Harmonische Form

Gib a und b ein (ein Bruch oder eine Wurzel wie √3 funktioniert genauso) und wähle die gewünschte Zielform. Das Dreieck verknüpft R cos α und R sin α mit den Koeffizienten, der Graph überlagert die beiden gestrichelten Schwingungen zu einer Welle, und über c löst du a sin x + b cos x = c auf einem Intervall.

Amplitude	$R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Als Sinus	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{b}{a}\end{aligned}$
Als Kosinus	$\begin{aligned}&a\sin x+b\cos x=R\cos(x-\alpha)\\&\tan\alpha=\frac{a}{b}\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Harmonische Form

Amplitude R	5
Phasenwinkel α	53,13°
α im Bogenmaß	0,9273
Einzelne Welle	5 sin(x + 53,13°)
Maximum	36,87°
Minimum	216,87°

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Harmonische Form

Die harmonische Form stellt a sin x + b cos x als eine einzige Schwingung dar: R sin(x ± α) oder R cos(x ± α) mit R > 0.

Woher die Formel kommt

Multipliziere die Zielform mit den Additionstheoremen aus, sodass auch sie als Vielfaches von sin x plus ein Vielfaches von cos x dasteht.
$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x$
Gleiche die Koeffizienten ab. Die Vorfaktoren vor sin x und cos x liefern R cos α und R sin α mit den jeweiligen Vorzeichen der gewählten Zielform.
$R\cos\alpha=a,\qquad R\sin\alpha=b$
Quadriere und addiere für R, dividiere für α. Aus cos²α + sin²α = 1 folgt R; der Quotient liefert tan α. Die Vorzeichen von R cos α und R sin α verraten dir, in welchem Quadranten α liegt.
$R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\tan\alpha=\frac{b}{a}$
Lies die Schwingung ab. Sinus und Kosinus liegen stets zwischen −1 und 1. Damit schwankt der Gesamtausdruck zwischen −R und R; den Maximalwert R erreicht er dort, wo das Argument in der Klammer 90° (beim Sinus) oder 0° (beim Kosinus) beträgt.
$-R\le a\sin x+b\cos x\le R$
Löse a sin x + b cos x = c über die Klammer. Für die Form R sin(x + α) lautet die Gleichung sin(x + α) = c/R, wobei das Intervall für den Klammerausdruck um α verschoben ist. Bei den anderen Formen gehst du mit deren Vorzeichen und Winkelfunktion genauso vor. Gilt |c| > R, gibt es keine Lösung.
$a\sin x+b\cos x=c\ \Rightarrow\ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{R}$

Aufgaben vollständig gelöst

Die Standardform R sin(x + α) 2 Schritte
Bringe 3 sin x + 4 cos x auf die Form R sin(x + α) mit R > 0 und 0° < α < 90°.

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1. Wende das Additionstheorem an und vergleiche die Koeffizienten vor sin x und cos x:
  
  $R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x+R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=3,\quad R\sin\alpha=4$
2. Quadriere und addiere für R, dividiere anschließend für α:
  
  $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad\tan\alpha=\frac{4}{3},\quad\alpha=53{.}13^{\circ}$
Antwort

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°).

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53{.}13^{\circ})$
Exakte Werte mit Wurzel: R cos(x − α) 2 Schritte
Stelle sin x + √3 cos x in der Form R cos(x − α) dar und gib R sowie α exakt an.

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1. Multipliziere R cos(x − α) aus und vergleiche die Koeffizienten:
  
  $R\cos(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\cos x+R\sin\alpha\,\sin x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=\sqrt{3},\quad R\sin\alpha=1$
2. Quadriere und addiere, dann dividiere. tan α = 1/√3 ist ein bekannter Standardwert:
  
  $R=\sqrt{3+1}=2,\qquad\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\alpha=30^{\circ}$
Antwort

sin x + √3 cos x = 2 cos(x − 30°).

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos(x-30^{\circ})$
Mit Minuszeichen: R sin(x − α) 2 Schritte
Bringe 5 sin x − 12 cos x auf die Form R sin(x − α) mit R > 0 und 0° < α < 90°.

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1. Das Minus in der Form nimmt das Minus des Terms auf, sodass R sin α positiv wird:
  
  $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\,\sin x-R\sin\alpha\,\cos x\ \Rightarrow\ R\cos\alpha=5,\quad R\sin\alpha=12$
2. Quadriere und addiere, dann dividiere:
  
  $R=\sqrt{25+144}=13,\qquad\tan\alpha=\frac{12}{5},\quad\alpha=67{.}38^{\circ}$
Antwort

5 sin x − 12 cos x = 13 sin(x − 67,38°). Die Wahl von R sin(x + α) hätte zu α = −67,38° geführt.

$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-67{.}38^{\circ})$
Maximum, Minimum und ihre Lage 2 Schritte
Bestimme Maximum und Minimum von 3 sin x + 4 cos x für 0° ≤ x < 360°, wo beide auftreten, und folgere daraus den größten Wert von 1/(10 + 3 sin x + 4 cos x).

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1. Aus der ersten Aufgabe wissen wir: 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53,13°). Der Sinus verläuft zwischen −1 und 1:
  
  $\sin(x+53{.}13^{\circ})=1:\ x=36{.}87^{\circ},\qquad\sin(x+53{.}13^{\circ})=-1:\ x=216{.}87^{\circ}$
2. Der Bruch ist dort am größten, wo sein Nenner am kleinsten ist – also am Minimum der Welle:
  
  $\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}\le\frac{1}{10-5}=\frac{1}{5}$
Antwort

Maximum 5 bei x = 36,87°, Minimum −5 bei x = 216,87°; der größte Wert des Bruchs ist 1/5 bei x = 216,87°.

$\max=5,\quad\min=-5,\quad\max\frac{1}{10+3\sin x+4\cos x}=\frac{1}{5}$
a sin x + b cos x = c lösen 3 Schritte
Löse 3 sin x + 4 cos x = 2 für 0° ≤ x < 360°.

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1. Schreibe die linke Seite in harmonischer Form und dividiere durch R:
  
  $5\sin(x+53{.}13^{\circ})=2\ \Rightarrow\ \sin(x+53{.}13^{\circ})=0{.}4$
2. Durchläuft x das Intervall, wandert der Klammerausdruck x + 53,13° von 53,13° bis 413,13°. Der Hauptwert und sein Gegenstück in diesem Bereich:
  
  $x+53{.}13^{\circ}=180^{\circ}-23{.}58^{\circ}=156{.}42^{\circ},\qquad x+53{.}13^{\circ}=360^{\circ}+23{.}58^{\circ}=383{.}58^{\circ}$
3. Ziehe jeweils 53,13° ab:
  
  $x=103{.}29^{\circ},\qquad x=330{.}45^{\circ}$
Antwort

x = 103,29° oder x = 330,45° (auf 2 Nachkommastellen).

$x=103{.}29^{\circ},\ 330{.}45^{\circ}$
Wenn es keine Lösung gibt 2 Schritte
Zeige, dass sin x + cos x = 2 keine Lösung besitzt.

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1. Schreibe die linke Seite in harmonischer Form:
  
  $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})$
2. Ein Sinus übersteigt 1 nie, folglich übersteigt die linke Seite niemals √2:
  
  $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin(x+45^{\circ})\le\sqrt{2}\approx1{.}4142<2$
Antwort

sin x + cos x ≤ √2 ≈ 1,4142 < 2 für jedes x; die Gleichung hat somit keine Lösung.

$\sin x+\cos x\le\sqrt{2}<2$
Ein Modell: Höchststand im Hafen 2 Schritte
Die Wassertiefe in einem Hafen beträgt D = 6 + 3 sin(30t)° + 4 cos(30t)° Meter, t Stunden nach Mitternacht. Bestimme die größte Wassertiefe und den ersten Zeitpunkt nach Mitternacht, an dem sie auftritt.

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1. Setze x = 30t. Der veränderliche Teil ist die vertraute Welle:
  
  $D=6+5\sin(x+53{.}13^{\circ}),\qquad x=30t$
2. Sie ist maximal, nämlich 5, wenn x = 36,87° ist; folglich:
  
  $D_{\max}=6+5=11,\qquad 30t=36{.}87^{\circ}\ \Rightarrow\ t=1{.}229$
Antwort

Die größte Wassertiefe beträgt 11 m, erstmals nach etwa 1,23 Stunden um 1:14 Uhr.

$D_{\max}=11\ \mathrm{m},\qquad t\approx1{.}23\ \mathrm{h}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bringe 2 cos x − 3 sin x auf die Form R cos(x + α) mit R > 0 und 0° < α < 90°.

Ergebnis anzeigen

√13 cos(x + 56,31°)

$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\cos(x+56{.}31^{\circ})$
Bringe 7 cos x − 24 sin x auf die Form R cos(x + α) und gib das Maximum an.

Ergebnis anzeigen

25 cos(x + 73,74°), Maximum 25

$7\cos x-24\sin x=25\cos(x+73{.}74^{\circ}),\quad\max=25$
Löse √3 sin x − cos x = 1 für 0° ≤ x < 360°.

Ergebnis anzeigen

x = 60° oder x = 180°

$x=60^{\circ},\ 180^{\circ}$
Bringe 2 sin θ − 1,5 cos θ auf die Form R sin(θ − α) mit α im Bogenmaß auf 3 Nachkommastellen gerundet.

Ergebnis anzeigen

2,5 sin(θ − 0,644)

$2\sin\theta-1{.}5\cos\theta=2{.}5\sin(\theta-0{.}644)$
Bestimme den kleinsten Wert von 5 sin x − 12 cos x + 20.

Ergebnis anzeigen

7

$5\sin x-12\cos x+20\ge20-13=7$
Löse 2 cos x − 3 sin x = 1 für 0° ≤ x < 360°.

Ergebnis anzeigen

x = 17,59° oder x = 229,79°

$x=17{.}59^{\circ},\ 229{.}79^{\circ}$

3 sin x + 4 cos x erreicht 5, nicht 7

Klicke auf 3 sin x + 4 cos x. Die gestrichelten Wellen erreichen Amplituden von 3 und 4, allerdings um eine Vierteldrehung gegeneinander versetzt: Steht sin x am Scheitel, schneidet cos x gerade die Nulllinie. Ihre Summe ergibt wieder eine einzige Welle mit der Höhe 5 – die Hypotenuse des 3-4-5-Dreiecks. Rechnerisch steckt dahinter ein Skalarprodukt: a sin x + b cos x verknüpft (a, b) mit (sin x, cos x), einem Einheitsvektor, der sich mit x dreht. Ein Skalarprodukt mit einem Einheitsvektor erreicht sein Maximum genau dann, wenn beide Vektoren dieselbe Richtung haben. Sein Wert entspricht dann der Länge von (a, b), also √(a² + b²). Hier geschieht das bei x = 36,87°, wo (sin x, cos x) = (0,6; 0,8) gilt, also dem Vektor (3, 4) geteilt durch 5. Zwei Schwingungen gleicher Periode addieren sich stets zu einer Welle genau dieser Periode. Erst deshalb existieren R und α überhaupt.

Der vertauschte Arkustangens gehört zur anderen Form

Der häufigste Flüchtigkeitsfehler bei diesen Aufgaben: Man setzt tan α = a/b an, obwohl die Zielform b/a verlangt. Klicke auf 3 sin x + 4 cos x und wechsle zwischen R sin(x + α) und R cos(x − α). Dabei wandert α von 53,13° auf 36,87°, doch die durchgezogene Kurve rührt sich nicht von der Stelle. Beide Darstellungen stimmen: 5 sin(x + 53,13°) ebenso wie 5 cos(x − 36,87°). Schließlich eilt der Kosinus dem Sinus um eine Vierteldrehung voraus, und 53,13° + 36,87° = 90°. Der vertauschte Arkustangens liefert also schlicht das passende α für die jeweils andere Form; der einzige Fehler lag darin, eine Frage zu beantworten, die gar nicht gestellt war. Ist keiner der beiden Koeffizienten null, bestimmen allein ihre Vorzeichen, welche Formen ein spitzes α ergeben: zwei bei zwei positiven Vorzeichen, eine bei genau einem negativen und keine einzige, wenn beide negativ sind.

Eine Gezeitentabelle besteht aus R und α, siebenunddreißigfach überlagert

Die NOAA berechnet die Gezeitenvorhersage für die Battery an der Südspitze Manhattans über die Summe von 37 Kosinuswellen, den harmonischen Partialtiden, jede erfasst durch Amplitude und Phase. Die stärkste davon, die Hauptmondtide M2, besitzt eine Amplitude von 0,671 m und dreht sich um 28,984104° pro Stunde, sodass sie sich alle 12,42 Stunden wiederholt. Die Konstanten stammen aus realen Pegelmessungen: Ein einziger Monat erfasst bereits die meisten Mond- und Sonnenzyklen, doch erst ein volles Jahr macht alle 37 sichtbar. Amplitude und Phase bilden die harmonische Form aus Sinus- und Kosinusanteil – genau den Rechenschritt dieser Seite. Damit lässt sich jede Partialtide sofort lesen: M2 allein hebt den Wasserstand um 0,671 m über das Mittel und senkt ihn um 0,671 m darunter ab.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (2)

Insight block 3: the 37 harmonic constituents NOAA uses to predict the tide at The Battery, New York, each an amplitude and a phase; M2, the principal lunar semidiurnal constituent, has amplitude 0.671 m and speed 28.984104° per hour: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, Harmonic Constituents, station 8518750 (The Battery, NY), metadata API.
Insight block 3: each constituent “can be represented as a Cosine Curve” with an amplitude and a phase, predictions sum the 37 curves, 30 days of data show most constituents and a year shows all 37: NOAA Center for Operational Oceanographic Products and Services, “Harmonic Constituents”.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Harmonische Form

Woher die Formel kommt

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

3 sin x + 4 cos x erreicht 5, nicht 7 🖖

Der vertauschte Arkustangens gehört zur anderen Form 🖖

Eine Gezeitentabelle besteht aus R und α, siebenunddreißigfach überlagert 🖖

3 sin x + 4 cos x erreicht 5, nicht 7

Der vertauschte Arkustangens gehört zur anderen Form

Eine Gezeitentabelle besteht aus R und α, siebenunddreißigfach überlagert