← Matemáticas

Explorador de geometría analítica

Dos puntos determinan un segmento y una recta entera. Arrastra uno para conectar el triángulo rectángulo, la distancia exacta, el punto medio, el vector director, la inclinación, las ecuaciones y la mediatriz.

Cargando simulación interactiva...

La fórmula de la distancia es Pitágoras con el triángulo borrado

Suele enseñarse como algo que memorizar, y no lo es: baja una horizontal desde un punto y una vertical desde el otro, y se cortan en ángulo recto. Los catetos son Δx y Δy, el segmento es la hipotenusa, y d² = Δx² + Δy² es a² + b² = c² con el triángulo sin dibujar. Esta herramienta lo dibuja. Prueba el ajuste 3-4-5 — catetos de 3 y 4, distancia exactamente 5 — es el mismo triángulo que aparece en todas las hojas de ejercicios desde Euclides.

Un segmento vertical tiene longitud y no tiene pendiente

Pon los dos puntos en x = 3 y la herramienta indica una distancia de 10 y una pendiente indefinida. Las dos cosas son correctas, y que aparezcan juntas es lo importante. El segmento está claramente ahí y mide claramente 10 unidades, así que «indefinida» no puede significar que la recta falte o sea rara: significa que Δy ÷ Δx divide por cero, y el fallo es de la fórmula, no de la recta. Una recta vertical sigue teniendo ecuación, x = 3; simplemente no es de la forma y = mx + c, porque esa forma supone que a cada x le corresponde exactamente una y.

El punto medio es exacto donde la distancia no lo es

El punto medio es un promedio: suma las dos x, divide entre dos, y lo mismo con las y. Es aritmética, y cae sobre un número que puedes escribir exactamente. La distancia necesita una raíz cuadrada, y las raíces de sumas de cuadrados casi nunca son racionales. La diagonal unidad muestra las dos cosas a la vez — el punto medio es exactamente (0,5; 0,5) mientras que la distancia es 1,41 y continúa para siempre. Los mismos dos puntos, una respuesta exacta y otra aproximada, y la diferencia está por completo en qué operación hubo que usar.

La mediatriz es una ecuación de equidad

Activa la mediatriz. Cada punto P de la recta verde cumple PA = PB. Al elevar ambas distancias al cuadrado, x² e y² se cancelan: una condición que parecía cuadrática se convierte en una recta. En el ejemplo 3-4-5 es 6x + 8y = 39.

Problemas resueltos al detalle

  1. La distancia desde el origen a la recta 4x − 3y = 1 7 pasos

    La herramienta imprime la recta que pasa por A y B como 4x − 3y = 1, y la longitud del segmento como exactamente 5. Pregúntale a qué distancia pasa esa recta de un punto que no pertenece a ella, el origen por ejemplo, y no sabrá qué decirte. Deduce esa distancia a partir únicamente de los dos puntos.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Todo surge de una simple resta. B − A es el trayecto de A a B: tres a la derecha y cuatro hacia arriba, lo cual coincide exactamente con lo que muestran las dos filas de los catetos.

      AB⃗=B−A=(4−1,  5−1)=(3,  4)\vec{AB}=B-A=(4-1,\;5-1)=(3,\;4)

    2. Estos catetos forman los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento. Por tanto, su longitud se obtiene por Pitágoras y nada más. En este par de puntos la raíz es exacta, ya que 25 es un cuadrado perfecto; así que la fila del valor exacto imprime un 5 en lugar de un radical.

      ∣AB∣=(Δx)2+(Δy)2=32+42=9+16=25=5|AB|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

    3. La ecuación no requiere ninguna división. Cualquier punto de la recta forma la misma pendiente con A, y al eliminar los denominadores se transforma en Δy·x − Δx·y, que es igual a lo que resulte esa combinación evaluada en A. Esta es la forma que aparece en la página. Además, es la única que sobrevive ante un segmento vertical, donde la expresión y = mx + c resulta imposible de escribir.

      Δy x−Δx y=Δy ax−Δx ay:4x−3y=4(1)−3(1)=1\Delta y\,x-\Delta x\,y=\Delta y\,a_x-\Delta x\,a_y:\qquad 4x-3y=4(1)-3(1)=1

    4. Ahora fíjate en los coeficientes que acabas de generar. El vector (4, −3) equivale a (Δy, −Δx), es decir, el segmento girado en ángulo recto. Rotar un vector no altera su longitud, por lo que el vector normal mide 5, el mismo 5 del segmento AB. Esto no es una casualidad de este ejemplo. Se cumple para cualquier par de puntos y es justo lo que simplifica enormemente el paso siguiente.

      n=(Δy, −Δx)=(4, −3),∣n∣=42+(−3)2=5=∣AB∣\mathbf{n}=(\Delta y,\,-\Delta x)=(4,\,-3),\qquad |\mathbf{n}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5=|AB|

    5. Si avanzas una unidad a lo largo del vector normal, el miembro izquierdo de la ecuación varía en 5, la propia longitud de la normal. En consecuencia, el valor que toma en cualquier punto equivale a la distancia a la recta multiplicada por 5. Evalúa la ecuación en el origen: el numerador se reduce a 1, el denominador es ese mismo 5, y la recta pasa a exactamente un quinto de distancia del origen.

      d(P)=∣4px−3py−1∣∣n∣,d(O)=∣0−0−1∣5=15=0.2d(P)=\frac{|4p_x-3p_y-1|}{|\mathbf{n}|},\qquad d(O)=\frac{|0-0-1|}{5}=\frac{1}{5}=0.2

    6. Avanza ese quinto y deberías caer en la misma recta. El pie de la perpendicular se encuentra en (0,16; −0,12). Si sustituyes este punto en 4x − 3y, obtienes 0,64 + 0,36 = 1, lo cual confirma que estás sobre la recta y a 0,2 de tu punto de partida.

      F=O−n⋅O−1∣n∣2 n=125(4, −3)=(0.16, −0.12),4(0.16)−3(−0.12)=0.64+0.36=1F=O-\frac{\mathbf{n}\cdot O-1}{|\mathbf{n}|^{2}}\,\mathbf{n}=\frac{1}{25}(4,\,-3)=(0.16,\,-0.12),\qquad 4(0.16)-3(-0.12)=0.64+0.36=1

    7. De aquí se deduce otra consecuencia de forma gratuita. Si el denominador en la fórmula de la distancia es |AB|, entonces |AB| multiplicado por esa distancia es exactamente el doble del área del triángulo con vértices en O, A y B.

      [OAB]=12 ∣AB∣ d(O)=12⋅5⋅0.2=0.5,12 ∣xAyB−xByA∣=12 ∣1⋅5−4⋅1∣=0.5[OAB]=\tfrac12\,|AB|\,d(O)=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5,\qquad \tfrac12\,|x_Ay_B-x_By_A|=\tfrac12\,|1\cdot5-4\cdot1|=0.5

    Respuesta

    La recta pasa a 0,2 del origen y el triángulo OAB tiene un área de exactamente ½. Comprueba esta área mediante un método que omite por completo la distancia. La fórmula de la lazada da ½|xAyB − xByA| = ½|5 − 4| = ½. Tienes dos deducciones que no comparten nada después de la primera resta y llegan al mismo número. La herramienta te acompaña hasta la tercera línea y luego se detiene: la distancia desde un punto, el pie de la perpendicular y el área son cálculos que omite.

    d(P)=∣n⋅P−c∣∣n∣,∣n∣=∣AB∣=5 ⟹ d(O)=15=0.2,[OAB]=12⋅5⋅0.2=0.5d(P)=\frac{|\mathbf{n}\cdot P-c|}{|\mathbf{n}|},\quad |\mathbf{n}|=|AB|=5\ \Longrightarrow\ d(O)=\tfrac15=0.2,\qquad [OAB]=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5
  2. Lo que las lecturas de los dos catetos saben sobre la cuadrícula 6 pasos

    El panel indica Δx = 10,0 y Δy = −10,0. Calcula por cuántos puntos de la cuadrícula pasa este segmento en su recorrido y decide si los dos catetos por sí solos bastaban para saberlo.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Empecemos por la longitud, ya que se divide más adelante. √(10² + 10²) = √200 = 10√2, un resultado que el panel imprime dos veces: 14,14 redondeado y 10√2 exacto.

      AB⃗=(10, −10),∣AB∣=102+102=200=102=14.14\vec{AB} = (10,\,-10), \qquad |AB| = \sqrt{10^{2}+10^{2}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} = 14.14

    2. Expresa el segmento como un recorrido. X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t), donde t va de 0 a 1.

      X(t)=A+t (Δx, Δy)=(−5+10t,  6−10t),0≤t≤1X(t) = A + t\,(\Delta x,\,\Delta y) = (-5+10t,\;6-10t), \qquad 0 \le t \le 1

    3. X(t) tiene coordenadas enteras cuando tΔx y tΔy son enteros. Esto ocurre exactamente cuando t es múltiplo de 1/g, siendo g el máximo común divisor de |Δx| y |Δy|. Aquí g = mcd(10, 10) = 10, así que t avanza por décimas.

      X(t)∈Z2  ⟺  t Δx, t Δy∈Z  ⟺  t=mg,g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣)=gcd⁡(10,10)=10X(t) \in \mathbb{Z}^{2} \iff t\,\Delta x,\ t\,\Delta y \in \mathbb{Z} \iff t = \frac{m}{g}, \qquad g = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|) = \gcd(10,10) = 10

    4. Cada décima avanza (Δx/g, Δy/g) = (1, −1), lo que nos da nueve puntos situados estrictamente entre los extremos: (−4, 5), (−3, 4), y así sucesivamente hasta llegar a (4, −3). Están espaciados de forma uniforme y separados por √2, pues la longitud también se divide entre g.

      (Δxg,Δyg)=(1, −1):(−4,5), (−3,4), …, (4,−3)  — g−1=9 points, spaced ∣AB∣g=2\left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) = (1,\,-1): \quad (-4,5),\,(-3,4),\,\dots,\,(4,-3) \ \ \text{— } g-1 = 9 \ \text{points, spaced } \tfrac{|AB|}{g} = \sqrt{2}

    5. Esta misma división indica cuándo la longitud resulta entera. Como |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), el radical reside enteramente en el par reducido. Aquí ese par es (1, 1) y nada puede eliminar la √2. En el preajuste 3-4-5, g = 1 y el par reducido es (3, 4), los catetos de una terna pitagórica. Por eso esa distancia se imprime exactamente como 5.

      ∣AB∣=g(Δxg)2+(Δyg)2=1012+12;(3,4): g=1, 32+42=5|AB| = g\sqrt{\left(\tfrac{\Delta x}{g}\right)^{2} + \left(\tfrac{\Delta y}{g}\right)^{2}} = 10\sqrt{1^{2}+1^{2}}; \qquad (3,4):\ g = 1,\ \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5

    6. El punto medio no requiere cálculos por separado. Es el punto donde t = ½, así que cae en la cuadrícula justo cuando ½ es múltiplo de 1/g, es decir, cuando g es par. Aquí g = 10 y el punto medio (0, 1) es el quinto de los nueve. En el preajuste 3-4-5, g = 1, y (2,5; 3) queda entre las líneas de la cuadrícula.

      M=(ax+bx2, ay+by2)∈Z2  ⟺  Δx, Δy both even:(0, 1) ✓,(3,4)⇒(2.5, 3) ×M = \left(\tfrac{a_x+b_x}{2},\,\tfrac{a_y+b_y}{2}\right) \in \mathbb{Z}^{2} \iff \Delta x,\ \Delta y \ \text{both even}: \quad (0,\,1)\ \checkmark, \qquad (3,4) \Rightarrow (2.5,\,3)\ \times

    Respuesta

    Nueve, y sí. El máximo común divisor de los dos catetos lo decide todo, y ambos catetos figuran en el panel. Un segmento entre puntos de la cuadrícula cruza otros g − 1 puntos. Su longitud es racional solo cuando el par reducido forma una terna pitagórica. Además, su punto medio pertenece a la cuadrícula únicamente si g es par. Esta última prueba tiene una consecuencia que conviene tener presente. Un punto de la cuadrícula pertenece a una de cuatro clases según la paridad de sus dos coordenadas. Por tanto, entre cinco puntos cualesquiera siempre habrá dos que compartan clase, y el punto medio de esos dos caerá sobre la cuadrícula.

    g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣):g−1 lattice points between,∣AB∣∈Q  ⟺  (Δxg,Δyg) is a Pythagorean pairg = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|): \quad g-1 \ \text{lattice points between}, \quad |AB| \in \mathbb{Q} \iff \left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) \ \text{is a Pythagorean pair}

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Referencias (2)
  • the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
  • the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.