Trigonometrische Identitäten beweisen

Gib die Behauptung ein, linke Seite ≡ rechte Seite, und führe deine Umformungen Zeile für Zeile fort – jede Zeile wertgleich mit der darüber. Jeder Schritt wird an 64 Winkeln einer vollen Umdrehung geprüft: Ein Häkchen bestätigt die Übereinstimmung überall dort, wo beide Seiten definiert sind. Ein Kreuz nennt den ersten abweichenden Winkel, und eine Warnung weist auf Definitionslücken hin. Über die Tasten fügst du Funktionen, Potenzen und Wurzeln ein.

In Sinus und Kosinus	$\begin{gathered}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{gathered}$
Quadrate von Sinus und Kosinus	$\begin{gathered}\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\\ 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x\end{gathered}$
1 ± sin x im Nenner	$(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^{2}x$
Differenz zweier Quadrate	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Rechenbeispiel — Trigonometrische Identitäten beweisen

rechte Seite	64 geprüfte Winkel

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Trigonometrische Identitäten beweisen

Eine Identität zu beweisen bedeutet zu zeigen, dass zwei Terme an jedem Winkel übereinstimmen, an dem beide definiert sind – durch eine Kette wertgleicher Terme von einer Seite zur anderen.

Woher die Formel kommt

Beginne mit der komplizierteren Seite, meist jener mit mehr Gliedern, Brüchen oder zusammengesetzten Winkeln: Dort gibt es schlicht mehr zu vereinfachen.
$\tan x+\cot x=\cdots=\sec x\csc x$
Drücke alles durch Sinus und Kosinus aus, wenn tan, sec, csc oder cot gemischt vorkommen: tan x = sin x/cos x und die Kehrwerte.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\quad\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}$
Nutze vertraute Algebra: den Hauptnenner bilden, die Differenz zweier Quadrate erkennen oder mit 1 − sin x erweitern, um 1 − sin²x zu erhalten.
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x$
Setze passende Identitäten ein: sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x sowie Additionstheoreme und Verdopplungsformeln.
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\qquad1+\tan^{2}x=\sec^{2}x,\qquad1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
Beende die Rechnung exakt mit der anderen Seite. Jede Zeile muss überall dort denselben Wert haben wie die Zeile darüber, wo beide definiert sind; dann entspricht auch die erste Zeile der letzten – vorausgesetzt, keine Zeile reißt Definitionslücken auf. Quadriere niemals beide Seiten der Behauptung: Quadrieren verschluckt das Vorzeichen, und aus Falschem kann Wahres entstehen.
$f_{0}=f_{1}=f_{2}=\cdots=f_{n}\ \Rightarrow\ f_{0}\equiv f_{n}$

Aufgaben vollständig gelöst

Umwandlung in Sinus und Kosinus 3 Schritte
Beweise, dass tan x + cot x ≡ sec x csc x gilt.

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1. Drücke die linke Seite durch Sinus und Kosinus aus:
  
  $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Bringe die Brüche auf den Hauptnenner sin x cos x:
  
  $=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}$
3. Der Zähler ergibt 1; mit den Kehrwerten folgt der letzte Schritt:
  
  $=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\csc x$
Antwort

tan x + cot x ≡ sec x csc x, überall wo sin x und cos x ungleich null sind. Die Seite bestätigt die Gleichheit an allen 64 Winkeln.

$\tan x+\cot x\equiv\sec x\csc x$
Differenz zweier Quadrate 2 Schritte
Beweise, dass cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x gilt.

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1. cos⁴x − sin⁴x ist die Differenz zweier Quadrate, nämlich von cos²x und sin²x:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)$
2. Die zweite Klammer ergibt 1, die erste entspricht der Verdopplungsformel:
  
  $=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot1=\cos2x$
Antwort

cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x für jedes x.

$\cos^{4}x-\sin^{4}x\equiv\cos2x$
Erweitern mit dem konjugierten Term 2 Schritte
Beweise, dass (1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x) gilt.

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1. Erweitere mit 1 − sin x, sodass im Zähler eine Differenz von Quadraten entsteht:
  
  $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}$
2. 1 − sin²x = cos²x, und ein cos x kürzt sich heraus:
  
  $=\frac{\cos^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Antwort

(1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x), überall wo cos x ≠ 0 und sin x ≠ 1 gilt.

$\frac{1+\sin x}{\cos x}\equiv\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Additionstheoreme und Verdopplungsformeln kombiniert 3 Schritte
Beweise, dass sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x gilt.

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1. Schreibe 3x = 2x + x und wende das Additionstheorem an:
  
  $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$
2. Nutze dann die Verdopplungsformeln; wähle für cos 2x die Darstellung, die ausschließlich Sinusterme enthält:
  
  $=2\sin x\cos^{2}x+(1-2\sin^{2}x)\sin x$
3. Ersetze cos²x durch 1 − sin²x und fasse zusammen:
  
  $=2(1-\sin^{2}x)\sin x+\sin x-2\sin^{3}x=3\sin x-4\sin^{3}x$
Antwort

sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x für jedes x.

$\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^{3}x$
Eine falsche Behauptung und wo sie scheitert 3 Schritte
Ist √(1 − cos²x) = sin x eine Identität? Falls nicht, gib einen Winkel an, an dem sie scheitert, und korrigiere sie.

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1. Der erste Schritt ist eine echte Identität:
  
  $\sqrt{1-\cos^{2}x}=\sqrt{\sin^{2}x}$
2. Die Quadratwurzel eines Quadrats ist der Betrag, nicht die Zahl selbst:
  
  $\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|$
3. Die Behauptung scheitert also überall dort, wo sin x < 0 ist. Beim ersten fehlerhaften Winkel dieser Seite:
  
  $x=264{.}98^{\circ}:\quad|\sin x|=0{.}9962,\qquad\sin x=-0{.}9962$
Antwort

Nein. Die Gleichung scheitert im gesamten Bereich 180° < x < 360°, beispielsweise bei 264,98°, wo die Seiten 0,9962 und −0,9962 ergeben. Die korrekte Identität lautet √(1 − cos²x) = |sin x|.

$\sqrt{1-\cos^{2}x}\equiv|\sin x|$
Erst beweisen, dann lösen 3 Schritte
Beweise, dass (1 − cos 2x)/sin 2x ≡ tan x gilt, und bestimme damit alle Lösungen von (1 − cos 2x)/sin 2x = √3 für 0° < x < 360°.
Lösung anzeigen
1. Wähle die Form von cos 2x, mit der 1 − cos 2x zu einem einzelnen Term wird, und nutze die Verdopplungsformel für den Sinus:
  
  $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\frac{1-(1-2\sin^{2}x)}{2\sin x\cos x}=\frac{2\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\tan x$
2. Damit lautet die Gleichung tan x = √3 mit der Tangensperiode 180°:
  
  $\tan x=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x=60^{\circ},\quad x=60^{\circ}+180^{\circ}=240^{\circ}$
3. Prüfe nach, dass sin 2x ≠ 0 an beiden Stellen gilt, die linke Seite dort also definiert ist:
  
  $\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0,\qquad\sin480^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0$
Antwort

x = 60° oder x = 240°.

$x=60^{\circ},\ 240^{\circ}$
Finde den Fehler 2 Schritte
In einer Rechnung steht cos⁴x − sin⁴x = (cos²x − sin²x)² = cos 2x. Finde den Fehler.

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1. Im ersten Schritt wird eine Differenz zweier Quadrate fälschlicherweise als Quadrat der Differenz faktorisiert:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x\ \ne\ (\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}$
2. Beides ist nicht gleich. Bei 42,49°, dem ersten abweichenden Winkel dieser Seite:
  
  $x=42{.}49^{\circ}:\quad\cos^{4}x-\sin^{4}x=0{.}0874,\qquad(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}=0{.}0076$
Antwort

Schritt 1 ist falsch: Es gilt a² − b² = (a − b)(a + b) und nicht (a − b)². Die rechte Seite ergäbe cos²2x; die Rechnung beweist also nichts, obwohl die eigentliche Behauptung stimmt.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\ne(a-b)^{2}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Beweise, dass 1/(1 − sin x) + 1/(1 + sin x) ≡ 2 sec²x gilt.

Ergebnis anzeigen

Hauptnenner 1 − sin²x = cos²x; die Zähler addieren sich zu 2.

$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin^{2}x}=\frac{2}{\cos^{2}x}=2\sec^{2}x$
Beweise, dass (sin x + cos x)² ≡ 1 + sin 2x gilt.

Ergebnis anzeigen

Ausmultiplizieren: sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.

$(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$
Beweise, dass sec⁴x − tan⁴x ≡ sec²x + tan²x gilt.

Ergebnis anzeigen

Als (sec²x − tan²x)(sec²x + tan²x) faktorisieren; es gilt sec²x − tan²x = 1.

$\sec^{4}x-\tan^{4}x=(\sec^{2}x-\tan^{2}x)(\sec^{2}x+\tan^{2}x)=\sec^{2}x+\tan^{2}x$
Beweise, dass cot x − tan x ≡ 2 cot 2x gilt.

Ergebnis anzeigen

Auf dem Hauptnenner sin x cos x ergibt der Zähler cos²x − sin²x = cos 2x, und sin x cos x = ½ sin 2x.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}=2\cot2x$
Gilt sin x/(1 + cos x) ≡ (1 − cos x)/sin x?

Ergebnis anzeigen

Ja, überall dort, wo beide Seiten definiert sind: Erweitere die rechte Seite mit 1 + cos x.

$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x\,(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
Ist cos x = √(1 − sin²x) eine Identität?

Ergebnis anzeigen

Nein: Sie scheitert überall dort, wo cos x < 0 ist, beispielsweise bei 120°, wo die linke Seite −1/2 und die rechte 1/2 liefert.

$x=120^{\circ}:\quad\cos x=-\tfrac12,\quad\sqrt{1-\sin^{2}x}=\tfrac12$

Übereinstimmung an wenigen Winkeln ist ein Indiz, kein Beweis

Klicke auf √(1 − cos²x) = sin x? und teste 30°, 45°, 60°, 90° oder 150°, die typischen Winkel beim schnellen Nachrechnen. Jedes Mal stimmen beide Seiten überein. Dennoch ist die Behauptung falsch. Die Seite findet die erste Abweichung bei 264,98°: Dort liefert die linke Seite 0,9962 und die rechte −0,9962. Eine Quadratwurzel ist niemals negativ, während sin x im III. und IV. Quadranten negativ ausfällt. Eine Prüfung auf der halben Drehung mit positivem Sinus hätte nichts gezeigt; genau deshalb verteilt die Seite ihre 64 Winkel über die gesamte Umdrehung. Was tatsächlich gilt, ist √(1 − cos²x) = |sin x|.

Beidseitiges Quadrieren täuscht einen Beweis nur vor

Dieselbe falsche Behauptung übersteht den einen Schritt, der sich nicht umkehren lässt: Quadrierst du beide Seiten von √(1 − cos²x) = sin x, erhältst du 1 − cos²x = sin²x, was für jeden Winkel zutrifft. Beim Quadrieren geht jedoch das Vorzeichen verloren; sin x und −sin x lassen sich danach nicht mehr unterscheiden. Eine wahre Aussage am Ende einer Kette von Quadrierungen besagt daher nichts über den Anfang: Aus −1 = 1 wird durch Quadrieren schließlich auch 1 = 1. Genau deshalb verläuft ein Beweis stets in eine Richtung, von einer Seite zur anderen, mit lauter wertgleichen Zeilen. Jedes Gleichheitszeichen ist dann eine gesicherte Aussage über dieselbe Zahl, und diese Kette trägt dich von links nach rechts.

Bei ganzzahligen Vielfachen von x genügen ausreichend viele Winkel als Beweis

Es gibt einen Fall, in dem das Prüfen von Winkeln die Behauptung tatsächlich beweist. Eine Summe aus Sinus- und Kosinustermen von x, 2x, …, nx (ein trigonometrisches Polynom vom Grad n), die nicht überall null ist, hat auf einer Umdrehung höchstens 2n Nullstellen. Setzt man z für den Punkt beim Winkel x auf dem Einheitskreis, entsteht ein Polynom in z vom Grad 2n geteilt durch zⁿ, und ein solches Polynom hat maximal 2n Nullstellen. Stimmen zwei solche Ausdrücke an 2n + 1 verschiedenen Winkeln einer Umdrehung überein, stimmen sie folglich überall überein. Bei Brüchen gilt nach dem Ausmultiplizieren der Nenner dasselbe. Die Übereinstimmung an allen 64 Winkeln dieser Seite beweist daher jede Behauptung bis zum Grad 31 nach Beseitigung der Nenner, abgesehen von Rundungsfehlern. Quadratwurzeln und Beträge fallen nicht unter dieses Argument – und genau dort liegt die falsche Behauptung aus dem ersten Abschnitt.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (1)

The method the lesson states: work on one side, usually the more complex one; factor, square a binomial or add fractions; failing that, convert to sines and cosines: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Trigonometrische Identitäten beweisen

Woher die Formel kommt

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