Explorer für rationale Funktionen

f(x) = k(x − z)/(x − p): Zieh die Nullstelle und die Polstelle im Graphen oder stelle z, p und k ein. Alle Achsenabschnitte und Asymptoten werden darunter Schritt für Schritt hergeleitet.

Senkrechte Asymptoten	$Q(a)=0,\ P(a)\ne0\ \Rightarrow\ x=a$
Hebbare Lücken	$\frac{(x-a)P_{1}(x)}{(x-a)Q_{1}(x)},\ Q_{1}(a)\ne0\ \Rightarrow\ \left(a,\ \tfrac{P_{1}(a)}{Q_{1}(a)}\right)$
Waagerechte Asymptote	$\begin{aligned}&\deg P<\deg Q:\ y=0\\&\deg P=\deg Q:\ y=\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{aligned}$
Schiefe Asymptote	$\begin{aligned}&\deg P=\deg Q+1:\ \frac{P}{Q}=mx+c+\frac{R}{Q}\\&y=mx+c\end{aligned}$
Funktionsfamilie dieser Seite	$k\,\frac{x-z}{x-p}=k+\frac{k(p-z)}{x-p}$

Rechenbeispiel — Explorer für rationale Funktionen

x-Achsenabschnitt	1
Senkrechte Asymptote	−2
Waagrechte Asymptote	1
y-Achsenabschnitt	−0,5
Summenform	1 − 3/(x + 2)
\|z − p\|	3

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Explorer für rationale Funktionen

Eine rationale Funktion ist der Quotient P(x)/Q(x) zweier Polynome. Überall dort, wo Q(x) = 0 ist, ist sie nicht definiert.

Woher die Formel kommt

Faktorisieren und kürzen. Ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner kürzt sich heraus. War dieser Faktor null, der verbleibende Nenner aber nicht, besitzt der Graph dort eine hebbare Lücke: Die gekürzte Funktion hat dort einen Wert, die Ausgangsfunktion keinen.
$\begin{aligned}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x-2}&=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\&=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2\end{aligned}$
Senkrechte Asymptoten sind jene Nullstellen des Nenners, die das Kürzen überstehen. In ihrer Nähe wächst die Funktion über alle Schranken; welches Vorzeichen sie hat, hängt von der Seite ab.
$\begin{aligned}&x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1\\&f(-1.01)=-99,\qquad f(-0.99)=101\end{aligned}$
Achsenabschnitte. Die Nullstellen des gekürzten Zählers (an Stellen, an denen der ursprüngliche Nenner ungleich null ist) sind die Schnittpunkte mit der x-Achse; f(0) liefert den y-Achsenabschnitt.
$x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2;\qquad f(0)=\frac{2}{1}=2$
Im Unendlichen: Vergleiche die Grade. Teilst du Zähler und Nenner durch die höchste x-Potenz, erkennst du den Grenzwert: 0, wenn der Nenner den höheren Grad hat; das Verhältnis der Leitkoeffizienten, wenn die Grade übereinstimmen.
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to1\quad(x\to\pm\infty)$
Ein Grad mehr im Zähler ergibt eine schiefe Asymptote. Führe die Division durch: Der Quotient ist die Gerade, an die sich die Kurve annähert; der Restterm über Q strebt gegen 0.
$\frac{x^{2}+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}\ \to\ y=x+2$

Legt man die Nullstelle auf die Polstelle, verschwindet der Pol

Zieht man die Nullstelle genau auf die Polstelle, passiert etwas Merkwürdiges: die Kurve explodiert nicht mehr, sondern wird zu einer waagerechten Linie. Für z = p kürzt der Faktor (x − z) den Nenner vollständig, und es bleibt überall die Konstante k — außer bei x = p, wo die ursprüngliche Formel weiterhin durch Null teilt. Der Graph ist also eine Gerade mit einem herausgestanzten Punkt, und dieses Werkzeug meldet statt einer Asymptote eine Lücke bei (p, k). Eine Nennernullstelle ist nur dann ein Pol, wenn der Zähler sie nicht wegkürzt; andernfalls ist sie eine hebbare Lücke, in keiner Zoomstufe sichtbar.

Ein Pol ist nur nach Wahl unendlich

Als (ax+b)/(cx+d) geschrieben ist jede Funktion mit einer Nullstelle und einem Pol eine Möbiustransformation — die Abbildungen, die komplexe Analysis und hyperbolische Geometrie beherrschen. Fügt man einen einzigen Punkt im Unendlichen hinzu (die Riemannsche Zahlenkugel), hört der Pol auf, eine Katastrophe zu sein: x=p wird einfach auf diesen neuen Punkt abgebildet und x=∞ auf die horizontale Asymptote y=k. Auf der Kugel ist die Funktion eine glatte, umkehrbare Bijektion — die „Explosion" ist nur ein Artefakt der flachen Karte.

GEBROCHEN-RATIONALE FUNKTIONEN — WO EXPLODIERT DER GRAPH, UND WO BERUHIGT ER SICH?

In welchem Fall gebrochen-rationaler Funktionen bist du?

In f(x) = k(x − z)/(x − p) stecken nur drei Zahlen, und jede besitzt ein Merkmal des Graphen. Die Nullstelle z ist die Stelle, an der die Kurve die Achse schneidet. Der Pol p ist die Stelle, an der der Nenner verschwindet und die Kurve ins Unendliche läuft. Die Verstärkung k ist der Wert, bei dem sie sich weit von beidem einpendelt. Lies diese drei aus der Formel ab, und du hast den Graphen skizziert, bevor ein einziger Punkt gezeichnet ist.

Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt x = p, y = k

Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen k < 0 ⇒ f → −f

Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt

Was du weißt: Pol und Nullstelle in bequemem Abstand. Die senkrechte Asymptote steht bei x = p, die waagerechte bei y = k, und die Kurve schneidet die Achse bei x = z.

Merkmal: x = p, y = k

Rechenbeispiel: f(x) = (x − 1)/(x + 2): Asymptote bei x = −2, Schnittpunkt bei x = 1, und f → 1 weit außen in beide Richtungen. Bei x = 0 ist der Wert −0,5.

Diesen Fall öffnen: einfach

Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt. Pol und Verstärkung zeichnen die beiden Asymptoten; die Nullstelle legt den Schnittpunkt fest. Pol und Nullstelle in bequemem Abstand. Die senkrechte Asymptote steht bei x = p, die waagerechte bei y = k, und die Kurve schneidet die Achse bei x = z. — Pol und Verstärkung zeichnen die beiden Asymptoten; die Nullstelle legt den Schnittpunkt fest.

Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen

Was du weißt: Dieselbe Gestalt, aber der Pol liegt nahe an der Nullstelle. Die Kurve muss auf kurzer Strecke von der Achse ins Unendliche, also steigt sie steil an.

Merkmal: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Rechenbeispiel: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): Der Pol bei 0,2 liegt nur 0,3 von der Nullstelle bei 0,5 entfernt, und f(0) beträgt schon 3,5 gegenüber einem Fernwert von 1,4

Diesen Fall öffnen: steile Polstelle

Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen. Ein kurzer Abstand zwischen Pol und Nullstelle zwingt die Kurve durch einen schmalen, steilen Ausschlag. Dieselbe Gestalt, aber der Pol liegt nahe an der Nullstelle. Die Kurve muss auf kurzer Strecke von der Achse ins Unendliche, also steigt sie steil an. — Ein kurzer Abstand zwischen Pol und Nullstelle zwingt die Kurve durch einen schmalen, steilen Ausschlag.

Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen

Was du weißt: Ein negatives k spiegelt die ganze Kurve an der waagerechten Achse. Die Lage der Asymptoten ändert sich nicht; die Äste wechseln die Ecken, die sie besetzen.

Merkmal: k < 0 ⇒ f → −f

Rechenbeispiel: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): Asymptote bei x = 1,2, Schnittpunkt bei x = −1,5, waagerechte Asymptote bei y = −1, und f(0) = 1,25

Diesen Fall öffnen: negative Verstärkung

Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen. Die Asymptoten stehen, wo sie standen, aber jeder Ast ist auf die gegenüberliegende Seite gewandert. Ein negatives k spiegelt die ganze Kurve an der waagerechten Achse. Die Lage der Asymptoten ändert sich nicht; die Äste wechseln die Ecken, die sie besetzen. — Die Asymptoten stehen, wo sie standen, aber jeder Ast ist auf die gegenüberliegende Seite gewandert.

Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke

Was du weißt: Liegen z und p sehr dicht beieinander, kürzen sich die Faktoren beinahe weg. Außerhalb dieser Umgebung liegt die Funktion nahe bei der Konstanten k, und der Pol überlebt als nadelfeiner Ausschlag.

Merkmal: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Rechenbeispiel: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): nur 0,12 auseinander, also f(0) = 0,893, nahe am Fernwert 1 — und dennoch ist die Asymptote bei x = 1,12 vorhanden

Diesen Fall öffnen: fast gekürzt

Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke. Fast überall eine Konstante, bis auf das schmale Fenster, in dem sich der Pol doch durchsetzt. Liegen z und p sehr dicht beieinander, kürzen sich die Faktoren beinahe weg. Außerhalb dieser Umgebung liegt die Funktion nahe bei der Konstanten k, und der Pol überlebt als nadelfeiner Ausschlag. — Fast überall eine Konstante, bis auf das schmale Fenster, in dem sich der Pol doch durchsetzt.

Aufgaben vollständig gelöst

Achsenabschnitte und Asymptoten 5 Schritte
Bestimme für f(x) = 2(x − 3)/(x + 1) die Achsenabschnitte sowie die Asymptoten und gib an, in welchen Ecken die Äste liegen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Nullstelle: Der Zähler ist bei x = 3 gleich 0, der Nenner dort nicht.
  
  $2(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=3$
2. Senkrechte Asymptote: Der Nenner ist bei x = −1 gleich 0.
  
  $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$
3. Waagerechte Asymptote: Teile Zähler und Nenner durch x.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2-\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}\to2\quad(x\to\pm\infty)$
4. y-Achsenabschnitt: Setze x = 0 ein.
  
  $f(0)=\frac{2(0-3)}{0+1}=-6$
5. Zerlege den Term in Summenform, um den Verlauf der Äste zu sehen: Der Bruch mit x + 1 im Nenner ist rechts von −1 negativ, also liegt der rechte Ast unterhalb von y = 2 und der linke darüber.
  
  $\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2(x+1)-8}{x+1}=2-\frac{8}{x+1}$
Antwort

Nullstelle x = 3, y-Achsenabschnitt −6, Asymptoten x = −1 und y = 2; f(x) = 2 − 8/(x + 1), Äste oben links und unten rechts.

$f(x)=2-\frac{8}{x+1}:\quad x=3,\ \ y=-6,\ \ x=-1,\ \ y=2$
Eine hebbare Lücke 3 Schritte
f(x) = (x² − 4)/(x² − x − 2). Bestimme eventuelle Lücken, die Asymptoten und die Achsenabschnitte.
Lösung anzeigen
1. Faktorisiere Zähler und Nenner: x − 2 ist beiden gemeinsam.
  
  $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$
2. Kürze ihn heraus. Die Ausgangsfunktion ist bei x = 2 nicht definiert; der gekürzte Funktionsterm liefert die y-Koordinate der Lücke.
  
  $=\frac{x+2}{x+1},\ \ x\ne2;\qquad\frac{2+2}{2+1}=\frac43$
3. Was übrig bleibt: die senkrechte Asymptote aus x + 1, die Nullstelle aus x + 2 und gleiche Grade für die waagerechte Asymptote.
  
  $\begin{aligned}&x+1=0\Rightarrow x=-1;\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\\&y\to\frac11=1;\qquad f(0)=\frac{-4}{-2}=2\end{aligned}$
Antwort

Lücke bei (2, 4/3); Asymptoten x = −1 und y = 1; Nullstelle x = −2; y-Achsenabschnitt 2.

$\left(2,\tfrac43\right);\quad x=-1,\ y=1;\quad x=-2;\quad f(0)=2$
Waagerechte Asymptoten nach Grad 3 Schritte
Bestimme die waagerechte Asymptote (sofern vorhanden) für (a) (3x + 1)/(x² + 1), (b) (6x² − x)/(2x² + 5) und (c) x³/(x² + 1).
Lösung anzeigen
1. (a) Der Nenner hat den höheren Grad.
  
  $\frac{3x+1}{x^{2}+1}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}\to0$
2. (b) Gleiche Grade: das Verhältnis der Leitkoeffizienten.
  
  $\frac{6x^{2}-x}{2x^{2}+5}=\frac{6-\frac1x}{2+\frac{5}{x^{2}}}\to\frac62=3$
3. (c) Der Zählergrad ist um eins höher, eine waagerechte Asymptote gibt es daher nicht; die Division liefert eine schiefe Asymptote.
  
  $\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}$
Antwort

(a) y = 0, (b) y = 3, (c) keine: Die Kurve nähert sich y = x an.

$y=0;\qquad y=3;\qquad y=x$
Eine schiefe Asymptote 3 Schritte
Bestimme die Asymptoten von f(x) = (x² + 3x + 1)/(x + 1).
Lösung anzeigen
1. Der Zähler hat einen um eins höheren Grad als der Nenner. Dividiere.
  
  $x^{2}+3x+1=(x+1)(x+2)-1\ \Rightarrow\ f(x)=x+2-\frac{1}{x+1}$
2. Der Restterm strebt gegen 0, wenn x betragsmäßig immer größer wird.
  
  $\frac{1}{x+1}\to0\quad(x\to\pm\infty)$
3. Der Nenner ist bei x = −1 gleich 0, der Zähler dort nicht (er hat den Wert −1).
  
  $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad(-1)^{2}+3(-1)+1=-1\ne0$
Antwort

Senkrecht: x = −1; schief: y = x + 2.

$x=-1;\qquad y=x+2$
Schnitt mit der waagerechten Asymptote 2 Schritte
Schneidet f(x) = (x² − 2x)/(x² + 1) ihre waagerechte Asymptote? Wenn ja, wo?
Lösung anzeigen
1. Gleiche Grade, die waagerechte Asymptote lautet also y = 1.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}\to\frac11=1$
2. Setze f(x) = 1 und löse nach x auf. Die x²-Terme heben sich auf, übrig bleibt eine lineare Gleichung.
  
  $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+1}=1\iff x^{2}-2x=x^{2}+1\iff x=-\frac12$
Antwort

Ja, genau einmal bei (−1/2, 1). Eine waagerechte Asymptote beschreibt nur das Verhalten im Unendlichen.

$\left(-\tfrac12,\ 1\right)$
Eine rationale Ungleichung 3 Schritte
Löse (x − 3)/(x + 1) > 0.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Das Vorzeichen kann nur an der Nullstelle 3 und an der Polstelle −1 wechseln. Beide teilen die Zahlengerade in drei Intervalle.
  
  $x<-1,\qquad-1<x<3,\qquad x>3$
2. Prüfe in jedem Intervall einen Testwert.
  
  $\begin{aligned}&f(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0\\&f(0)=\frac{-3}{1}=-3<0\\&f(4)=\frac15>0\end{aligned}$
3. x = 3 liefert 0, was nicht echt größer als 0 ist, und x = −1 liegt nicht im Definitionsbereich.
  
  $f(3)=0\not>0,\qquad x=-1\notin\operatorname{dom}f$
Antwort

x < −1 oder x > 3

$x<-1\ \ \lor\ \ x>3$
Eine Funktion aus ihren Eigenschaften 2 Schritte
Bestimme f(x) = k(x − z)/(x − p) mit der senkrechten Asymptote x = 2, der waagerechten Asymptote y = 3 und dem y-Achsenabschnitt −3.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die senkrechte Asymptote liefert p, die waagerechte liefert k.
  
  $x=2\Rightarrow p=2;\qquad y=3\Rightarrow k=3$
2. Der y-Achsenabschnitt legt z fest.
  
  $f(0)=\frac{3(0-z)}{0-2}=\frac{3z}{2}=-3\ \Rightarrow\ z=-2$
Antwort

f(x) = 3(x + 2)/(x − 2)

$f(x)=\frac{3(x+2)}{x-2}$
Die Kurve, die ihre horizontale Asymptote bei y = 1 erreicht 5 Schritte
f(x) = (x − 1)/(x + 2) hat eine horizontale Asymptote bei y = 1. Finden Sie heraus, ob die Kurve diese jemals tatsächlich erreicht.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die Nullstelle und die Polstelle lassen sich direkt aus der faktorisierten Form ablesen: Der Zähler wird bei 1 zu Null, der Nenner bei −2.
  
  $f(x)=0\iff x=1;\qquad x+2=0\iff x=-2\ \text{(vertical asymptote)}$
2. Für große |x| werden Zähler und Nenner von ihren x-Termen dominiert, sodass das Verhältnis gegen das Verhältnis der Leitkoeffizienten strebt. Das ist die horizontale Asymptote, und hier beträgt sie 1.
  
  $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{1}=1\ \text{(horizontal asymptote)}$
3. Stellen Sie die Frage nun direkt, anstatt den Graphen nach Gefühl zu beurteilen: Setzen Sie die Funktion gleich ihrer Asymptote und lösen Sie auf.
4. Das x kürzt sich heraus und es bleibt −1 = 2, was für jedes x falsch ist. Die Kurve berührt y = 1 also nie — weder weit draußen noch irgendwo sonst.
  
  $\frac{x-1}{x+2}=1\iff x-1=x+2\iff -1=2\quad\text{— no solution}$
5. An der senkrechten Asymptote ist das Verhalten genau umgekehrt. Dicht rechts von −2, bei −1,99, liegt der Funktionswert bei −299; dicht links davon, bei −2,01, bei +301. Die Kurve nähert sich nicht beidseitig einem Wert an, sondern divergiert in entgegengesetzte Richtungen.
  
  $f(-1.99)=-299,\qquad f(-2.01)=+301$
Antwort

Das Werkzeug gibt eine Nullstelle von 1, eine vertikale Asymptote bei −2 und eine horizontale bei 1 aus. Das Ergebnis, das man sich merken sollte, ist, dass eine horizontale Asymptote keine Barriere ist — diese hier wird zwar nie erreicht, aber das ist eine Eigenschaft dieser speziellen Funktion und keine Regel. Ändert man den Zähler zu x − 1 + etwas, das verschwindet, kann eine Kurve ihre horizontale Asymptote frei und sogar wiederholt schneiden. Vertikale Asymptoten sind die strengen: Die Funktion ist dort nicht definiert, sodass sie sie niemals schneiden kann. Die beiden zu verwechseln ist der häufigste Fehler bei diesem Thema, und eine Zeile Algebra klärt das jedes Mal.

$\text{the curve approaches}\ y=1\ \text{and never reaches it};\ \text{the pole flips sign}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme die Achsenabschnitte und Asymptoten von f(x) = (3x − 6)/(x + 2).

Ergebnis anzeigen

x-Achsenabschnitt 2, y-Achsenabschnitt −3; Asymptoten x = −2 und y = 3

$x=2,\ \ y=-3;\qquad x=-2,\ \ y=3$
Bestimme die hebbare Lücke und die Asymptoten von f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 9).

Ergebnis anzeigen

Lücke bei (−3, 5/6); Asymptoten x = 3 und y = 1

$\left(-3,\tfrac56\right);\qquad x=3,\ \ y=1$
Bestimme die schiefe Asymptote von f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1).

Ergebnis anzeigen

y = 2x + 3

$y=2x+3$
Löse (x + 2)/(x − 1) ≤ 0.

Ergebnis anzeigen

−2 ≤ x < 1

$-2\le x<1$
Bestimme die waagerechte Asymptote von f(x) = (4x³ − x)/(2x³ + 7).

Ergebnis anzeigen

y = 2

$y=2$

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Quellen (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.