∘=−3π4\begin{aligned}&\tan^{-1}\frac{-2}{-2}=45^{\circ}\\&\arg z=45^{\circ}-180^{\circ}=-135^{\circ}=-\frac{3\pi}{4}\end{aligned}

    3. Quadrieren quadriert den Betrag und verdoppelt das Argument. −270° liegt außerhalb von −180° bis 180°, addiere daher eine volle Umdrehung.

      ∣z2∣=(22)2=82arg⁡z=−270∘→−270∘+360∘=90∘\begin{aligned}&|z^{2}|=(2\sqrt2)^{2}=8\\&2\arg z=-270^{\circ}\to-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}

    4. Betrag 8 unter 90° ergibt 8i; das Ausmultiplizieren von (−2 − 2i)² bestätigt das.

      z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i(−2−2i)2=4+8i+4i2=8i\begin{aligned}&z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i\\&(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i\end{aligned}

    Antwort

    |z| = 2√2, arg z = −135° = −3π/4; z² = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8i.

    ∣z∣=22,arg⁡z=−3π4;z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i|z|=2\sqrt2,\quad\arg z=-\frac{3\pi}{4};\qquad z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i
  4. Multiplikation in Polarform 3 Schritte

    Gegeben sind z = 1 + i und w = 2i. Gib beide in Polarform an und berechne zw, ohne auszumultiplizieren.

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    1. Bestimme von beiden Zahlen Betrag und Argument.

      z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=2(cos⁡90∘+isin⁡90∘)\begin{aligned}&z=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})\\&w=2(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\end{aligned}

    2. Multipliziere die Beträge und addiere die Argumente.

      zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)zw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})

    3. Zurück zur Form a + bi mit cos 135° = −√2/2 und sin 135° = √2/2.

      =22(−22+22i)=−2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=-2+2i

    Antwort

    zw = 2√2(cos 135° + i sin 135°) = −2 + 2i

    zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)=−2+2izw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})=-2+2i
  5. Eine hohe Potenz 3 Schritte

    Berechne (1 + i)⁸.

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    1. Acht Klammern wären mühsam. Schreibe 1 + i stattdessen in Polarform.

      1+i=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)1+i=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})

    2. Satz von de Moivre: der Betrag hoch 8, das Argument mal 8.

      (1+i)8=(2)8(cos⁡360∘+isin⁡360∘)(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}(\cos360^{\circ}+i\sin360^{\circ})

    3. (√2)⁸ = 2⁴ = 16, und 360° ist eine volle Umdrehung.

      =16(1+0i)=16=16(1+0i)=16

    Antwort

    (1 + i)⁸ = 16

    (1+i)8=16(1+i)^{8}=16
  6. Dritte Wurzeln 3 Schritte

    Löse z³ = 8i und gib die Wurzeln in der Form a + bi an.

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    1. 8i in Polarform schreiben.

      8i=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)8i=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})

    2. Ziehe die dritte Wurzel aus dem Betrag. Addiere volle Umdrehungen zum Argument, bevor du durch 3 teilst.

      zk=2(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=90∘+360∘k3,  k=0,1,2\begin{aligned}&z_{k}=2(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k})\\&\phi_{k}=\frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3},\ \ k=0,1,2\end{aligned}

    3. k = 0, 1, 2 liefern 30°, 150° und 270°. k = 3 ergäbe 390°, also wieder 30°.

      z0=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)=3+iz1=2(cos⁡150∘+isin⁡150∘)=−3+iz2=2(cos⁡270∘+isin⁡270∘)=−2i\begin{aligned}&z_{0}=2(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ})=\sqrt3+i\\&z_{1}=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})=-\sqrt3+i\\&z_{2}=2(\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ})=-2i\end{aligned}

    Antwort

    z = √3 + i, −√3 + i, −2i: drei Punkte im Abstand von 120° auf dem Kreis mit Radius 2.

    z=3+i,−3+i,−2iz=\sqrt3+i,\quad-\sqrt3+i,\quad-2i
  7. Quadratwurzel durch Koeffizientenvergleich 3 Schritte

    Bestimme die Quadratwurzeln von 5 + 12i.

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    1. Setze (a + bi)² = 5 + 12i mit reellen a und b an, multipliziere aus und vergleiche Real- und Imaginärteil.

      (a+bi)2=a2−b2+2abia2−b2=5,2ab=12\begin{aligned}&(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\&a^{2}-b^{2}=5,\quad2ab=12\end{aligned}

    2. Der Betrag liefert eine dritte Gleichung, die das System leicht auflösbar macht.

      a2+b2=∣5+12i∣=52+122=13a^{2}+b^{2}=|5+12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13

    3. Addition und Subtraktion ergeben a² = 9 und b² = 4. Da ab = 6 positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen.

      2a2=18,  2b2=8 ⇒ (a,b)=(3,2), (−3,−2)2a^{2}=18,\ \ 2b^{2}=8\ \Rightarrow\ (a,b)=(3,2),\ (-3,-2)

    Antwort

    3 + 2i und −3 − 2i

    ±(3+2i)\pm(3+2i)
  8. Quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen 3 Schritte

    Löse z² − 4z + 13 = 0 und überprüfe, ob die Summe der Lösungen 4 und ihr Produkt 13 ergibt.

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    1. Die Diskriminante ist negativ; ihre Wurzel ist imaginär.

      b2−4ac=16−52=−36,−36=6ib^{2}-4ac=16-52=-36,\qquad\sqrt{-36}=6i

    2. Die Lösungsformel wie gewohnt anwenden.

      z=4±6i2=2±3iz=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i

    3. Reelle Koeffizienten führen zu einem konjugierten Paar. In der Summe hebt sich der Imaginärteil auf, das Produkt ist |2 + 3i|².

      (2+3i)+(2−3i)=4,(2+3i)(2−3i)=4+9=13(2+3i)+(2-3i)=4,\qquad(2+3i)(2-3i)=4+9=13

    Antwort

    z = 2 ± 3i

    z=2±3iz=2\pm3i
  9. Multiplikation von 3 + 2i mit seiner Konjugierten, um ein Produkt zu beweisen 5 Schritte

    Multiplizieren Sie 3 + 2i mit ihrer Konjugierten und wandeln Sie das Ergebnis in einen Beweis dafür um, dass ein Produkt zweier Summen von zwei Quadraten wieder eine Summe von zwei Quadraten ist. Dies ist Multiplizieren mit z₁ = 3 + 2i und z₂ = 3 − 2i.

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    1. Die beiden gemischten Terme sind gleich groß und entgegengesetzt vorzeichenbehaftet, heben sich also auf. Übrig bleibt das −b²i², das sein Vorzeichen wechselt und addiert wird, anstatt subtrahiert zu werden — daher ergibt das Produkt eines konjugierten Paares stets eine reelle Zahl, und diese Zahl setzt sich aus Quadraten zusammen.

      (a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2⟹(3+2i)(3−2i)=9+4=13(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad(3+2i)(3-2i)=9+4=13

    2. Diese reelle Zahl hat bereits einen Namen. Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung, daher ist |z|² nach dem Satz des Pythagoras a² + b², und die 3,606 des Bedienfelds ist √13, aufgerundet an der dritten Dezimalstelle.

      ∣z∣=a2+b2=13=3.605551,zzˉ=∣z∣2=13|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}=3.605551,\qquad z\bar z=|z|^{2}=13

    3. Nun das allgemeine Produkt zweier komplexer Zahlen, wobei i² = −1 einen Term hinüberwechseln lässt, um sich dem Realteil anzuschließen. Hier treten noch keine Beträge auf.

      (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    4. Wenden Sie Schritt 1 auf dieses Produkt an. Ein zweites Paar gemischter Terme, −2abcd und +2abcd, hebt sich beim Ausmultiplizieren auf, und die vier verbleibenden Terme lassen sich in zwei Klammern faktorisieren. Jeder Buchstabe ist eine ganze Zahl, wenn man dies möchte, und nichts in der letzten Zeile erwähnt i.

      (ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})

    5. Ein Paar ganzzahliger Paare erzeugt also ein drittes. 3 + 2i trägt 13 und 1 + 2i trägt 5; ihr Produkt trägt 65. Die Konjugation des zweiten Faktors spiegelt ihn an der reellen Achse und liefert ein anderes Paar mit derselben Summe.

      (3+2i)(1+2i)=−1+8i: 12+82=65=13×5;(3+2i)(1−2i)=7−4i: 72+42=65(3+2i)(1+2i)=-1+8i:\ 1^{2}+8^{2}=65=13\times5;\qquad(3+2i)(1-2i)=7-4i:\ 7^{2}+4^{2}=65

    Antwort

    Das Bedienfeld zeigt das konjugierte Produkt als 13 und den Betrag als 3,606 an, und 3,606² = 13,003 ist der Rundung geschuldet und keine Abweichung. Festhaltenswert ist, dass die Identität das Entfernen der komplexen Zahlen übersteht: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² ist eine Aussage über vier ganze Zahlen, in der kein i mehr vorkommt. Diophant hielt genau diese Zahl im dritten Jahrhundert fest — 65 zerfalle in 1 + 64 und in 16 + 49, bemerkte er, da sie 13 × 5 ist und jeder Faktor selbst eine Summe zweier Quadrate ist — rund dreizehn Jahrhunderte bevor Cardano zum ersten Mal die Quadratwurzel einer negativen Zahl niederschrieb. Zwei Primfaktoren, zwei Darstellungen: 13 allein hat nur 9 + 4, und 5 allein hat nur 1 + 4. Die komplexe Multiplikation ist die Maschine, die die zweite Darstellung erzeugt, und die Konjugation ist der Hebel, der zwischen ihnen umschaltet.

    (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

  1. Bringe (2 − i)(3 + 4i) in die Form a + bi.

    Ergebnis anzeigen

    10 + 5i

    10+5i10+5i

  2. Bringe (1 + 3i)/(2 − i) in die Form a + bi.

    Ergebnis anzeigen

    −1/5 + 7/5 i

    −15+75i-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i

  3. Bestimme Betrag und Argument von −√3 + i.

    Ergebnis anzeigen

    2 und 150° = 5π/6

    2,150∘=5π62,\quad150^{\circ}=\frac{5\pi}{6}

  4. Berechne (√3 + i)⁶.

    Ergebnis anzeigen

    −64

    −64-64

  5. Löse z³ = −8.

    Ergebnis anzeigen

    z = 1 + √3 i, −2, 1 − √3 i

    1+3 i,−2,1−3 i1+\sqrt3\,i,\quad-2,\quad1-\sqrt3\,i

  6. Bestimme die Quadratwurzeln von −3 + 4i.

    Ergebnis anzeigen

    1 + 2i und −1 − 2i

    ±(1+2i)\pm(1+2i)

  7. Löse z² − 2z + 5 = 0.

    Ergebnis anzeigen

    z = 1 ± 2i

    z=1±2iz=1\pm2i

Imaginäre Zahlen für reelle Antworten

Komplexe Zahlen wurden nicht erfunden, um x² + 1 = 0 zu lösen — das interessierte niemanden. Erzwungen wurden sie durch kubische Gleichungen. Cardanos Formel von 1545 für x³ = px + q führt mitunter über Quadratwurzeln negativer Zahlen, selbst wenn alle drei Lösungen gewöhnliche reelle Zahlen sind. 1572 zeigte Bombelli, dass sich diese „unmöglichen“ Größen wegheben und die richtigen reellen Antworten liefern. Das Imaginäre war ein Umweg zum Reellen.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Quellen (1)
  • Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.