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Mittelwertsatz

Gib f und das Intervall ein. Die gestrichelte Sekante verbindet die beiden Endpunkte. Zieh c entlang der Kurve oder nutze den Schieberegler, bis die Tangente bei c parallel dazu verläuft. Das untere Diagramm zeigt f′ zusammen mit der Sekantensteigung m: Jedes c entspricht einem Schnittpunkt der beiden.

Mittelwertsatz f′(c)=f(b)−f(a)b−a,a<c<bf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b
Satz von Rolle f(a)=f(b) ⇒ f′(c)=0,a<c<bf(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b
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Lektion

Die Theorie — Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz: Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), dann verläuft die Tangente an mindestens einer Stelle c echt zwischen a und b parallel zur Sekante: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Der Satz von Rolle ist der Spezialfall f(a) = f(b), in dem f′(c) = 0 gilt.

Woher die Formel kommt

  1. Prüfe die Voraussetzungen. f darf auf ganz [a, b] einschließlich der Randpunkte keine Sprungstelle haben und muss an jedem Punkt im Inneren differenzierbar sein. Polynome, eˣ, sin und cos erfüllen das auf jedem Intervall. Halte Ausschau nach Divisionen durch null, Wurzeln aus negativen Zahlen oder Knicken wie bei |x|.
    lim⁡x→x0f(x)=f(x0)(a≤x0≤b)f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h(a<x<b)\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}
  2. Bestimme die Sekantensteigung. m ist der Höhenunterschied von f(a) zu f(b) geteilt durch die Schrittweite von a nach b – im Bild die gestrichelte Gerade.
    m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
  3. Warum ein c existieren muss. Der vertikale Abstand g zwischen Kurve und Sekante ist an beiden Enden 0. Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt stets ein Maximum und ein Minimum an. Ist g nicht überall 0, liegt mindestens eines davon im Inneren, wo die Kurve am weitesten von der Sekante entfernt ist. Dort gilt g′ = 0, also f′(c) = m. Im Bild ist das der Punkt, an dem die Tangente parallel liegt.
    g(x)=f(x)−f(a)−m (x−a)g(a)=g(b)=0⇒ g′(c)=f′(c)−m=0\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}
  4. Löse f′(c) = m und behalte nur Werte echt zwischen a und b. Ein Ergebnis außerhalb des Intervalls oder auf dem Rand zählt nicht als c.
    f′(c)=m,a<c<bf'(c)=m,\qquad a<c<b

Aufgaben vollständig gelöst

  1. c bestimmen und die äußere Lösung verwerfen 2 Schritte

    Zeige, dass f(x) = x³ die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes auf [0, 3] erfüllt, und finde jedes versprochene c.

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    1. f ist ein Polynom, also überall stetig und differenzierbar. Die Sekantensteigung:

      m=f(3)−f(0)3−0=27−03=9m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9

    2. Löse f′(c) = m:

      3c2=9 ⇒ c=±33c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}

    Antwort

    c = √3 ≈ 1,7321. Die Lösung −√3 löst zwar ebenfalls 3c² = 9, liegt aber außerhalb von (0, 3).

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321
  2. Satz von Rolle: gleiche Randwerte 2 Schritte

    Bestätige den Satz von Rolle für f(x) = sin x + cos x auf [0, π/2].

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    1. sin und cos sind überall stetig und differenzierbar. Die Randwerte stimmen überein:

      f(0)=0+1=1f ⁣(π2)=1+0=1\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}

    2. Die Sekante verläuft also waagerecht und für ein c gilt f′(c) = 0:

      cos⁡c−sin⁡c=0⇒ tan⁡c=1 ⇒ c=π4\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

    Antwort

    c = π/4 ≈ 0,7854, der Hochpunkt des Bogens.

    c=π4≈0.7854c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854
  3. Zwei Werte für c 2 Schritte

    Bestimme jedes vom Mittelwertsatz versprochene c für f(x) = x³ − 3x auf [−2, 2].

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    1. Ein Polynom, also sind beide Voraussetzungen erfüllt. Die Sekantensteigung:

      m=f(2)−f(−2)2−(−2)=2−(−2)4=1m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1

    2. Löse f′(c) = m:

      3c2−3=1 ⇒ c=±233c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}

    Antwort

    c = −2/√3 ≈ −1,1547 und c = 2/√3 ≈ 1,1547. Beide liegen in (−2, 2); das »mindestens ein« des Satzes liefert hier also zwei Werte.

    c=±23≈±1.1547c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547
  4. Eine Exponentialfunktion: c über den Logarithmus 2 Schritte

    Bestimme den vom Mittelwertsatz garantierten Wert c für f(x) = eˣ auf [0, 1].

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    1. eˣ ist überall stetig und differenzierbar. Die Sekantensteigung:

      m=e1−e01−0=e−1m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1

    2. Löse f′(c) = eᶜ = m durch Logarithmieren:

      ec=e−1 ⇒ c=ln⁡(e−1)e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)

    Antwort

    c = ln(e − 1) ≈ 0,5413, was in (0, 1) liegt.

    c=ln⁡(e−1)≈0.5413c=\ln(e-1)\approx0{.}5413
  5. Ein Knick im Inneren: kein c 2 Schritte

    Zeige, dass für f(x) = |x| kein c in (−1, 2) mit f′(c) = (f(2) − f(−1))/3 existiert. Warum widerspricht das nicht dem Mittelwertsatz?

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    1. Die Sekantensteigung:

      m=∣2∣−∣−1∣2−(−1)=13m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}

    2. Außerhalb der 0 beträgt die Steigung von |x| stets −1 oder 1, niemals 1/3:

      f′(x)=−1(x<0)f′(x)=1(x>0)\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}

    Antwort

    Es existiert kein c. |x| ist an der Stelle 0 im Inneren von (−1, 2) nicht differenzierbar. Damit ist die Differenzierbarkeit verletzt und der Satz sichert nichts zu.

    f′(c)≠13  ∀c∈(−1,2)f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)
  6. Definitionslücke im Inneren: Rolles Aussage scheitert 2 Schritte

    f(x) = 1/x² hat f(−1) = f(1). Gibt es ein c in (−1, 1) mit f′(c) = 0? Erkläre.

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    1. Die Randwerte stimmen überein, die Sekante ist also waagerecht:

      f(−1)=1(−1)2=1=f(1),m=0f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0

    2. Doch f′ wird niemals 0:

      f′(x)=−2x3≠0  (x≠0)f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)

    Antwort

    Nein. f ist bei 0 nicht definiert und somit auf [−1, 1] nicht stetig. Der Satz von Rolle greift nicht und seine Aussage tritt nicht ein.

    f′(c)≠0  ∀c∈(−1,1)f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)
  7. Keine Ableitung am Rand: Der Satz gilt dennoch 2 Schritte

    Gilt der Mittelwertsatz für f(x) = √x auf [0, 4]? Falls ja, bestimme c.

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    1. √x ist stetig auf [0, 4] und differenzierbar auf (0, 4); f′(0) existiert nicht, doch an einem Rand wird keine Ableitung verlangt. Die Sekantensteigung:

      m=4−04−0=12m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}

    2. Löse f′(c) = m:

      12c=12 ⇒ c=1 ⇒ c=1\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1

    Antwort

    Ja; c = 1.

    c=1c=1
  8. Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Kameras 2 Schritte

    Ein Auto passiert eine Kamera und 6 Minuten später eine zweite, 12 km weiter entlang der Straße. Das Tempolimit liegt bei 100 km/h. Zeige, dass das Auto zu irgendeinem Zeitpunkt dazwischen exakt 120 km/h fuhr.

    Lösung anzeigen

    1. Sei s(t) die zurückgelegte Strecke in km nach t Stunden. Das Auto bewegt sich ohne Sprünge und hat zu jedem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit, daher ist s stetig und differenzierbar. Die Durchschnittsgeschwindigkeit über die 0,1 h ist die Sekantensteigung:

      s(0.1)−s(0)0.1−0=120.1=120 km/h\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}

    2. Nach dem Mittelwertsatz gibt es einen Zeitpunkt c zwischen den Kameras mit s′(c) gleich diesem Wert:

      s′(c)=120 km/h,0<c<0.1s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1

    Antwort

    Zu irgendeinem Zeitpunkt betrug die Geschwindigkeit exakt 120 km/h. Das Auto hat das Tempolimit also überschritten, selbst wenn kein Blitzer einzeln ausgelöst hat.

    s′(c)=120 km/h>100 km/hs'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}
  9. Schranke aus einer Schranke für f′ 2 Schritte

    f ist differenzierbar, f(1) = 10 und f′(x) ≤ 3 für jedes x. Wie groß kann f(5) höchstens sein?

    Lösung anzeigen

    1. Auf [1, 5] liefert der Mittelwertsatz ein c mit:

      f(5)−f(1)5−1=f′(c),1<c<5\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5

    2. Wegen f′(c) ≤ 3 folgt:

      f(5)=f(1)+4f′(c)≤10+4⋅3=22f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22

    Antwort

    f(5) ≤ 22, und f(x) = 3x + 7 erreicht diesen Wert.

    f(5)≤22f(5)\le22

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

  1. Bestimme c für f(x) = x² − 4x + 1 auf [0, 5].

    Ergebnis anzeigen

    c = 2,5

    c=52c=\frac{5}{2}

  2. Bestätige den Satz von Rolle für f(x) = x³ − 4x auf [0, 2] und bestimme c.

    Ergebnis anzeigen

    c = 2/√3 ≈ 1,1547

    c=23≈1.1547c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547

  3. Bestimme c für f(x) = ln x auf [1, e].

    Ergebnis anzeigen

    c = e − 1 ≈ 1,7183

    c=e−1≈1.7183c=e-1\approx1{.}7183

  4. Bestimme c für f(x) = 1/x auf [1, 3].

    Ergebnis anzeigen

    c = √3 ≈ 1,7321

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321

  5. Gilt der Mittelwertsatz für f(x) = |x − 2| auf [0, 3]? Gibt es ein c?

    Ergebnis anzeigen

    Nein: Knick bei x = 2; die Sekantensteigung beträgt −1/3 und f′ nimmt nur ±1 an, daher gibt es kein c

    f′(x)=±1≠−13f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}

  6. f(0) = 5 und f′(x) ≥ −2 für jedes x. Was ist der kleinstmögliche Wert von f(6)?

    Ergebnis anzeigen

    −7

    f(6)≥−7f(6)\ge-7

Die Ränder dürfen schwächeln, das Innere nicht

Klick auf √x auf [0, 4]. Bei 0 verlässt die Kurve die Achse senkrecht und f′(0) existiert nicht – doch c = 1 ist da, mit einer Tangentensteigung von 1/2 parallel zur Sekante. Wähle nun |x| auf [−1, 2]. Die Sekantensteigung ist 1/3, jede Tangente hat Steigung −1 oder 1, und es gibt kein c. Der Unterschied liegt darin, wo die Problemstelle sitzt. Der Satz sichert ein c stets echt zwischen a und b zu, braucht die Ableitung also nur dort; ein Randpunkt darf steil oder abgeknickt sein. Was ein Randpunkt jedoch niemals darf: abreißen. Denn dann verbindet die Sekante den falschen Punkt. Stetigkeit gilt für das abgeschlossene Intervall, Differenzierbarkeit für das offene. Genau wegen dieses Unterschieds stehen in der Formulierung zwei verschiedene Arten von Klammern.

Der Satz hinter jedem + C

Kaum eine Klausuraufgabe fragt nach c. Seinen festen Platz verdient sich der Satz durch das, was er beweist. Gilt f′(x) = 0 an jedem Punkt eines Intervalls, hat jede Sekante dort die Steigung einer Tangente, also 0. Damit nimmt f an zwei beliebigen Punkten denselben Wert an: f ist konstant. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion besitzen eine Differenz mit Ableitung 0, unterscheiden sich auf einem Intervall also nur um eine Konstante. Das ist das vertraute + C – ein mathematischer Lehrsatz, keine reine Vereinbarung. Der Zusatz »auf einem Intervall« gehört unabdingbar dazu: ln|x| + 1 für x < 0 zusammen mit ln|x| − 3 für x > 0 ist ebenfalls eine Stammfunktion von 1/x, weil kein Intervall die 0 überbrückt. Dieselbe Überlegung mit f′ > 0 besagt, dass jede Sekante steigt, f also streng monoton wächst. Genau darauf baut die nächste Seite auf.

Bei einer Parabel ist c stets der Mittelpunkt

Wähle x² auf [1, 3]: c = 2, genau auf halbem Weg. Das ist kein Zufall der Zahlen. Für f(x) = px² + qx + r ergibt sich die Sekantensteigung stets zu p(a + b) + q, was auf jedem Intervall exakt f′ an der Stelle (a + b)/2 entspricht. Als Bewegung gelesen bedeutet das: Unter konstanter Beschleunigung entspricht die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine Zeitspanne genau der Momentangeschwindigkeit in deren zeitlicher Mitte. William Heytesbury formulierte diese Regel bereits in den 1330er-Jahren in Oxford, und Galilei baute drei Jahrhunderte später beim freien Fall darauf auf. Eine kubische Funktion bricht sofort damit: Wähle x³ auf [0, 3] und du erhältst c = √3 ≈ 1,7321, keineswegs 1,5.

Lernpfad

Was f′ und f″ über einen Graphen verraten

Quellen (2)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.