← Mathematik

Inverse trigonometrische Funktionen

Gib x als Dezimalzahl, Bruch oder Wurzel ein, und du erhältst genau den Winkel im Hauptwertebereich, dessen Sinus, Kosinus oder Tangens gleich x ist (oder den Grund, warum keiner existiert). Zieh alternativ an θ und beobachte, wie f⁻¹(f(θ)) in den Bereich zurückgefaltet wird.

Arkussinus sin⁡−1x∈[−π2,π2],−1≤x≤1\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1
Arkuskosinus cos⁡−1x∈[0,π],−1≤x≤1\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1
Arkustangens tan⁡−1x∈(−π2,π2),x∈R\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}
Sinus umkehren sin⁡(sin⁡−1x)=xsin⁡−1(sin⁡θ)=θ  ⟺  −π2≤θ≤π2\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}
Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Inverse trigonometrische Funktionen

Die inversen trigonometrischen Funktionen sin⁻¹ x, cos⁻¹ x und tan⁻¹ x (auch arcsin, arccos und arctan genannt) liefern den eindeutigen Winkel eines festgelegten Bereichs – den Hauptwert –, dessen Sinus, Kosinus oder Tangens gleich x ist. Die hochgestellte −1 kennzeichnet dabei die Umkehrfunktion und keinen Exponenten: sin⁻¹ x ist nicht 1/sin x.

Woher die Formel kommt

  1. Der Sinus ist nicht umkehrbar eindeutig. Unendlich viele Winkel besitzen denselben Sinuswert. Die Formulierung „der Winkel mit dem Sinus ½“ beschreibt erst dann einen bestimmten Winkel, wenn eine Konvention die Auswahl festlegt.
    sin⁡π6=sin⁡5π6=sin⁡(−7π6)=12\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}
  2. Erst einschränken, dann umkehren. Von −π/2 bis π/2 wächst der Sinus streng von −1 auf 1 und durchläuft jeden Wert genau einmal; nur deshalb existiert dort eine Umkehrfunktion. Aus demselben Grund schränkt man den Kosinus auf 0 ≤ y ≤ π und den Tangens auf −π/2 < y < π/2 ein.
    y=sin⁡−1x  ⟺  sin⁡y=x,−π2≤y≤π2y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}
  3. Die Umkehrung greift nur in einer Richtung bedingungslos. Es gilt stets sin(sin⁻¹ x) = x für jedes zulässige x. Doch sin⁻¹(sin θ) liefert nur dann θ zurück, wenn θ ohnehin im Hauptwertebereich lag. Andernfalls erhältst du denjenigen Winkel im Bereich, der denselben Sinuswert hat.
    sin⁡(sin⁡−1x)=x(−1≤x≤1),sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  4. Verkettungen lassen sich am rechtwinkligen Dreieck konstruieren. Setze y = sin⁻¹ x, also sin y = x. Der Satz des Pythagoras liefert die andere Kathete, und der Wertebereich bestimmt das Vorzeichen.
    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}
Setzt voraus
sin⁻¹ und cos⁻¹ sind nur für −1 ≤ x ≤ 1 definiert; tan⁻¹ akzeptiert jede reelle Zahl.

Aufgaben vollständig gelöst

  1. Ein negativer Sinus 2 Schritte

    Bestimme sin⁻¹(−1/2) exakt.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Das Ergebnis muss im Wertebereich von sin⁻¹ liegen:

      −π2≤sin⁡−1x≤π2-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}

    2. π/6 hat den Sinus 1/2. Da der Sinus ungerade ist, lautet der Winkel im Bereich −π/6:

      sin⁡π6=12 ⇒ sin⁡(−π6)=−12\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12

    Antwort

    sin⁻¹(−1/2) = −π/6. 7π/6 und 11π/6 haben denselben Sinus, liegen aber außerhalb des Bereichs.

    sin⁡−1(−12)=−π6≈−0.5236\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236
  2. Ein negativer Kosinus 2 Schritte

    Bestimme cos⁻¹(−√3/2) exakt.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. Der Wertebereich reicht von 0 bis π, und der Referenzwinkel ist π/6:

      0≤cos⁡−1x≤π,cos⁡π6=320\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}

    2. Im Wertebereich ist der Kosinus erst jenseits von π/2 negativ, der gesuchte Winkel lautet also π − π/6:

      cos⁡(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}

    Antwort

    cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

    cos⁡−1(−32)=5π6≈2.618\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618
  3. Ein Arkustangens 2 Schritte

    Bestimme tan⁻¹(−√3) exakt.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. tan⁻¹ ist für jede reelle Zahl definiert und liefert Werte echt zwischen −π/2 und π/2:

      −π2<tan⁡−1x<π2,x∈R-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}

    2. Es gilt tan(π/3) = √3, und der Tangens ist ungerade:

      tan⁡π3=3 ⇒ tan⁡(−π3)=−3\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3

    Antwort

    tan⁻¹(−√3) = −π/3.

    tan⁡−1(−3)=−π3≈−1.0472\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472
  4. Welche Umkehrwerte existieren 2 Schritte

    Welche der Ausdrücke sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) und tan⁻¹ 1,5 existieren? Berechne die definierten Werte.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. Sinus und Kosinus bilden Koordinaten auf dem Einheitskreis; daher akzeptieren sin⁻¹ und cos⁻¹ nur Werte von −1 bis 1:

      sin⁡−1x, cos⁡−1x: −1≤x≤1;1.5∉[−1,1],−1.2∉[−1,1]\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]

    2. Der Tangens nimmt jeden reellen Wert an, folglich existiert tan⁻¹ 1,5. Dies ist kein Standardwinkel, rechne ihn also im Bogenmaß mit dem Taschenrechner aus:

      tan⁡−11.5≈0.9828≈56.3099∘\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}

    Antwort

    Nur tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828 (rund 56,3099°) existiert. sin⁻¹ 1,5 und cos⁻¹(−1,2) sind nicht definiert.

    tan⁡−11.5≈0.9828\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828
  5. Den Sinus außerhalb des Bereichs umkehren 2 Schritte

    Bestimme sin⁻¹(sin 5π/6).

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. 5π/6 liegt außerhalb des Wertebereichs, das Ergebnis ist also nicht 5π/6:

      5π6>π2\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}

    2. π − θ besitzt denselben Sinus wie θ, und π − 5π/6 liegt im Bereich:

      sin⁡(π−5π6)=sin⁡5π6,π−5π6=π6∈[−π2,π2]\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

    Antwort

    sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

    sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  6. Den Kosinus außerhalb des Bereichs umkehren 2 Schritte

    Bestimme cos⁻¹(cos 4π/3).

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. 4π/3 ist größer als π und liegt damit außerhalb des Bereichs:

      4π3>π\tfrac{4\pi}{3}>\pi

    2. 2π − θ hat denselben Kosinus wie θ, weil der Kosinus gerade ist und sich alle 2π wiederholt; zudem liegt 2π − 4π/3 im Wertebereich:

      cos⁡(2π−4π3)=cos⁡4π3,2π−4π3=2π3∈[0,π]\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]

    Antwort

    cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

    cos⁡−1(cos⁡4π3)=2π3\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}
  7. Eine Verkettung mit negativer Eingabe 3 Schritte

    Bestimme tan(cos⁻¹(−3/5)) exakt.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. Nenne den Winkel y. Sein Kosinus beträgt −3/5, womit ihn der Wertebereich hinter π/2 verortet:

      y=cos⁡−1(−35):cos⁡y=−35,π2<y≤πy=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi

    2. Dort ist der Sinus positiv; aus sin²y + cos²y = 1 folgt

      sin⁡y=+1−925=45\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    3. und mit tan y = sin y / cos y ergibt sich:

      tan⁡y=4/5−3/5=−43\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43

    Antwort

    tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

    tan⁡(cos⁡−1(−35))=−43≈−1.3333\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333
  8. Eine Verkettung in x 3 Schritte

    Drücke cos(sin⁻¹ x) durch x aus und überprüfe das Ergebnis für x = −3/5.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. Nenne den Winkel y. Der Wertebereich von sin⁻¹ hält y zwischen −π/2 und π/2, wo der Kosinus nie negativ wird:

      y=sin⁡−1x:sin⁡y=x,−π2≤y≤π2 ⇒ cos⁡y≥0y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0

    2. die Wurzel erhält also ihr positives Vorzeichen:

      cos⁡y=+1−sin⁡2y=1−x2\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}

    3. Für x = −3/5:

      cos⁡(sin⁡−1(−35))=1−925=45\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    Antwort

    cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), ganz ohne ±, für jedes x von −1 bis 1.

    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2,−1≤x≤1\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1
  9. Eine Gleichung mit Umkehrfunktion 2 Schritte

    Löse cos⁻¹ x = 2π/3 und anschließend cos⁻¹ x = −π/3.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    Lösung anzeigen

    1. Wende auf beiden Seiten den Kosinus an. Da 2π/3 im Wertebereich liegt, ist dies die einzige Lösung:

      cos⁡−1x=2π3 ⇒ x=cos⁡2π3=−12\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12

    2. cos⁻¹ liefert niemals −π/3, da dieser Wert außerhalb des Wertebereichs liegt:

      −π3∉[0,π]-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]

    Antwort

    x = −1/2 für die erste Gleichung; die zweite hat keine Lösung. Zwar ist cos(−π/3) = 1/2, aber cos⁻¹(1/2) ist π/3.

    x=−12;−π3∉[0,π]⇒∅x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

  1. Bestimme tan⁻¹(tan 2π/3).

    Ergebnis anzeigen

    −π/3, also 2π/3 − π.

    tan⁡−1(tan⁡2π3)=−π3\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}

  2. Bestimme cos⁻¹(cos(−2π/5)).

    Ergebnis anzeigen

    2π/5, da der Kosinus gerade ist.

    cos⁡−1(cos⁡(−2π5))=2π5\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}

  3. Bestimme sin⁻¹(sin 4), wobei 4 im Bogenmaß steht.

    Ergebnis anzeigen

    π − 4 ≈ −0,8584, da 4 zwischen π/2 und 3π/2 liegt.

    sin⁡−1(sin⁡4)=π−4≈−0.8584\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584

  4. Bestimme sin(cos⁻¹(−12/13)) exakt.

    Ergebnis anzeigen

    5/13: Der Winkel liegt jenseits von π/2, wo der Sinus positiv ist.

    sin⁡(cos⁡−1(−1213))=513\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}

  5. Drücke tan(sin⁻¹ x) durch x aus.

    Ergebnis anzeigen

    x/√(1 − x²), für −1 < x < 1.

    tan⁡(sin⁡−1x)=x1−x2,−1<x<1\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1

  6. Zeige, dass sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 für −1 ≤ x ≤ 1 gilt, und überprüfe dies für x = −1/2.

    Ergebnis anzeigen

    Mit y = sin⁻¹ x gilt cos(π/2 − y) = sin y = x. Weil π/2 − y zwischen 0 und π liegt, folgt π/2 − y = cos⁻¹ x.

    sin⁡−1(−12)+cos⁡−1(−12)=−π6+2π3=π2\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}

Auf dem halben Kreis läuft sin⁻¹(sin θ) rückwärts

Klick auf sin⁻¹(sin 150°): Das Ergebnis ist 30°. Zieh nun θ von 90° bis 270°. Während θ ansteigt, fällt sin⁻¹(sin θ) von 90° auf −90° – mit einer Steigung von exakt −1, denn auf diesem Abschnitt gilt 180° − θ. Der Sinus klettert bei 90° auf 1 und kehrt dann um; jede Funktion, die ihn rückgängig machen soll, muss diese Umkehrung mitmachen. Der Kosinus kehrt bei 0° und 180° um; zwischen −180° und 180° zeichnet cos⁻¹(cos θ) deshalb das V von |θ|. Der Tangens kehrt dagegen nie um. Zwischen seinen Asymptoten steigt er auf jedem Abschnitt ununterbrochen an. Folglich läuft tan⁻¹(tan θ) niemals rückwärts; die Kurve fällt lediglich um 180° ab, sobald θ ein ungerades Vielfaches von 90° überschreitet. tan⁻¹(tan 135°) ergibt 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ kann nicht denselben Bereich wie sin⁻¹ nutzen

Zwischen −90° und 90° wird der Kosinus nie negativ. Zudem nimmt er jeden Wert echt zwischen 0 und 1 gleich doppelt an: einmal bei θ und einmal bei −θ. Eine echte Umkehrung verlangt jedoch in beiden Punkten das Gegenteil: jeden Wert von −1 bis 1, und jeden davon genau einmal. Daher antwortet cos⁻¹ zwischen 0° und 180°, also auf der oberen Kreishälfte, wo der Kosinus stetig von 1 auf −1 fällt. Das merkst du sofort bei negativen Eingaben. sin⁻¹(−1/2) liegt mit −30° unterhalb der x-Achse, aber cos⁻¹(−√3/2) ist 150°. Ein negativer Kosinus führt nie zu einem negativen Winkel, sondern schiebt das Ergebnis immer über 90° hinaus.

cos(sin⁻¹ x) braucht niemals ein ±

Beim trigonometrischen Pythagoras lieferte √(1 − sin²θ) nur den Betrag von cos θ, und der jeweilige Quadrant musste das Vorzeichen beisteuern. Hier regelt der Wertebereich das Vorzeichen ganz von allein. sin⁻¹ x liegt zwischen −90° und 90°, wo der Kosinus nirgends negativ wird. Deshalb gilt cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) für jedes x von −1 bis 1. Bei x = −3/5 ergibt das +4/5, obwohl der Winkel selbst negativ ist. Dasselbe gilt für sin(cos⁻¹ x), da der Sinus von 0° bis 180° nie negativ ausfällt. Der Tangens kann durchaus negativ werden, weil der Wertebereich von cos⁻¹ den II. Quadranten einschließt. Aber tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x transportiert dieses Vorzeichen bereits im x und kommt ebenfalls ohne ± aus. Klick auf tan(cos⁻¹(−3/5)): Der Winkel beträgt 126,8699°, der Tangens also −4/3.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (1)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.