Projektilbewegung mit Widerstand & Wind

Vergleiche ideale und durch Luftwiderstand beeinflusste Flugbahnen.

Quadratischer Luftwiderstand, bezogen auf das Tempo zur Luft	$\begin{gathered}\mathbf F=-k\,\|\mathbf v_{\mathrm{rel}}\|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=\mathbf v-\mathbf w\\ k=\tfrac12\rho\,C_dA\end{gathered}$
Endgeschwindigkeit: Luftwiderstand gleich Gewichtskraft	$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$
Senkrecht nach unten aus der Ruhe und senkrecht nach oben	$\begin{gathered}v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)\\ H=\frac{m}{2k}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)\end{gathered}$

Rechenbeispiel — Projektilbewegung mit Widerstand & Wind

Endgeschwindigkeit	18,083 m/s
Startgeschwindigkeit zur Luft	25 m/s
Luftwiderstand beim Abwurf	18,75 N
Wurfweite im Vakuum	63,71 m
Maximale Höhe im Vakuum	15,928 m
Wurfweite	28,283 m
Maximale Höhe	9,643 m
Weite bis zum Scheitelpunkt	16,259 m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Projektilbewegung mit Widerstand & Wind

Quadratischer Luftwiderstand ist die Bremskraft der Luft auf alles, was du von Hand wirfst: eine Kraft k|v_rel|², gerichtet gegen die Geschwindigkeit des Balls relativ zur Luft, v_rel = v − w, mit k = ½ρC_dA. Weil |v_rel| beide Komponenten enthält, koppelt der Term die horizontale und die vertikale Bewegung fest aneinander; für die Flugbahn existiert keine geschlossene Formel mehr. Diese Seite integriert die Bewegung in Schritten von höchstens 5 ms.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

θ: der Abwurfwinkel. Ohne Luftwiderstand ist sein bester Wert 45° — für jede Abwurfgeschwindigkeit und jede Masse, eine Konstante der Aufgabe. Mit Luftwiderstand ist er nichts davon, und genau darum geht es hier.
k/m: der Widerstandsbeiwert geteilt durch die Masse. Nur diese Kombination taucht in den Gleichungen überhaupt auf: nie k allein, nie m allein. Zwei der sechs Eingabefelder sind Griffe an einer einzigen Zahl.
v_rel: Geschwindigkeit relativ zur Luft, v − w. Nur hier setzt der Luftwiderstand an, niemals am Tempo über Grund.
R: die Wurfweite. Die Seite nennt zwei Werte: R₀ aus der Vakuumformel und R aus der numerischen Integration. Die Spanne dazwischen hat die Luft gekostet.

Woher die Formel kommt

Beginnen wir ohne Luft, wo die beiden Achsen nie miteinander reden. Die waagerechte Geschwindigkeit ist konstant, die senkrechte Lage eine Parabel in der Zeit, und das Eliminieren der Zeit lässt R = v₀² sin(2θ)/g übrig. Maximiert man das, so ist sin(2θ) bei 2θ = 90° am größten. Man beachte, was herausgefallen ist: In dieser Bedingung steht weder v₀ noch die Masse, 45° ist also für jeden Abwurf der beste Winkel, der je stattgefunden hat. Deshalb merkt man sich das als Tatsache und nicht als Ergebnis.
$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\le\frac{v_0^{2}}{g}\ \Rightarrow\ \theta^{*}=45^\circ$
Mit Luftwiderstand sind die Achsen nicht mehr unabhängig. Die Beschleunigung lautet −g ŷ − (k/m)|v_rel|v_rel. Weil |v_rel| beide Komponenten enthält, hängt die Gleichung für die Horizontale davon ab, wie schnell der Ball steigt, und die vertikale davon, wie zügig er sich vorwärtsbewegt. Das System ist nichtlinear und lässt sich nicht trennen; keine elementare Formel für R bleibt übrig. Die Ergebnistabelle weist die Wurfweite folglich als das Integral aus, das sie ist.
$\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{(v_x-w)^{2}+v_y^{2}}$
Teilst du durch m, bleibt nur k/m übrig. Ein schwerer Ball gleicht einem leichten Ball in dünnerer Luft. Wählst du k = 0.03 mit m = 3, deckt sich die Bahn bis zur letzten Ziffer mit k = 0.01 bei m = 1. Die Voreinstellung schwerer Ball ist somit derselbe Fall wie ein geringer Luftwiderstand unter neuem Namen, und das Eingabefeld der Masse verrät dir nichts, was du nicht auch über das Widerstandsfeld steuern könntest.
$\frac{k}{m}=\frac{0.03}{3}=\frac{0.01}{1}=0.01\ \mathrm{m^{-1}}$
Der optimale Winkel fällt unter 45°. Ein steiler Wurf bleibt länger in der Luft, und die Luft zehrt in jeder Sekunde an seiner Geschwindigkeit. Bei Windstille vom Erdboden aus liegt der beste Winkel deshalb unter 45°. Da der Widerstand mit dem Tempo wächst, sinkt der optimale Winkel umso weiter, je fester du wirfst – im Vakuum spielte das keine Rolle. Beim voreingestellten Widerstand fliegt der Ball bei 25 m/s unter 38,939° am weitesten (28,743 m gegenüber 28,283 m bei 45°), bei 90 m/s schon unter 29,34° (72,117 m gegenüber 66,493 m). Die letzte Zeile der Tabelle ermittelt ihn für deine gewählten Werte. Wind verschiebt ihn abermals: Mit 20 m/s Rückenwind bei einem Abwurf mit 25 m/s liegt der beste Winkel bei 47,093°.
$v_0=25:\ \ R(45^\circ)=28.283<R(38.939^\circ)=28.743\ \mathrm{m};\qquad v_0=90:\ \ R(45^\circ)=66.493<R(29.34^\circ)=72.117\ \mathrm{m}$

So liest du, was du siehst

Die gestrichelte Kurve zeigt denselben Abwurf ohne Luft, die Parabel der vorigen Seite; der Raum zwischen beiden Kurven ist der Verlust durch die Luft. Setz den Widerstand auf null, und die durchgezogene Kurve legt sich genau über die gestrichelte. Die integrierte Wurfweite stimmt bis zur letzten Tabellenziffer mit der Vakuumformel überein. Jeder Abstand bei eingeschaltetem Luftwiderstand rührt also von der Luft her, nicht von der Arithmetik.

Setzt voraus: Ruhende Luft bis auf einen gleichmäßigen waagerechten Wind, der in jeder Höhe gleich schnell weht, überall gleiche Dichte und ein Widerstandsbeiwert, der sich mit der Geschwindigkeit nicht ändert. Ein Massenpunkt: kein Auftrieb, kein Drall, keine Magnus-Kraft — ein angeschnittener Golfball und eine abdriftende Granate liegen beide außerhalb dessen, was dieses Modell sagen kann.

Aufgaben vollständig gelöst

Linearer oder quadratischer Luftwiderstand? 4 Schritte
Eine Kugel mit Durchmesser D, die sich mit der Geschwindigkeit v durch Luft bewegt, erfährt zwei Arten von Widerstand: den viskosen Widerstand 3πηDv (Stokessches Gesetz) und den Druckwiderstand ½ρC_d(πD²/4)v². Rechne mit η = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s, ρ = 1,2 kg/m³ und C_d = 0,47. Welcher davon ist für einen Baseball (D = 7,4 cm) bei 40 m/s ausschlaggebend und welcher für ein Öltröpfchen (D = 1,5 µm), das mit 0,10 mm/s driftet?
1. Teile die beiden Kräfte durcheinander. Die meisten Faktoren kürzen sich heraus; was bleibt, wächst mit Größe und Geschwindigkeit:
  
  $\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=\frac{\tfrac12\rho C_d\,\tfrac{\pi D^{2}}{4}\,v^{2}}{3\pi\eta Dv}=\frac{\rho C_d}{24\eta}\,Dv$
2. Mit den Werten für Luft erhältst du die Konstante:
  
  $\frac{\rho C_d}{24\eta}=\frac{1.2\times0.47}{24\times1.8\times10^{-5}}=1305.6\ \mathrm{s/m^{2}}$
3. Beim Baseball:
  
  $1305.6\times0.074\times40=3864.4$
4. Beim Tröpfchen:
  
  $1305.6\times(1.5\times10^{-6})\times(1.0\times10^{-4})=1.9583\times10^{-7}$
Antwort

Beim Baseball überwiegt der quadratische Widerstand: Sein Druckwiderstand ist 3864-mal so groß wie der viskose. Beim Tröpfchen gilt der lineare Bereich; der quadratische Term macht lediglich 2,0 × 10⁻⁷ des viskosen Werts aus. Alles, was du von Hand wirfst, liegt weit im quadratischen Bereich; genau dieses Gesetz nutzt diese Seite. Das Stokessche Gesetz ist etwas für Staub, Nebel und Millikans Öltröpfchen.

$\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=3864\ \ (D=7.4\ \mathrm{cm}),\qquad \frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=2.0\times10^{-7}\ \ (D=1.5\ \mu\mathrm{m})$
Widerstand beim Abwurf und Grenzgeschwindigkeit 4 Schritte
Ein 1,0 kg schwerer Ball mit der Widerstandskonstante k = 0,030 kg/m wird in ruhender Luft mit 25 m/s im Winkel von 45° über der Horizontalen geworfen. Bestimme die Widerstandskraft beim Abwurf und vergleiche sie mit seiner Gewichtskraft. Wie groß ist seine Grenzgeschwindigkeit?

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1. In ruhender Luft ist die Geschwindigkeit relativ zur Luft einfach die Geschwindigkeit selbst:
  
  $|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=|\mathbf v|=25\ \mathrm{m/s}\qquad(w=0)$
2. Der quadratische Widerstand ist k-mal das Quadrat dieser Geschwindigkeit:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times25^{2}=18.75\ \mathrm{N}$
3. Vergleiche sie mit der Gewichtskraft:
  
  $mg=1.0\times9.81=9.81\ \mathrm{N},\qquad \frac{F}{mg}=\frac{18.75}{9.81}=1.9113$
4. Die Grenzgeschwindigkeit ist das Tempo, bei dem der Luftwiderstand die Gewichtskraft genau ausgleicht:
  
  $k\,v_t^{2}=mg\ \Rightarrow\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}$
Antwort

18,75 N beim Abwurf, das 1,9113-Fache der Gewichtskraft; Grenzgeschwindigkeit 18,083 m/s. Der Ball verlässt deine Hand schneller, als er je fallen könnte. Bis er auf unter 18,083 m/s abbremst, drückt die Luft also stärker gegen ihn als die Schwerkraft.

$F=18.75\ \mathrm{N}=1.9113\,mg,\qquad v_t=18.083\ \mathrm{m/s}$
Gegen den Wind und mit ihm 4 Schritte
Derselbe Wurf erfolgt nun gegen einen Gegenwind von 8,0 m/s. Bestimme die Geschwindigkeit des Balls relativ zur Luft beim Abwurf und die auf ihn wirkende Widerstandskraft. Wiederhole die Rechnung dann mit dem Wind im Rücken.

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1. Die Komponenten über Grund wie zuvor:
  
  $v_x=25\cos45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=25\sin45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s}$
2. Gegen den Wind strömt die Luft mit w = −8,0 m/s. Zieh die Geschwindigkeit der Luft von der des Balls ab:
  
  $\mathbf v_{\mathrm{rel}}=(v_x-w,\ v_y)=(17.678+8.0,\ 17.678)=(25.678,\ 17.678),\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s}$
3. Der Widerstand wächst mit dem Quadrat dieser Geschwindigkeit:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times31.174^{2}=29.155\ \mathrm{N}$
4. Mit dem Wind im Rücken gilt w = +8,0 m/s, und die Subtraktion kehrt sich um:
  
  $w=+8.0:\quad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=(9.6777,\ 17.678),\quad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\quad F=12.185\ \mathrm{N}$
Antwort

Gegen den Wind: 31,174 m/s relativ zur Luft und 29,155 N Widerstand; mit dem Wind: 20,153 m/s und 12,185 N. Der Ball verlässt deine Hand beide Male mit 25 m/s. Die Luft spürt nur die Differenz, und der Widerstand wächst auf mehr als das Doppelte an. Klick für den zweiten Fall auf Rückenwind.

$|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s},\ F=29.155\ \mathrm{N}\ \ (w=-8.0);\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\ F=12.185\ \mathrm{N}\ \ (w=+8.0)$
Aus 100 m fallen gelassen 4 Schritte
Derselbe Ball (m = 1,0 kg, k = 0,030 kg/m) wird 100 m über dem Boden aus der Ruhe losgelassen. Mit welchem Tempo schlägt er auf? Vergleiche das mit seiner Grenzgeschwindigkeit und mit der Geschwindigkeit, die er im Vakuum erreichen würde.

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1. Sei y die Fallstrecke und v die Geschwindigkeit nach unten. Schreibst du die Beschleunigung als v dv/dy, hängt die Differentialgleichung vom Weg ab statt von der Zeit:
  
  $v\frac{dv}{dy}=g-\frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)$
2. Trenne die Variablen und integriere aus der Ruhe heraus:
  
  $\int_0^{v}\frac{v\,dv}{1-v^{2}/v_t^{2}}=\int_0^{y}g\,dy\ \Rightarrow\ v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)$
3. Setze die Zahlen ein, zusammen mit der Grenzgeschwindigkeit von 18,083 m/s aus Aufgabe 2:
  
  $\frac{2ky}{m}=\frac{2(0.030)(100)}{1.0}=6.0,\qquad v=18.083\sqrt{1-e^{-6.0}}=18.061\ \mathrm{m/s}$
4. Ohne Luftwiderstand liefert derselbe Fall:
  
  $v_{\mathrm{vac}}=\sqrt{2gy}=\sqrt{2(9.81)(100)}=44.294\ \mathrm{m/s}$
Antwort

18,061 m/s: 99,88 % der Grenzgeschwindigkeit und 41 % der 44,294 m/s, die sich im Vakuum ergäben. Die Seite integriert denselben Fall ganz ohne Formel und landet nach 6,8066 s beim exakt selben Wert von 18,061 m/s.

$v=18.061\ \mathrm{m/s}=0.9988\,v_t=0.41\,v_{\mathrm{vac}}$
Senkrecht nach oben geworfen 4 Schritte
Derselbe Ball wird mit 25 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch steigt er und wie lange dauert das? Wie schnell ist er bei der Rückkehr am Boden, und dauert der Weg nach unten länger oder kürzer als der Aufstieg?

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1. Beim Aufstieg zeigen Luftwiderstand und Schwerkraft beide nach unten. Wieder mit v dv/dy endet der Steigflug bei:
  
  $v\frac{dv}{dy}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)\ \Rightarrow\ H=\frac{v_t^{2}}{2g}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)=\frac{327}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{625}{327}\right)=17.810\ \mathrm{m}$
2. Die Steigzeit liefert stattdessen dv/dt = −g(1 + v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{up}}=\frac{v_t}{g}\arctan\frac{v_0}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\arctan\frac{25}{18.083}=1.7412\ \mathrm{s}$
3. Der Abstieg entspricht Aufgabe 4 aus einer Höhe von 17,810 m. Da e^−2kH/m = (1 + v₀²/v_t²)⁻¹ gilt, vereinfacht sich die Aufprallgeschwindigkeit:
  
  $v_{\mathrm{back}}^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2kH/m}\right)\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{back}}=\frac{v_0v_t}{\sqrt{v_0^{2}+v_t^{2}}}=\frac{25\times18.083}{\sqrt{625+327}}=14.652\ \mathrm{m/s}$
4. Und die Falldauer aus dv/dt = g(1 − v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{down}}=\frac{v_t}{g}\operatorname{artanh}\frac{v_{\mathrm{back}}}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\operatorname{artanh}\frac{14.652}{18.083}=2.0789\ \mathrm{s}$
Antwort

17,810 m Steighöhe in 1,7412 s und wieder unten mit 14,652 m/s nach weiteren 2,0789 s. Der Ball kehrt langsamer zurück und braucht für den Abstieg mehr Zeit als für den Aufstieg: Nach oben hin unterstützt der Luftwiderstand die Schwerkraft, nach unten wirkt er ihr entgegen. Im Vakuum stiege der Ball auf 31,855 m und käme mit glatten 25 m/s zurück. Die Seite weist die Gesamtdauer von 3,8201 s aus.

$H=17.810\ \mathrm{m},\quad t_{\mathrm{up}}=1.7412\ \mathrm{s},\quad v_{\mathrm{back}}=14.652\ \mathrm{m/s},\quad t_{\mathrm{down}}=2.0789\ \mathrm{s}$
Warum aus den 63,71 m im Vakuum hier 28,283 m werden 5 Schritte
25 m/s unter 45°, ein Ball von 1,0 kg mit k = 0,030 kg/m. Die Vakuumformel liefert 63,71 m. Begründe, warum das tatsächliche Ergebnis 28,283 m beträgt und weshalb die Steighöhe so viel besser erhalten bleibt als die Wurfweite.

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1. Beginne mit dem Ergebnis, das die Luft zunichtemachen wird. Beide Vakuumformeln sind exakt, benötigen nur eine Zeile und bilden das einzige analytische Fundament dieser Aufgabenstellung.
  
  $R_0=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{25^{2}\sin90^{\circ}}{9.81}=63.71\ \mathrm{m},\qquad y_{0,\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=15.928\ \mathrm{m}$
2. Schreib nun die tatsächliche Gleichung auf. Der Luftwiderstand zeigt der Geschwindigkeit genau entgegen. Seine horizontale Komponente hängt also von der Vertikalgeschwindigkeit ab und umgekehrt: Die beiden Achsen sind nicht mehr unabhängig voneinander, und die Wurfparabel löst sich auf.
  
  $\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v|\,\mathbf v$
3. Lies die beiden Verluste als Anteile vom Bedienfeld ab. Sie unterscheiden sich, und dieser Unterschied ist es, den es zu erklären gilt.
  
  $R=28.283\ \mathrm{m}=0.4439\,R_0,\qquad y_{\max}=9.643\ \mathrm{m}=0.6054\,y_{0,\max}$
4. Die Grenzgeschwindigkeit ist das Tempo, bei dem der Luftwiderstand das Gewicht ausgleicht. Der Vergleich mit der Abwurfgeschwindigkeit zeigt, welche Kraft zu Beginn dominiert.
  
  $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}<v_0=25\ \mathrm{m/s}$
5. Die Abbremslänge m/k ist jene Strecke, auf der die Luft einen beträchtlichen Teil der Geschwindigkeit aufzehrt. Vergleiche sie mit der erhofften Reichweite.
  
  $\ell=\frac{m}{k}=\frac{1.0}{0.030}=33.3\ \mathrm{m}\approx\tfrac12R_0$
Antwort

Weil der Luftwiderstand eine Längenskala von 33 m vorgibt und der Wurf zwar 64 m weit fliegen wollte, aber nur 16 m hoch. Die Weite behält nur 44 % ihres Vakuumwerts, die Gipfelhöhe dagegen 61 %. Zwei Zahlen belegen, dass der Luftwiderstand hier keineswegs eine winzige Korrektur ist. Die Grenzgeschwindigkeit liegt mit 18,083 m/s unter der Abwurfgeschwindigkeit von 25 m/s. Der Ball verliert anfangs also mehr an die Luft als an die Schwerkraft. Und m/k = 33,3 m ist gerade einmal die halbe Vakuumreichweite; für eine bloße Randkorrektur müsste dieser Wert ein Vielfaches betragen. Eine geschlossene Formel gibt es nicht: Der Widerstand koppelt die beiden Achsen, weshalb die Seite numerisch integriert, statt einfach einzusetzen.

$\frac{R}{R_0}=0.44,\qquad \frac{y_{\max}}{y_{0,\max}}=0.61$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein Baseball der Masse 0,145 kg hat die Widerstandskonstante k = 1,3 × 10⁻³ kg/m. Wie groß ist seine Grenzgeschwindigkeit?

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33,08 m/s.

$v_t=\sqrt{\frac{0.145\times9.81}{1.3\times10^{-3}}}=33.08\ \mathrm{m/s}$
Eine Stoßkugel und ein Ball haben dieselbe Größe, für beide gilt also k = 0,030 kg/m. Die Stoßkugel hat jedoch eine Masse von 3,0 kg und der Ball von 1,0 kg. Welche Widerstandskonstante bräuchte der Ball, um sich im Flug exakt wie die Stoßkugel zu verhalten?

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0,010 kg/m: In die Bewegung geht nur k/m ein.

$\frac{k}{m}=\frac{0.030}{3.0}=0.010\ \mathrm{m^{-1}}\ \Rightarrow\ k=0.010\ \mathrm{kg/m}\ \ (m=1.0\ \mathrm{kg})$
Der Ball (1,0 kg, k = 0,030 kg/m) fällt aus der Ruhe. Welche Fallstrecke hat er zurückgelegt, wenn er 90 % seiner Grenzgeschwindigkeit erreicht?

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27,68 m.

$y=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-0.90^{2}\right)=-\frac{1.0}{0.060}\ln0.19=27.68\ \mathrm{m}$
Ein Ball mit k/m = 0,010 m⁻¹ wird mit 40 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch steigt er und mit welcher Geschwindigkeit trifft er wieder am Boden ein?

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48,37 m, und er kommt mit 24,66 m/s zurück.

$v_t^{2}=\frac{9.81}{0.010}=981,\quad H=\frac{981}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{1600}{981}\right)=48.37\ \mathrm{m},\quad v_{\mathrm{back}}=\frac{40\times31.32}{\sqrt{1600+981}}=24.66\ \mathrm{m/s}$
Ein Ball mit k/m = 0,030 m⁻¹ fällt durch einen gleichmäßigen Wind von 5,0 m/s. Auf welche Geschwindigkeit gegenüber dem Boden stellt er sich ein, wenn er lange genug fällt?

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18,76 m/s, 74,54° unter der Horizontalen: 5,0 m/s in Windrichtung und 18,08 m/s nach unten.

$\mathbf v\to(w,\,-v_t)=(5.0,\,-18.08)\ \mathrm{m/s},\qquad |\mathbf v|=18.76\ \mathrm{m/s},\quad \varphi=74.54^\circ$

Warum der Weg nach unten steiler und langsamer ist

Beim Aufstieg zeigen Luftwiderstand und Schwerkraft gemeinsam nach unten und bremsen den Steigflug ab. Beim Abstieg arbeiten sie gegeneinander. Der Ball fällt deshalb langsamer, als er stieg, und braucht mehr Zeit: Beim Standardwurf dauert das Steigen 1,2702 s, das Fallen hingegen 1,5141 s. Währenddessen raubt die Luft unentwegt horizontale Geschwindigkeit, sodass die zweite Hälfte des Flugs weniger Strecke zurücklegt als die erste. Den Scheitelpunkt erreicht der Ball nach 16,259 m eines 28,283 m weiten Flugs, also deutlich hinter der Mitte; er schlägt mit 62,324° auf, nachdem er unter 45° gestartet war. Eine Vakuumparabel liegt spiegelsymmetrisch um ihren Scheitel, weil die Gleichungen ohne Reibung rückwärts in der Zeit genauso gelten. Der Luftwiderstand ist der Term, der weiß, wohin die Zeit fließt.

Es zählt die Luft, nicht der Boden

Der Luftwiderstand greift an der Geschwindigkeit relativ zur Luft an, v − w. Er bremst einen Ball also nicht bis zum Stillstand ab, sondern zwingt ihn in die Strömung der Luft. Nach genügend Zeit treibt jeder Ball bei stetigem Wind horizontal mit exakt dem Tempo des Windes, während er vertikal mit seiner Endgeschwindigkeit fällt. Klick auf Gegenwind: Ein Gegenwind von 8 m/s tilgt die Vorwärtsgeschwindigkeit des Balls noch vor der Landung. Er setzt schließlich bei 92,328° unter der Horizontalen auf, nach hinten zurück in deine Richtung gekippt.

Warum Golfbälle mit Dellen weiter fliegen

Eine Kugel aufzurauen, kann ihren Widerstand tatsächlich senken. Die Dimples eines Golfballs versetzen die wandnahe Luft in eine dünne turbulente Grenzschicht. Sie schmiegt sich weiter um die Rückseite des Balls, ehe sie abreißt, und hinterlässt so einen schmaleren Nachlauf mit geringerem Unterdruck. Strömt die Luft rasch genug, tritt dieser Umschlag bei einer Kugel von selbst ein: Der Widerstandsbeiwert stürzt jäh ab. Genau diese Widerstandskrise holen die Dimples in den Geschwindigkeitsbereich eines Abschlags. Da diese Seite k für jedes Tempo konstant hält, kann sie diesen Effekt naturgemäß nicht zeigen.

Lernpfad

Wurfbewegungen

Quellen (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.