Polynomdivisions-Trainer

Gib Dividend und Divisor als Polynome in x ein, etwa 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5, oder absteigend nach Potenzen sortiert als Koeffizienten wie 2, -3, 4, -5. Mit ganzzahligen Koeffizienten in überschaubarer Größe bleibt jeder Rechenschritt exakt, Brüche eingeschlossen.

Der Divisionsalgorithmus	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
Der Restsatz	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
Der Faktorsatz	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

Rechenbeispiel — Polynomdivisions-Trainer

Quotient	2x² + x + 6
Rest	7
Zurückmultipliziert	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2), der Restsatz	7
Ist x − 2 ein Faktor?	nein
Dividend	2

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Polynomdivisions-Trainer

Ein Polynom P(x) durch D(x) zu teilen bedeutet, einen Quotienten Q(x) und einen Rest R(x) so zu bestimmen, dass P = DQ + R gilt und der Grad von R kleiner als der Grad von D ist.

Woher die Formel kommt

Teile die Leitglieder. Das Leitglied von P geteilt durch das Leitglied von D ergibt das erste Glied des Quotienten.
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
Multipliziere zurück und ziehe ab. Dieses Glied mit D multipliziert hebt das Leitglied von P auf; der verbleibende Rest hat einen kleineren Grad.
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
Wiederhole das, bis der Grad unter den von D fällt. Jeder Durchlauf liefert ein weiteres Glied des Quotienten. Fehlt in P eine Potenz, bekommt sie eine eigene Spalte mit dem Koeffizienten 0.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
Lies den Restsatz direkt aus der Identität ab. Ist der Divisor x − a, ist R eine feste Zahl; setzt du x = a in P = (x − a)Q + R ein, fällt der gesamte erste Term weg.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
Mach daraus den Faktorsatz. x − a teilt P genau dann, wenn der Rest P(a) gleich 0 ist. Einen Linearfaktor zu finden bedeutet also schlicht, eine Nullstelle zu bestimmen.
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

Aufgaben vollständig gelöst

Polynomdivision mit fehlender Potenz 4 Schritte
Teile x³ + 2x − 5 durch x + 1.

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1. Es gibt kein x²-Glied. Trage 0x² ein, damit die Spalten sauber untereinanderstehen. x³ ÷ x = x².
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. x² mal (x + 1) ergibt x³ + x². Nach dem Subtrahieren bleibt −x² + 2x − 5. Weiter geht es mit −x² ÷ x = −x.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. −x mal (x + 1) ergibt −x² − x. Subtrahieren liefert 3x − 5. Dann 3x ÷ x = 3, und 3(x + 1) = 3x + 3 hinterlässt −8.
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. Probe durch Ausmultiplizieren.
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
Antwort

Quotient x² − x + 3, Rest −8.

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
Ein quadratischer Divisor 3 Schritte
Teile x⁴ + 3x³ − x + 2 durch x² + x − 1.

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1. x⁴ ÷ x² = x². Zurückmultiplizieren und abziehen.
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x. Zurückmultiplizieren und abziehen.
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1. Zurückmultiplizieren und abziehen. Was übrig bleibt, 2x + 1, hat Grad 1 und liegt damit unter dem Grad 2 des Divisors: Das ist der Rest.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
Antwort

Quotient x² + 2x − 1, Rest 2x + 1.

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
Ein nicht-normierter Divisor 4 Schritte
Teile 4x³ − 2x² + 6x + 1 durch 2x − 1.

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1. Jeder Summand des Quotienten entsteht durch Teilen durch 2x. 4x³ ÷ 2x = 2x².
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x², und beim Abziehen fällt auch das x²-Glied weg. 0x² ÷ 2x = 0, der Quotient enthält also kein x-Glied.
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3, und 3(2x − 1) = 6x − 3 hinterlässt 4.
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. Der Restsatz bestätigt das: 2x − 1 wird bei x = 1/2 null.
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
Antwort

Quotient 2x² + 3, Rest 4.

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
Der Rest ohne Division 2 Schritte
Bestimme den Rest bei der Division von x³ − 4x² + 5x − 7 durch x − 3.

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1. Der Divisor hat die Form x − a mit a = 3, der Rest entspricht also P(3).
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. Die schriftliche Polynomdivision führt zum selben Ergebnis mit dem Quotienten x² − x + 2.
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
Antwort

Der Rest ist −1.

$R=P(3)=-1$
Ein Faktor, dann die vollständige Faktorisierung 3 Schritte
Zeige, dass x − 1 ein Faktor von x³ − 6x² + 11x − 6 ist, und zerlege das Polynom vollständig.

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1. P(1) = 0, nach dem Faktorsatz teilt x − 1 also P.
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. Teile durch x − 1, um den zweiten Faktor zu bestimmen.
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. Der Quotient ist quadratisch und lässt sich direkt weiter zerlegen.
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
Antwort

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
Ein unbekannter Koeffizient 3 Schritte
x + 2 ist ein Faktor von x³ + kx² − x − 2. Bestimme k.

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1. x + 2 entspricht x − (−2), daher gilt P(−2) = 0.
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. Löse nach k auf.
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. Probe durch Division: Der Rest ist 0.
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
Antwort

k = 2, und x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).

$k=2$
Zwei Unbekannte, zwei Bedingungen 3 Schritte
P(x) = x³ + ax² + bx − 6. x − 1 ist ein Faktor von P, und die Division von P durch x + 1 hinterlässt den Rest 4. Bestimme a und b.

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1. Aus dem Faktor folgt P(1) = 0.
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. Aus dem Rest folgt P(−1) = 4.
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. Addiere beide Gleichungen und setze das Ergebnis wieder ein.
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
Antwort

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
Division von 2x³ − 3x² + 4x − 5 durch x − 2 5 Schritte
Die Division von 2x³ − 3x² + 4x − 5 durch x − 2 ergibt den Rest 7. Gelangen Sie mittels Horner-Schema dorthin und bestimmen Sie dieselbe 7 anschließend ganz ohne Division.

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1. Das Horner-Schema ist eine schriftliche Division ohne den sonstigen Schreibaufwand. Nur die Koeffizienten sind von Bedeutung, und die Division durch x − r bedeutet, dass der Multiplikator r lautet.
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. Übernehmen Sie die 2 nach unten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie −3, um 1 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie 4, um 6 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 2 und addieren Sie −5, um 7 zu erhalten. Die ersten drei Zahlen bilden den Quotienten; die letzte ist der Rest.
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. Ausgeschrieben ist dies der Divisionsalgorithmus für Polynome — und die Identität gilt für jedes x, nicht nur für bequeme Werte.
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. Setzen Sie also x = 2 ein. Der Faktor (x − 2) löscht den gesamten Quotienten aus, was auch immer er sein mag, und die Identität reduziert sich auf P(2) = Rest.
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. Die direkte Auswertung von P(2) ergibt 7 und stimmt mit der Division überein, ohne dass tatsächlich dividiert wurde.
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
Antwort

Das Werkzeug gibt einen Quotienten von 2x² + x + 6 und einen Rest von 7 aus. Der Restsatz ist das, was Schritt 4 beweist, und er ist wertvoller als die Abkürzung, die er bietet: Weil der Rest P(r) ist, ist die Frage, ob (x − r) ein Polynom teilt, dieselbe wie die Frage, ob P(r) = 0 ist. Hier ist er 7, also teilt er es nicht. Diese Äquivalenz verwandelt die Faktorsuche in eine Auswertung — probieren Sie Teilerwerte aus, bis der Rest 0 lautet, und Sie haben in ein und demselben Schritt eine Nullstelle gefunden und das Polynom faktorisiert.

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Teile x³ − 3x² + 5 durch x − 1.

Ergebnis anzeigen

Quotient x² − 2x − 2, Rest 3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
Teile 2x⁴ − 3x³ + x − 4 durch x² − 2.

Ergebnis anzeigen

Quotient 2x² − 3x + 4, Rest −5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
Teile x² + 1 durch 2x − 1.

Ergebnis anzeigen

Quotient x/2 + 1/4, Rest 5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
Bestimme den Rest bei der Division von 2x³ + 3x² − 5 durch 2x + 1.

Ergebnis anzeigen

−9/2

$-\frac92$
Zeige, dass x − 2 ein Faktor von x³ − 7x + 6 ist, und zerlege das Polynom vollständig.

Ergebnis anzeigen

(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
Wird x³ + px + q durch x − 1 geteilt, bleibt der Rest 6, und x + 2 ist ein Faktor. Bestimme p und q.

Ergebnis anzeigen

p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

Die Division durch x − r braucht überhaupt kein x

Ist der Divisor von der Form x − r, fällt das gesamte Schema der Polynomdivision zu einer einzigen Zeile für die Koeffizienten zusammen: Zahl herunterziehen, mit r multiplizieren, addieren, wiederholen. Das ist die synthetische Division — im Grunde dasselbe Verfahren wie das Horner-Schema zur Funktionswertberechnung. Die letzte Zahl, die du notierst, ist daher beides zugleich: der Rest der Division und der Wert des Polynoms an der Stelle r. Der Effizienzgewinn ist keineswegs nur Kosmetik: Ein Polynom vom Grad 10 verlangt auf diesem Weg 10 Multiplikationen, während das getrennte Berechnen jeder Potenz 19 erfordert. Genauso werten numerische Bibliotheken Polynome in der Praxis aus.

Damit werden deine Dateien geprüft

Hinter jeder CRC-Prüfsumme, mit der Dateien, ZIP-Archive oder Ethernet-Pakete auf Übertragungsfehler geprüft werden, steckt in Wahrheit eine Polynomdivision. Die Datenbits fungieren dabei als Koeffizienten eines riesigen Polynoms über dem Körper GF(2). Dort rechnet man modulo 2, sodass die Addition einer einfachen XOR-Verknüpfung entspricht. Dieses Polynom wird um den Grad des Generatorpolynoms verschoben und durch ein fest vorgegebenes Generatorpolynom geteilt. Der Divisionsrest ist bereits die Prüfsumme — abgesehen von Startwerten und einer abschließenden Invertierung je nach Standard. Derselbe Algorithmus, den du hier von Hand nachvollziehst, läuft in Netzwerkhardware milliardenfach pro Sekunde.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Quellen (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Polynomdivisions-Trainer

Woher die Formel kommt

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Die Division durch x − r braucht überhaupt kein x 🖖

Damit werden deine Dateien geprüft 🖖

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