Optimierung: Schachtel und Dose

Wo eine Größe ihr Maximum erreicht, hört sie auf zu wachsen; ihre Änderungsrate ist dort null. Genau so spürt die Ableitung die geräumigste Schachtel oder die sparsamste Dose auf, ganz ohne langes Durchprobieren. Verändere Schnittiefe oder Radius und sieh zu, wie sich die Tangente waagerecht legt. Gehe die Rechnung dann Schritt für Schritt durch, einschließlich der Randwertprüfung.

Extrema auf einem abgeschlossenen Intervall	$\begin{aligned}&\max_{[a,b]}f,\ \min_{[a,b]}f\\ &\quad\in\ \{\,f(a),\ f(b)\,\}\ \cup\ \{\,f(c):\ f'(c)=0\,\}\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Optimierung: Schachtel und Dose

Volumen deiner Schachtel, cm³	1.936
Änderungsrate V′(x), cm³ pro cm Schnitt	132
Bester Schnitt, cm	5
Volumen der besten Schachtel, cm³	2.000
Deine Schachtel im Vergleich zum Optimum	-3,2 %

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Optimierung: Schachtel und Dose

Optimierung mit der Ableitung: Stell die Größe, die du maximieren oder minimieren möchtest, als Funktion einer Variablen auf dem zulässigen Intervall auf. Finde heraus, wo ihre Ableitung null wird. Vergleiche die Funktionswerte dort mit den Randwerten des Intervalls. Auf einem abgeschlossenen Intervall gehören größter und kleinster Wert einer differenzierbaren Funktion garantiert zu diesen Kandidaten. Bei einer Dose kann der Radius jede positive Zahl annehmen. Ränder zum Vergleichen gibt es hier also nicht. Stattdessen entscheidet das Vorzeichen der Ableitung: Ist sie vor der kritischen Stelle durchgehend negativ und danach durchgehend positiv, fällt die Funktion zunächst und steigt anschließend wieder an. An der kritischen Stelle nimmt sie somit ihren kleinsten Wert auf dem gesamten Bereich an.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

x: Kantenlänge des an jeder Ecke ausgeschnittenen Quadrats, in cm
r: Radius der Dose, in cm; die Höhe ergibt sich anschließend aus dem Volumen
k: Kosten für einen Quadratzentimeter Deckel/Boden, gemessen in Einheiten der Mantelfläche

Setzt voraus: Das Blech ist quadratisch, die Schachtel hat keinen Deckel. Die Dose ist ein geschlossener Zylinder, dessen Blechbedarf rein nach der Fläche berechnet wird: ohne Falze, ohne Ränder und ohne Berücksichtigung der Blechdicke.

Aufgaben vollständig gelöst

Die beste Schachtel aus einem 24-cm-Quadrat 3 Schritte
Schneide an den Ecken eines quadratischen Bogens mit 24 cm Seitenlänge gleich große Quadrate aus und klappe die Seiten hoch. Welcher Schnitt ergibt das größte Volumen, und wie viel fasst die Schachtel?

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1. Drücke das Volumen durch die Schnittlänge x aus. Weiter als bis zur halben Seite kannst du nicht schneiden:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le12$
2. Leite mit der Produktregel ab und klammere den gemeinsamen Faktor aus:
  
  $V'(x)=(24-2x)^{2}+x\cdot2(24-2x)(-2)=(24-2x)(24-6x)$
3. Beide Nullstellen kommen als Kandidaten infrage, ebenso die beiden Ränder des Intervalls:
  
  $V'(x)=0\ \Rightarrow\ x=4\ \text{or}\ x=12,\qquad V(0)=V(12)=0,\qquad V(4)=4\times16^{2}=1{,}024$
Antwort

Schneide an jeder Ecke 4 cm heraus. Die Schachtel misst 16 cm im Quadrat, ist 4 cm tief und fasst 1.024 cm³. Der Schnitt macht genau ein Sechstel der Seitenlänge aus – wie bei jedem quadratischen Bogen. Auch die Nullstelle x = 12 kommt als Kandidat infrage, liefert aber gar keine Schachtel: Die beiden Schnitte jeder Seite treffen direkt aufeinander, sodass kein Boden übrig bleibt.

$x=4\ \mathrm{cm},\qquad V=1{,}024\ \mathrm{cm^{3}}$
Derselbe Bogen, höchstens 3 cm tief 3 Schritte
Die Schachtel aus dem 24-cm-Bogen soll in ein Regal passen und darf deshalb höchstens 3 cm tief sein. Welcher Schnitt ist jetzt der beste, und ist die Ableitung dort null?

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1. Für das Volumen gilt dieselbe Funktion, nun aber auf einem kleineren Intervall:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le3$
2. Auf diesem Intervall bleiben beide Faktoren von V′ positiv:
  
  $0\le x\le3:\qquad 24-2x\ge18>0,\quad 24-6x\ge6>0\ \Rightarrow\ V'(x)>0$
3. Also wächst das Volumen bis zur Grenze durchgehend an, und die beste Schachtel liegt direkt am Rand:
  
  $V(3)=3\times18^{2}=972,\qquad V'(3)=18\times6=108$
Antwort

Schneide 3 cm heraus. Die Schachtel fasst 972 cm³, und die Änderungsrate beträgt dort 108 cm³ pro cm statt null. Setzt du V′ = 0, erhältst du x = 4. Das scheidet hier aus. Das Maximum liegt an einer Intervallgrenze, und du findest es nur, wenn du gezielt die Ränder prüfst.

$x=3\ \mathrm{cm},\qquad V=972\ \mathrm{cm^{3}},\qquad V'(3)=108\neq0$
Die Dose mit dem geringsten Blechverbrauch 3 Schritte
Eine geschlossene Zylinderdose soll 1000 cm³ fassen. Boden und Deckel werden aus demselben Blech geschnitten wie ihr Mantel. Bei welchem Radius verbraucht sie am wenigsten Blech, und wie hoch ist diese Dose?

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1. Das Volumen legt die Höhe fest; damit hängt der Blechverbrauch nur noch von r ab:
  
  $\pi r^{2}h=1000\ \Rightarrow\ h=\frac{1000}{\pi r^{2}},\qquad M(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Setze M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=\frac{500}{\pi}\ \Rightarrow\ r=5{.}419\ \mathrm{cm}$
3. Höhe und Blechbedarf. Unterhalb dieses Radius ist M′ negativ, oberhalb positiv; damit liegt das Minimum vor:
  
  $h=\frac{1000}{\pi\times5{.}419^{2}}=10{.}84=2r,\qquad M=2\pi(5{.}419)^{2}+\frac{2000}{5{.}419}=553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Antwort

r ≈ 5,42 cm und h ≈ 10,84 cm: Die Dose ist genauso hoch wie breit und verbraucht 553,6 cm² Blech. h = 2r gilt exakt und ist kein Rundungszufall: Mit πr³ = 500 folgt h = 1000/(πr²) = 2r.

$r\approx5{.}42\ \mathrm{cm},\qquad h=2r\approx10{.}84\ \mathrm{cm},\qquad M\approx553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Aus Quadraten gestanzte Deckel 3 Schritte
Dieselbe Dose mit 1000 cm³, doch Boden und Deckel werden nun jeweils aus einem Quadrat der Seitenlänge 2r ausgestanzt und die Ecken weggeworfen. Welcher Radius verbraucht jetzt am wenigsten Blech, wenn die ganzen Quadrate zählen?

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1. Ein Quadratzentimeter für Boden und Deckel kostet nun das Verhältnis von Quadrat- zu Kreisfläche, 4/π; sie fallen rechnerisch also stärker ins Gewicht:
  
  $k=\frac{(2r)^{2}}{\pi r^{2}}=\frac{4}{\pi},\qquad M(r)=2k\pi r^{2}+\frac{2000}{r}=8r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Setze M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=16r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=125\ \Rightarrow\ r=5\ \mathrm{cm}$
3. Blechbedarf und Höhe:
  
  $M(5)=8\times25+\frac{2000}{5}=200+400=600,\qquad h=\frac{1000}{25\pi}=12{.}73\ \mathrm{cm}$
Antwort

r = 5 cm, 600 cm² Blech, und die Dose ist 12,73 cm hoch. Auf Boden und Deckel entfallen 200 cm² und auf den Mantel 400 cm²: genau die Hälfte, wie bei jeder optimalen Dose. Teurere Böden und Deckel machen die beste Dose schlanker und höher: 1,27 Durchmesser, was 4/π entspricht.

$r=5\ \mathrm{cm},\qquad M=600\ \mathrm{cm^{2}},\qquad \frac{200}{400}=0{.}5$
Ein Gehege an der Mauer 3 Schritte
Ein Landwirt hat 60 m Zaun, um an einer langen Mauer ein rechteckiges Gehege abzustecken. Die Mauer dient als vierte Seite. Bei welchen Maßen wird die Fläche am größten?
Lösung anzeigen
1. Sei x die Länge der beiden Seiten, die von der Mauer abstehen. Für die dazu parallele Seite bleiben 60 − 2x Zaun übrig. Der Flächeninhalt hängt also allein von x ab, auf dem Intervall, das die Zaunlänge erlaubt:
  
  $\begin{aligned}&A(x)=x\,(60-2x)=60x-2x^{2}\\&0\le x\le30\end{aligned}$
2. Setze A′ = 0:
  
  $A'(x)=60-4x=0\ \Rightarrow\ x=15$
3. Vergleiche mit den Rändern, an denen das Gehege keine Fläche hat:
  
  $\begin{aligned}&A(15)=15\cdot30=450\\&A(0)=A(30)=0\end{aligned}$
Antwort

15 m von der Mauer weg und 30 m an ihr entlang, für 450 m². Die Seite an der Mauer ist doppelt so lang wie die anderen beiden. Ohne Mauer wäre das beste Gehege ein Quadrat mit 15 m Seitenlänge bei nur 225 m²: Die Mauer spart eine ganze Zaunseite.

$\begin{aligned}&x=15\ \mathrm{m},\quad60-2x=30\ \mathrm{m}\\&A=450\ \mathrm{m^{2}}\end{aligned}$
Der Punkt auf y = √x, der (3, 0) am nächsten liegt 3 Schritte
Bestimme den Punkt auf der Kurve y = √x, der dem Punkt (3, 0) am nächsten liegt, sowie seinen Abstand.
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1. Im Abstand von (3, 0) zu (x, √x) steckt eine Wurzel. Sein Quadrat wird genau dort am kleinsten, wo es auch der Abstand selbst ist, kommt aber ohne Wurzel aus:
  
  $\begin{aligned}D^{2}&=(x-3)^{2}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\\&=(x-3)^{2}+x,\qquad x\ge0\end{aligned}$
2. Leite ab und setze gleich null:
  
  $\dfrac{d}{dx}D^{2}=2(x-3)+1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac52$
3. Der Definitionsbereich hat nur ein Ende, x = 0. Zur anderen Seite wächst D² unbeschränkt; vergleiche den kritischen Punkt also mit diesem Rand:
  
  $D^{2}\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac14+\tfrac52=\tfrac{11}{4},\qquad D^{2}(0)=9$
Antwort

Der Punkt mit dem kürzesten Abstand ist (2,5; √2,5) ≈ (2,5; 1,5811) bei einer Distanz von √11/2 ≈ 1,6583. D² anstelle von D zu minimieren ist zulässig, weil die Quadratwurzel streng monoton wächst; beide erreichen ihr Minimum also am selben x. Wenn du D selbst mit der Kettenregel ableitest, erhältst du dasselbe x, schleppst aber durch jede Zeile eine Wurzel mit.

$\left(\tfrac52,\ \sqrt{\tfrac52}\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx1{.}6583$
Die optimale Schachtel aus einem A4-Bogen 4 Schritte
Ein Blatt im Format A4 misst 21 cm mal 29,7 cm. Schneide an jeder Ecke dasselbe Quadrat aus, falte die Seiten hoch und ermittle die Schnittiefe für das maximale Volumen sowie dieses Volumen selbst. Das Werkzeug oben rechnet mit quadratischen Blechen. Klicke auf Kurze A4-Seite, um ein Quadrat von 21 cm Kantenlänge zu sehen, dessen optimaler Schnitt bei 3,5 cm liegt und 686 cm³ fasst.

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1. Bei einer Schnittiefe x misst die Grundfläche 21 − 2x mal 29,7 − 2x bei einer Höhe von x. Ausmultipliziert für Schnitte bis zur halben kurzen Seite:
  
  $V(x)=x\,(21-2x)(29{.}7-2x)=4x^{3}-101{.}4x^{2}+623{.}7x,\qquad 0\le x\le10{.}5$
2. Term für Term ableiten:
  
  $V'(x)=12x^{2}-202{.}8x+623{.}7$
3. Setze V′(x) = 0 und wende die quadratische Lösungsformel an. Unter der Wurzel steht 16 × 699,39, was den Ausdruck vereinfacht:
  
  $x=\frac{202{.}8\mp\sqrt{202{.}8^{2}-4\cdot12\cdot623{.}7}}{24}=\frac{50{.}7\mp\sqrt{699{.}39}}{6},\qquad x_1=4{.}0423,\quad x_2=12{.}8577$
4. Die zweite Lösung liegt jenseits von 10,5 cm, wo die kurze Seite bereits aufgebraucht ist; sie liefert keine Schachtel. An beiden Rändern des Bereichs ist das Volumen 0; die beste Schachtel stammt also aus der ersten Lösung:
  
  $V(4{.}0423)=4{.}0423\times12{.}9153\times21{.}6153=1{,}128{.}5$
Antwort

Schneide an jeder Ecke 4,04 cm aus: Die Schachtel misst 12,92 cm mal 21,62 cm bei einer Tiefe von 4,04 cm und fasst rund 1.128,5 cm³, also etwas mehr als einen Liter. Der Schnitt liegt zwischen einem Sechstel der kurzen Seite (3,5 cm) und einem Sechstel der langen Seite (4,95 cm), fällt aber mit keinem von beiden zusammen. Für ein Blech der Maße a mal b lautet der optimale Schnitt (a + b − √(a² − ab + b²))/6. Bei einem quadratischen Blech vereinfacht sich die Wurzel schlicht zu a, und die Formel geht in das L/6 des Werkzeugs über.

$x\approx4{.}04,\qquad V\approx1{,}128{.}5$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Welches Paar ergibt das größte Produkt?

Ergebnis anzeigen

10 und 10 mit dem Produkt 100

$10+10=20,\qquad10\cdot10=100$
Unter allen Rechtecken mit 40 cm Umfang: Welches hat den größten Flächeninhalt?

Ergebnis anzeigen

Das Quadrat mit 10 cm Seitenlänge, 100 cm²

$10\times10\ \mathrm{cm},\qquad A=100\ \mathrm{cm^{2}}$
Eine oben offene Kiste mit quadratischer Grundfläche soll 32 m³ fassen. Welche Maße verbrauchen am wenigsten Material?

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Eine Grundfläche von 4 m × 4 m und eine Höhe von 2 m, bei 48 m² Material

$4\times4\times2\ \mathrm{m},\qquad S=48\ \mathrm{m^{2}}$
Der Gewinn eines Unternehmens bei q produzierten Einheiten beträgt P(q) = −2q² + 120q − 1000. Welche Produktionsmenge maximiert den Gewinn, und wie hoch ist er?

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q = 30 mit einem Gewinn von 800

$q=30,\qquad P(30)=800$
Bestimme die Punkte auf y = x², die (0, 2) am nächsten liegen.

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(±√(3/2); 3/2) mit einem Abstand von √7/2 ≈ 1,3229. Der Ursprung, an dem die Ableitung von D² ebenfalls null ist, bildet ein lokales Maximum des Abstands bei 2.

$\left(\pm\sqrt{\tfrac32},\ \tfrac32\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{.}3229$
Bestimme den größten Wert von x e^(−x) für x ≥ 0.

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1/e ≈ 0,3679 an der Stelle x = 1

$x=1,\qquad\max=\tfrac1e\approx0{.}3679$

Liegt der Schnitt um ein Fünftel daneben, verliert die Schachtel rund 3 % Volumen

Beim optimalen Zuschnitt ist die Änderungsrate V′ null. Eine kleine Abweichung fällt daher kaum ins Gewicht. Klicke auf Beste Schachtel, dann auf Schnitt 4 cm: Ein um 20 % zu flacher Schnitt kostet 3,2 % des Volumens; schneidest du 20 % zu tief, zeigt die Tabelle einen Verlust von 2,8 %. Auf jedem quadratischen Bogen kostet ein Fehler um den Bruchteil δ genau δ²(3 − δ)/4 des Volumens. Das Quadrat rührt daher, dass die Kurve am Hochpunkt waagerecht verläuft. Und das −δ erklärt, warum zu tiefes Schneiden etwas weniger schadet als zu flaches.

Eine Tiefenbegrenzung schiebt das Optimum an den Rand, wo die Steigung nicht null ist

Klicke auf Maximal 4 cm tief. Erlaubt sind jetzt nur noch Schnitte bis 4 cm, das graue Band deckt den Rest ab. V′ = 0 verweist weiterhin auf 5 cm, doch dieser Wert ist nun ausgeschlossen. Im gesamten zulässigen Bereich ist V′ positiv, das Volumen steigt also bis zur Grenze an: Die beste Schachtel ist die mit 4 cm, und die Änderungsrate liegt dort noch immer bei 132. V′ = 0 spürt Stellen mit waagerechter Tangente auf; der beste Punkt am Rand des zulässigen Bereichs muss aber keineswegs waagerecht sein. Genau deshalb prüfen die Rechenschritte auch die Ränder des Bereichs. Auf einem Bogen von 30 cm schränkt jede Grenze unter 5 cm die Lösung auf diese Weise ein; jede Grenze ab 5 cm ändert gar nichts.

Bei der sparsamsten Dose kosten Deckel und Boden halb so viel wie der Mantel

Machst du die Dose etwas breiter, wachsen Boden und Deckel, während die Mantelfläche schrumpft. Der optimale Radius liegt dort, wo sich beide Änderungsraten die Waage halten: 4kπr = 2V/r². Multiplizierst du mit r/2, wird daraus 2kπr² = V/r: Boden und Deckel kosten genau die Hälfte der 2V/r des Mantels. Klicke auf Deckel aus Quadraten: Hier wird jeder Deckel aus einem Quadrat ausgestanzt und die Ecken sind Verschnitt, doch auf der Karte steht weiterhin 0,5. Das gilt für jedes Volumen und jeden Materialpreis von Boden und Deckel. Der Preis bestimmt stattdessen die Form: Die beste Dose ist k Durchmesser hoch – genauso hoch wie breit, wenn Boden und Deckel aus Mantelblech bestehen, und 1,27 Durchmesser bei quadratisch ausgestanzten Deckeln. Eine unpassende Form kostet kaum mehr, aus genau demselben Grund wie bei der Schachtel: Die Hohe Dose ist 1,5 Durchmesser hoch und verbraucht nur 1,75 % mehr Blech.

Lernpfad

Differenzieren: Wie Änderungsraten ineinandergreifen

Quellen (2)

The method in the definition and in the step-through (evaluate at the endpoints, find the critical points inside the interval, compare all the values: “the absolute extrema must occur at endpoints or critical points”), the Extreme Value Theorem (Theorem 4.1) and Fermat's theorem (Theorem 4.2) behind it: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The open box worked on a rectangular sheet, 24 in. by 36 in., whose best cut is x = 10 − 2√7 ≈ 4.7 in. for about 1,825 in³ (Example 4.33, the same calculation as the page's A4 worked problem), and the applied-problem strategy's step that sets the domain from the physical problem before looking for the extremum (Step 5) and the remark that locating it “typically involves looking for critical points and evaluating a function at endpoints” (Step 6): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.7, “Applied Optimization Problems”.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Optimierung: Schachtel und Dose

Was die einzelnen Symbole bedeuten

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Liegt der Schnitt um ein Fünftel daneben, verliert die Schachtel rund 3 % Volumen 🖖

Eine Tiefenbegrenzung schiebt das Optimum an den Rand, wo die Steigung nicht null ist 🖖

Bei der sparsamsten Dose kosten Deckel und Boden halb so viel wie der Mantel 🖖

Liegt der Schnitt um ein Fünftel daneben, verliert die Schachtel rund 3 % Volumen

Eine Tiefenbegrenzung schiebt das Optimum an den Rand, wo die Steigung nicht null ist

Bei der sparsamsten Dose kosten Deckel und Boden halb so viel wie der Mantel