Kinematik-Rechner (SUVAT)

löse die Bewegungsgleichungen — gib 3 Größen ein, finde die anderen 2

Die Geschwindigkeit ändert sich in jeder Sekunde um a	$v=u+at$
Verschiebung: die Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Linie	$\begin{gathered}s=ut+\tfrac12at^{2},\qquad s=vt-\tfrac12at^{2}\\ s=\tfrac12(u+v)\,t\end{gathered}$
Ohne die Zeit	$v^{2}=u^{2}+2as$

Rechenbeispiel — Kinematik-Rechner (SUVAT)

Verschiebung (s)	36 m
Endgeschwindigkeit (v)	13 m/s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kinematik-Rechner (SUVAT)

Bei konstanter Beschleunigung genügen fünf Größen, um eine geradlinige Bewegung zu beschreiben: der Weg s, die Anfangsgeschwindigkeit u, die Endgeschwindigkeit v, die Beschleunigung a und die Zeit t. Drei davon legen die anderen beiden meist eindeutig fest. Die Ausnahme ist t aus s, u und a: Hier entsteht eine quadratische Gleichung. Ein nach oben geworfener Ball kann dieselbe Höhe deshalb zweimal passieren – oder sie gar nicht erst erreichen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

s: Verschiebung entlang der Geraden vom Startpunkt aus, mit Vorzeichen; nicht die zurückgelegte Wegstrecke
u: Geschwindigkeit zu Beginn des Intervalls
v: Geschwindigkeit am Ende des Intervalls
a: Beschleunigung, zu jedem Zeitpunkt des Intervalls konstant
t: Dauer des Intervalls

Woher die Formel kommt

Konstante Beschleunigung bedeutet: Die Geschwindigkeit ändert sich in jeder Sekunde um denselben Betrag. Nach t Sekunden hat sie sich um at verändert. Im Diagramm oben ergibt das eine Gerade mit der Steigung a.
$v=u+at$
Die Verschiebung ist die Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Linie. Diese Fläche bildet ein Trapez mit den parallelen Seiten u und v sowie der Breite t.
$s=\tfrac12(u+v)\,t$
Setze die erste Gleichung in die zweite ein, und v verschwindet. Das Rechteck ut ist die Strecke bei Anfangsgeschwindigkeit; das Dreieck ½at² kommt durch die Beschleunigung hinzu.
$s=\tfrac12\bigl(u+(u+at)\bigr)\,t=ut+\tfrac12at^{2}$
Eliminiere stattdessen t. Aus Schritt 1 folgt t = (v − u)/a. Eingesetzt in Schritt 2 kommt die Zeit gar nicht mehr vor. Da v quadratisch auftritt, kann diese Gleichung zwei Geschwindigkeiten liefern.
$s=\tfrac12(u+v)\cdot\frac{v-u}{a}=\frac{v^{2}-u^{2}}{2a}\ \Rightarrow\ v^{2}=u^{2}+2as$
Lege eine positive Richtung fest, bevor du eine Zahl notierst. s, u, v und a tragen auf der Geraden jeweils ein Vorzeichen; t tut das nie. Zählt nach oben als positiv, ist die Erdbeschleunigung a = −9,81 m/s².
$\uparrow{+}:\quad a=-g=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}}$

Setzt voraus: Die Beschleunigung bleibt während des gesamten Intervalls konstant, und die Bewegung verläuft auf einer Geraden. Ändert sich die Beschleunigung unterwegs, unterteilst du die Fahrt in Abschnitte mit jeweils eigenen fünf Größen (Aufgabe 8).

warum 5 Buchstaben, aber nur 2 Gleichungen?

Die fünf SUVAT-Buchstaben wirken wie fünf unabhängige Tatsachen, sind es aber nicht. Jede SUVAT-Gleichung ist letztlich nur eine Umformung von v=u+at und s=ut+½at². Die anderen drei (s=(u+v)/2·t, v²=u²+2as, s=vt-½at²) folgen unmittelbar, wenn du eine in die andere einsetzt. Genau deshalb legen 3 bekannte Größen die restlichen 2 fest: Du löst letztlich immer nur 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Eine einzige Ausnahme gibt es: Ist t in s=ut+½at² unbekannt, kann die quadratische Gleichung zwei Zeitpunkte liefern, wie Ball passiert zweimal zeigt – oder eben gar keinen.

Galileis Regel der ungeraden Zahlen

Lange vor der Infinitesimalrechnung bemerkte Galilei, dass ein aus der Ruhe beschleunigter Körper in gleichen Zeitabschnitten Strecken im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7 zurücklegt – immer die ungeraden Zahlen. Addierst du sie fortlaufend, lauten die Summen 1, 4, 9, 16: genau die Quadratzahlen. Und exakt deshalb gilt s = ½at². Veröffentlicht hat er das 1638 anhand von Kugeln auf schiefen Ebenen, ein halbes Jahrhundert vor Newtons Principia.

KINEMATIK-THEORIE — DIE FÜNF BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

Die richtige SUVAT-Gleichung: Welcher Buchstabe fehlt?

Konstante Beschleunigung verknüpft fünf Größen — Weg s, Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Jede Aufgabe gibt dir drei davon und fragt nach einer vierten. Jede Gleichung unten lässt genau einen Buchstaben weg: Du brauchst die, in der die Größe fehlt, die du weder kennst noch suchst.

Ohne s — nutzt v, u, a, t v = u + at

Ohne v — nutzt s, u, a, t s = ut + ½at²

Ohne a — nutzt s, u, v, t s = ½(u + v)t

Ohne t — nutzt s, u, v, a v² = u² + 2as

Ohne u — nutzt s, v, a, t s = vt − ½at²

Ohne s — nutzt v, u, a, t

Gegeben: Drei von Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Der Weg kommt gar nicht vor.

Gleichung: v = u + at

Rechenbeispiel: u = 25 m/s, v = 0, t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

Diesen Fall öffnen: Bremsen bis Stillstand

Ohne s — nutzt v, u, a, t. v-t-Diagramm: v ist die Höhe der Geraden nach der Zeit t. Der Weg spielt keine Rolle. Drei von Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Der Weg kommt gar nicht vor. — v-t-Diagramm: v ist die Höhe der Geraden nach der Zeit t. Der Weg spielt keine Rolle.

Ohne v — nutzt s, u, a, t

Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit u, Beschleunigung a und Zeit t. Gesucht ist die Strecke, nicht die Endgeschwindigkeit.

Gleichung: s = ut + ½at²

Rechenbeispiel: u = 0, a = 9,81 m/s², t = 3 s → s = 0 + ½ · 9,81 · 3² = 44,1 m

Diesen Fall öffnen: Freier Fall aus Ruhe

Ohne v — nutzt s, u, a, t. Die Fläche unter der Geraden zerfällt in ein Rechteck ut und ein Dreieck ½at². Anfangsgeschwindigkeit u, Beschleunigung a und Zeit t. Gesucht ist die Strecke, nicht die Endgeschwindigkeit. — Die Fläche unter der Geraden zerfällt in ein Rechteck ut und ein Dreieck ½at².

Ohne a — nutzt s, u, v, t

Gegeben: Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v und Zeit t. Die Beschleunigung ist unbekannt oder schlicht nebensächlich.

Gleichung: s = ½(u + v)t

Rechenbeispiel: u = v = 12 m/s, t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

Diesen Fall öffnen: Gleichförmige Bewegung

Ohne a — nutzt s, u, v, t. Trapezfläche: der Mittelwert aus u und v, multipliziert mit t. Anfangsgeschwindigkeit u, Endgeschwindigkeit v und Zeit t. Die Beschleunigung ist unbekannt oder schlicht nebensächlich. — Trapezfläche: der Mittelwert aus u und v, multipliziert mit t.

Ohne t — nutzt s, u, v, a

Gegeben: Weg s, eine der beiden Geschwindigkeiten und die Beschleunigung. Die Uhr läuft nie mit.

Gleichung: v² = u² + 2as

Rechenbeispiel: s = 5 m, u = 15 m/s, a = −9,81 m/s² → v² = 225 − 98,1, also v = ±11,3 m/s

Diesen Fall öffnen: Ball passiert zweimal

Ohne t — nutzt s, u, v, a. Gleiche Höhe, zwei Geschwindigkeiten: Das ± ist der Hin- und der Rückweg. Weg s, eine der beiden Geschwindigkeiten und die Beschleunigung. Die Uhr läuft nie mit. — Gleiche Höhe, zwei Geschwindigkeiten: Das ± ist der Hin- und der Rückweg.

Ohne u — nutzt s, v, a, t

Gegeben: Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Die Anfangsgeschwindigkeit ist unbekannt und wird nicht gebraucht.

Gleichung: s = vt − ½at²

Rechenbeispiel: v = 0, a = −3 m/s², t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937,5 m

Diesen Fall öffnen: Ausrollen auf der Bahn

Ohne u — nutzt s, v, a, t. Vom Ende her gerechnet: vt minus dem Stück, das die Verzögerung wegnimmt. Endgeschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t. Die Anfangsgeschwindigkeit ist unbekannt und wird nicht gebraucht. — Vom Ende her gerechnet: vt minus dem Stück, das die Verzögerung wegnimmt.

Quellen (1)

Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein Auto, das bei 5 m/s startet und mit 2 m/s² beschleunigt 5 Schritte
Ein Auto startet mit 5 m/s und beschleunigt 4 Sekunden lang mit 2 m/s². Bestimme, wie schnell und wie weit es fährt — und anschließend, wann es die Hälfte der Strecke passiert, was nicht zur Hälfte der Zeit der Fall ist.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Zuerst die Geschwindigkeit, denn sie ist die umgestellte Definition der Beschleunigung: Die gewonnene Geschwindigkeit ist die Beschleunigung mal die Dauer.
  
  $v=u+at=5+2(4)=13\ \mathrm{m/s}$
2. Die Strecke ist die Anfangsgeschwindigkeit, beibehalten über vier Sekunden hinweg, plus das, was die Beschleunigung hinzufügt. Die beiden Terme betragen 20 m und 16 m, und keiner von beiden dominiert bisher.
  
  $s=ut+\tfrac12at^2=5(4)+\tfrac12(2)(16)=20+16=36\ \mathrm{m}$
3. Prüfe nun mit der Gleichung, die keine Zeit enthält. Sie liefert 169 auf beiden Seiten, was keine neue Tatsache ist — es sind die ersten beiden Gleichungen mit eliminiertem t, sodass eine Übereinstimmung garantiert ist und eine Abweichung einen Rechenfehler bedeuten würde.
  
  $v^2=u^2+2as:\quad 169=25+2(2)(36)=25+144=169\ \checkmark$
4. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist der Mittelwert der Endpunkte, und zwar nur, weil die Beschleunigung konstant ist. Multipliziert man mit der Zeit, ergibt sich wieder die Strecke.
  
  $\bar v=\frac{u+v}{2}=\frac{5+13}{2}=9\ \mathrm{m/s},\qquad 9\times4=36\ \mathrm{m}$
5. Nun zur Hälfte der Strecke. Die halbe Strecke beträgt 18 m, und das Lösen der quadratischen Gleichung ergibt 2,424 s — nicht 2 s. Bei t = 2 s hat das Auto erst 14 m der 36 zurückgelegt.
  
  $5t+t^2=18\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-5+\sqrt{97}}{2}=2.424\ \mathrm{s}$
Antwort

Das Tool gibt s = 36 m und v = 13 m/s aus. Schritt 5 ist derjenige, den man sich merken sollte: Unter Beschleunigung sind die Hälfte der Zeit und die Hälfte der Strecke unterschiedliche Momente, und die zweite Hälfte einer jeden beschleunigten Fahrt ist immer die schnellere. Deshalb fühlt sich ein Überholvorgang falsch an, wenn er nach Strecke geplant wird — die Lücke, die man sieht, schließt sich in der verbleibenden Zeit, nicht im Raum. Schritt 3 ist die andere Hälfte der Lektion: Es gibt fünf SUVAT-Gleichungen und zwei unabhängige Fakten, sodass eine dritte Gleichung deine Rechnung bestätigen, aber niemals neue Informationen hinzufügen kann.

$t=2\ \mathrm{s}\to s=14\ \mathrm{m};\qquad s=18\ \mathrm{m}\to t=2{.}424\ \mathrm{s}$
Bremsen auf bekannter Strecke 4 Schritte
Ein Auto fährt mit 20 m/s, bremst gleichmäßig ab und kommt nach 50 m zum Stehen. Bestimme seine Beschleunigung und die Zeit bis zum Stillstand.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Wähle die Fahrtrichtung als positiv und notiere die fünf Größen. Stillstand bedeutet v = 0. Die Zeit fehlt, also starte mit der Gleichung ohne t:
  
  $s=50\ \mathrm{m},\quad u=20\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=?,\quad t=?$
2. Löse v² = u² + 2as nach a auf:
  
  $a=\frac{v^{2}-u^{2}}{2s}=\frac{0-20^{2}}{2(50)}=-4\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. Die Zeit liefert die mittlere Geschwindigkeit, ganz ohne Beschleunigung:
  
  $t=\frac{2s}{u+v}=\frac{2(50)}{20+0}=5\ \mathrm{s}$
4. Gegenprobe über die Definition der Beschleunigung:
  
  $v=u+at=20+(-4)(5)=0\ \checkmark$
Antwort

a = −4 m/s², t = 5 s. Das Minuszeichen besagt: Die Beschleunigung wirkt der Bewegung entgegen. Bremst dasselbe Auto bei 40 m/s, liefert v² = u² + 2as genau 200 m, viermal so weit: Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

$a=-4\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad t=5\ \mathrm{s}$
Start aus der Ruhe: Strecke und Zeit bekannt 3 Schritte
Ein Sprinter startet aus der Ruhe und legt die ersten 20 m in 3,2 s mit konstanter Beschleunigung zurück. Bestimme seine Beschleunigung und die Geschwindigkeit an der 20-m-Marke.

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1. Erfasse die fünf Größen. Aus der Ruhe bedeutet u = 0. Weil v noch nicht gefragt ist, hilft die Gleichung ohne v:
  
  $s=20\ \mathrm{m},\quad u=0,\quad t=3{.}2\ \mathrm{s},\quad a=?,\quad v=?$
2. Löse s = ut + ½at² nach a auf:
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}\ \Rightarrow\ a=\frac{2(s-ut)}{t^{2}}=\frac{2(20-0)}{3{.}2^{2}}=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. Danach die Geschwindigkeit aus der Definition der Beschleunigung:
  
  $v=u+at=0+3{.}906\times3{.}2=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
Antwort

a = 3,906 m/s², v = 12,5 m/s. Die Endgeschwindigkeit ist genau doppelt so groß wie die mittlere Geschwindigkeit von 20/3,2 = 6,25 m/s. Das gilt für jeden Start aus der Ruhe, denn der Mittelwert von 0 und v ist schlicht v/2.

$a=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad v=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
Senkrechter Wurf: der höchste Punkt 4 Schritte
Ein Ball wird mit 14 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch steigt er über den Abwurfpunkt, und wie lange braucht er bis dorthin? Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

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1. Nach oben zählt als positiv, die Erdbeschleunigung ist also a = −9,81 m/s². Am Scheitelpunkt steht der Ball für einen Moment still; das ist die dritte bekannte Größe: v = 0.
  
  $u=14\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad s=?,\quad t=?$
2. Die Steigzeit folgt aus der Definition der Beschleunigung:
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{0-14}{-9{.}81}=1{.}427\ \mathrm{s}$
3. Die Steighöhe ist die mittlere Geschwindigkeit – die Hälfte von 14 m/s – mal diese Zeit:
  
  $s=\tfrac12(u+v)\,t=\tfrac12(14+0)(1{.}427)=9{.}99\ \mathrm{m}$
4. Gegenprobe mit der Gleichung ohne Zeit:
  
  $v^{2}=u^{2}+2as:\quad 0=14^{2}+2(-9{.}81)\,s\ \Rightarrow\ s=\frac{196}{19{.}62}=9{.}99\ \mathrm{m}\ \checkmark$
Antwort

9,99 m über dem Abwurfpunkt, erreicht nach 1,427 s. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null, die Beschleunigung jedoch nicht: Sie beträgt dort wie überall auf der Bahn −9,81 m/s². Genau deshalb kehrt der Ball um.

$s=9{.}99\ \mathrm{m},\qquad t=1{.}427\ \mathrm{s}$
Eine Höhe, zweimal passiert 3 Schritte
Ein Ball wird mit 15 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wann befindet er sich 5,0 m über dem Abwurfpunkt, und wie schnell bewegt er sich in beiden Momenten?

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1. Nach oben ist positiv: s = 5,0, u = 15, a = −9,81; gesucht sind v und t. Starte mit der Gleichung ohne t:
  
  $v^{2}=u^{2}+2as=15^{2}+2(-9{.}81)(5{.}0)=126{.}9$
2. Eine Quadratwurzel hat zwei Vorzeichen, und hier bedeuten beide etwas Reales: +11,26 m/s im Aufstieg und −11,26 m/s im Abstieg.
  
  $v=\pm\sqrt{126{.}9}=\pm11{.}26\ \mathrm{m/s}$
3. Jede Geschwindigkeit liefert ihren eigenen Zeitpunkt:
  
  $t=\frac{v-u}{a}:\qquad\frac{11{.}26-15}{-9{.}81}=0{.}3807\ \mathrm{s},\qquad\frac{-11{.}26-15}{-9{.}81}=2{.}677\ \mathrm{s}$
Antwort

Nach 0,3807 s steigend mit 11,26 m/s und nach 2,677 s fallend mit 11,26 m/s. Beide Zeitpunkte liegen symmetrisch um den Scheitelpunkt bei 15/9,81 = 1,529 s, und die Beträge der Geschwindigkeiten sind gleich: Im Fall passiert der Ball jede Höhe mit demselben Tempo wie beim Aufstieg. Klicke auf Ball passiert zweimal, um beide Linien im Diagramm zu sehen.

$t=0{.}3807\ \mathrm{s}\ (v=+11{.}26),\qquad t=2{.}677\ \mathrm{s}\ (v=-11{.}26)$
Wurf von der Klippe: eine Scheinlösung entfällt 4 Schritte
Ein Stein wird an der Kante einer 45 m hohen Klippe mit 10 m/s nach oben geworfen und landet am Fuß der Klippe. Wie lange bleibt er in der Luft, und wie schnell schlägt er unten auf?

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1. Nach oben zählt positiv, und die Verschiebung misst du vom Abwurfpunkt aus. Der Klippenfuß liegt unter dem Start, also ist s negativ:
  
  $s=-45\ \mathrm{m},\quad u=10\ \mathrm{m/s},\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad v=?,\quad t=?$
2. Zuerst die Geschwindigkeit aus der Gleichung ohne t. Beim Aufprall fällt der Stein, wähle also die negative Wurzel:
  
  $v=-\sqrt{u^{2}+2as}=-\sqrt{10^{2}+2(-9{.}81)(-45)}=-\sqrt{982{.}9}=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
3. Danach die Zeit:
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{-31{.}35-10}{-9{.}81}=4{.}215\ \mathrm{s}$
4. Löst du s = ut + ½at² direkt nach t auf, liefert die quadratische Gleichung zwei Lösungen. Die negative gehört zu einem Zeitpunkt vor dem Abwurf, an dem ein Stein auf derselben Parabel vom Boden gestartet wäre. Für dieses Problem scheidet sie aus:
  
  $-45=10t-4{.}905t^{2}\ \Rightarrow\ t=\frac{10\pm\sqrt{982{.}9}}{9{.}81}:\qquad t=4{.}215,\quad t=-2{.}176$
Antwort

4,215 s Flugzeit, Aufprall mit 31,35 m/s nach unten. Setzt du s = +45 bei positiver Zählrichtung nach oben an, meldet die Seite keine reelle Lösung – völlig zu Recht: Mit 10 m/s Abflugtempo gelangt der Stein niemals 45 m über die Kante.

$t=4{.}215\ \mathrm{s},\qquad v=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
Einholvorgang: zwei Bewegungen, eine Uhr 3 Schritte
Ein Auto wartet an der Ampel. Als sie auf Grün springt, beschleunigt es mit 3,0 m/s²; genau in diesem Augenblick zieht ein Lastwagen mit konstanten 15 m/s vorbei. Wann und wo holt das Auto den Lkw ein, und wie schnell fährt das Auto dann?

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Lösung anzeigen
1. Beide Bewegungen teilen sich dieselbe Stoppuhr und dieselbe Startlinie. Notiere die Verschiebung für beide nach der Zeit t:
  
  $s_{\mathrm{car}}=\tfrac12(3{.}0)\,t^{2},\qquad s_{\mathrm{truck}}=15\,t$
2. Einholen bedeutet: dieselbe Verschiebung zum selben Zeitpunkt:
  
  $\tfrac12(3{.}0)\,t^{2}=15\,t\ \Rightarrow\ t\,(1{.}5\,t-15)=0\ \Rightarrow\ t=0,\quad t=10\ \mathrm{s}$
3. t = 0 markiert den Start, an dem beide auf gleicher Höhe sind. Bei t = 10 s betrachtest du das Auto für sich: ein gewöhnlicher Fall mit u = 0, a = 3,0 und t = 10:
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}=0+\tfrac12(3{.}0)(10)^{2}=150\ \mathrm{m},\qquad v=u+at=0+3{.}0(10)=30\ \mathrm{m/s}$
Antwort

Nach 10 s, 150 m hinter der Ampel und mit 30 m/s. Das ist exakt die doppelte Geschwindigkeit des Lkw. Aus der Ruhe heraus ist das stets so: Über die gesamte Strecke entspricht die mittlere Geschwindigkeit des Autos jener des Lasters, und aus dem Stand ist dieser Mittelwert exakt die halbe Endgeschwindigkeit.

$t=10\ \mathrm{s},\qquad s=150\ \mathrm{m},\qquad v_{\mathrm{car}}=30\ \mathrm{m/s}=2\,v_{\mathrm{truck}}$
Drei Abschnitte, als Flächen gelesen 3 Schritte
Ein Zug fährt aus der Ruhe an, beschleunigt 40 s lang gleichmäßig mit 0,50 m/s², fährt 2,0 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich in 25 s gleichmäßig bis zum Stillstand ab. Bestimme die Gesamtstrecke und die mittlere Geschwindigkeit der Fahrt.
Lösung anzeigen
1. Drei Abschnitte mit jeweils eigenen fünf Größen. Das Tempo am Ende des ersten Abschnitts ist die Geschwindigkeit des zweiten und der Startwert des dritten:
  
  $v_1=u+at=0+0{.}50(40)=20\ \mathrm{m/s}$
2. Der Weg jedes Abschnitts entspricht der Fläche unter seinem Teil des Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms: Dreieck, Rechteck und Dreieck.
  
  $s_1=\tfrac12(20)(40)=400,\qquad s_2=20\times120=2400,\qquad s_3=\tfrac12(20)(25)=250\ \mathrm{m}$
3. Die mittlere Geschwindigkeit ist die Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtzeit, nicht der Mittelwert der Einzelgeschwindigkeiten:
  
  $\bar v=\frac{400+2400+250}{40+120+25}=\frac{3050}{185}=16{.}49\ \mathrm{m/s}$
Antwort

3.050 m bei einer mittleren Geschwindigkeit von 16,49 m/s. Die Bremsverzögerung von 20/25 = 0,80 m/s² war gar nicht nötig: Für die Fläche eines Dreiecks genügen Grundseite und Höhe.

$s=3050\ \mathrm{m},\qquad\bar v=16{.}49\ \mathrm{m/s}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein Radfahrer beschleunigt in 5,0 s gleichmäßig von 4,0 m/s auf 10 m/s. Bestimme die Beschleunigung und die zurückgelegte Strecke.

Ergebnis anzeigen

1,2 m/s² und 35 m.

$a=\frac{10-4{.}0}{5{.}0}=1{.}2\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad s=\tfrac12(4{.}0+10)(5{.}0)=35\ \mathrm{m}$
Ein Flugzeug muss zum Abheben 75 m/s erreichen und beschleunigt aus der Ruhe mit 2,5 m/s². Wie lang muss die Startbahn mindestens sein, und wie lange dauert der Startlauf?

Ergebnis anzeigen

1.125 m bei einer Dauer von 30 s.

$s=\frac{v^{2}}{2a}=\frac{75^{2}}{2(2{.}5)}=1125\ \mathrm{m},\qquad t=\frac{75}{2{.}5}=30\ \mathrm{s}$
Ein Stein wird in einen Brunnen fallen gelassen und trifft 2,4 s später auf dem Wasser auf. Wie tief unter dem Brunnenrand steht das Wasser, wenn die Schalllaufzeit vernachlässigt wird?

Ergebnis anzeigen

28,25 m.

$s=\tfrac12(9{.}81)(2{.}4)^{2}=28{.}25\ \mathrm{m}$
Ein senkrecht nach oben geworfener Ball kehrt nach 3,0 s wieder in die Hand zurück. Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit und die maximale Steighöhe.

Ergebnis anzeigen

14,72 m/s und 11,04 m: Aus Symmetriegründen liegt der höchste Punkt bei 1,5 s.

$u=9{.}81\times1{.}5=14{.}72\ \mathrm{m/s},\qquad h=\frac{u^{2}}{2g}=11{.}04\ \mathrm{m}$
Ein Autofahrer ist mit 30 m/s unterwegs, bemerkt eine Gefahr, reagiert nach 0,80 s und bremst mit 6,0 m/s² ab. Welchen Weg legt das Auto vom Erkennen der Gefahr bis zum Stillstand zurück?

Ergebnis anzeigen

99 m: 24 m vor Beginn der Bremsung und 75 m während des Bremsens.

$30(0{.}80)+\frac{30^{2}}{2(6{.}0)}=24+75=99\ \mathrm{m}$
Ein Teilchen bewegt sich mit 6,0 m/s bei einer konstanten Beschleunigung von −2,0 m/s². Zu welchen Zeitpunkten ist es 5,0 m von seinem Ausgangspunkt entfernt?

Ergebnis anzeigen

Nach 1,0 s und 5,0 s liegt es 5,0 m davor; nach 6,742 s liegt es 5,0 m dahinter.

$\pm5{.}0=6{.}0\,t-t^{2}:\qquad t=1{.}0,\ 5{.}0;\qquad t=3+\sqrt{14}=6{.}742\ \mathrm{s}$

Lernpfad

Wurfbewegungen

YouTube (1)

Numberphile·Zeno's Paradox

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.