Números y álgebra
L1: fundamentos
MATHTres herramientas construyen una lección: un valor resumen es una compresión con pérdida, y cómo comprimes determina sobre qué es sincero el resumen. Cada paso entrega al siguiente una limitación concreta de los resúmenes de un único número.
L1: fundamentos
MATHTres herramientas y un solo argumento: hay números que no se pueden escribir hasta el final. La mejor versión corta de uno de ellos se busca en lugar de adivinarse, y recortar un número tiene un coste que puedes medir.
L1: fundamentos
MATHSeis herramientas que estructuran la resolución de ecuaciones en el orden en que las ideas realmente dependen unas de otras. Empiezas por lo que hace un signo menos. Terminas con un método mecánico para tres incógnitas a la vez. Cada paso entrega al siguiente algo concreto: un movimiento, una restricción a un movimiento o una prueba para saber si tu movimiento fue válido.
L2: escuela
MATHTres herramientas, un hábito: cuando las magnitudes difieren por factores en lugar de cantidades, deja de contar y empieza a contar exponentes. La primera construye la regla, la segunda la recorre y la tercera le asigna un número sin un solo dato.
L2: escuela
MATHCuatro herramientas, y cada una existe porque la herramienta anterior ya no te basta. Factorizar funciona cuando las raíces son sencillas; la fórmula, cuando no lo son. La división te sirve más allá del grado dos, y una función racional es lo que hacen dos polinomios cuando pones uno sobre el otro.
L2: escuela
MATHTres páginas sobre cómo aplicar una función tras otra. Trasladar y dilatar una gráfica responde ya a esta idea, con el orden fijado por los paréntesis. La composición general demuestra que el orden altera el resultado. Y la inversa es la función que, compuesta con f, te devuelve x; su gráfica es la simétrica de la de f respecto a la recta y = x.
Geometría y trigonometría
L1: fundamentos
MATHSeis herramientas que construyen los resultados fundamentales del triángulo y el círculo en el orden en que realmente dependen unos de otros. Aquí no se da nada por sentado: cada regla surge como consecuencia de la anterior, y el recorrido termina al ubicar la primera de vuelta sobre una cuadrícula, donde se convierte en la fórmula de la distancia.
L2: escuela
MATHUna identidad se cumple para cualquier ángulo donde ambos miembros estén definidos. Justo eso te permite sustituir la función que te da el enunciado por la que te piden calcular. El capítulo arranca con las funciones recíprocas y las tres identidades pitagóricas. Recorre después las funciones inversas que devuelve la calculadora, las ecuaciones que abren, las fórmulas del ángulo compuesto y del ángulo doble, y la forma armónica. Cierra demostrando identidades, línea por línea.
L2: escuela
MATHTres herramientas. La idea central de la secuencia es que no son tres temas distintos. Una onda sinusoidal es cómo se ve el movimiento circular uniforme de perfil, y un péndulo oscilante es lo que ves cuando la gravedad aporta el giro.
Cálculo
L2: escuela
MATHCinco herramientas para una sola idea: una curva suave, si la amplías lo suficiente, es indistinguible de una línea recta. Ese único hecho es lo que mide una derivada. Es lo que extiende una serie de Taylor, y lo que hace un gradiente en más de una dirección. El camino empieza con la medida angular que logra que la aritmética resulte limpia. Termina en una ladera donde la pendiente más pronunciada supera cualquier dirección que realmente mediste.
L2: escuela
MATHUna derivada es una razón de cambio. Cada regla de derivación explica cómo se combinan esas razones: en un producto, al anidar una función dentro de otra o en una ecuación donde nadie ha despejado la y. En las dos últimas páginas pondrás estas reglas en práctica con las preguntas que de verdad plantea cualquier curso: a qué velocidad cambia algo en un instante preciso y cuál es la mejor opción.
L3: universidad
MATHEl signo de f′ indica dónde crece y decrece una gráfica; el de f″, hacia dónde se curva. El capítulo comienza con el teorema que da rigor a estas observaciones: el teorema del valor medio. A partir de esa base avanzarás hacia los criterios de la primera y la segunda derivada, y aprenderás a leer f a partir de la gráfica de f′.
L3: universidad
MATHUna suma infinita es el límite de sumas finitas. Sin embargo, ese límite depende de factores que carecen de importancia en una suma finita: el orden de los términos y la ubicación de la singularidad más próxima, incluso cuando esta se encuentra fuera de la recta real.
L3: universidad
MATHEl método de Newton, la regla de Simpson y el método de Euler funcionan con el mismo motor: en un intervalo lo bastante pequeño, tratar la curva como una recta. Por tanto, cada uno presenta un fallo que no es un defecto. Lo verdaderamente útil es que sepas qué fallo corresponde a cada método. Aquí, cada paso entrega al siguiente un error con nombre propio y la tasa a la que se reduce.
L3: universidad
MATHDerivar es un procedimiento e integrar es una búsqueda. Por esto mismo, los ejercicios de este capítulo evalúan tu respuesta de una sola manera: derívala y compárala con el integrando. La sustitución y la integración por partes no son más que las reglas de la cadena y del producto aplicadas a la inversa. El método de fracciones parciales cubre esa gran familia donde siempre existe una respuesta elemental. La última página demuestra que, para e⁻ˣ², dicha respuesta simplemente no existe.
L3: universidad
MATHUna integral es una cantidad acumulada: un área, una distancia, un volumen. Este capítulo arranca con el teorema que conecta esa acumulación con el ritmo de cambio, y avanza desde ahí hacia el cálculo de áreas entre curvas, problemas de movimiento y volúmenes obtenidos por secciones.
L3: universidad
MATHUna ecuación diferencial describe a qué ritmo cambia algo, jamás cuánto vale. El campo de pendientes dibuja esa idea y muestra toda una familia de soluciones, una por cada punto de partida. La exponencial es la familia que puedes resolver en una línea, y la transformada de Laplace convierte ese ritmo en un punto del plano s, donde el desenlace se lee sin resolver nada.
Álgebra lineal y datos
L3: universidad
MATHSiete herramientas que transforman una nube de puntos dispersos en un número que puedes defender, para luego plantear cómo se halla ese número, cuánto debes confiar en él, qué ocurre cuando nadie te da la respuesta, y finalmente cómo evaluar una predicción que siempre fue solo una probabilidad. El recorrido atraviesa la geometría más que la estadística, porque es la geometría lo que hace honesta a la estadística.
L3: universidad
MATHUna pregunta, planteada cuatro veces con cada vez menos información: ¿qué le hace realmente esta matriz al espacio? Las columnas responden directamente. Los vectores propios lo hacen para las direcciones que sobreviven. La DVS responde cuando no queda ninguna, y el ACP dirige la misma maquinaria hacia una nube de mediciones.
Demostración, conteo y juegos
L2: escuela
MATHEl problema del cumpleaños parece un truco de salón, pero en realidad es la herramienta estándar para analizar colisiones. En el segundo paso es donde los informáticos se lo vuelven a encontrar, bajo un nombre distinto.
L2: escuela
MATHUna demostración es un razonamiento que abarca todos los casos, incluidos aquellos que nadie comprobará jamás. Estas páginas construyen ese razonamiento de cuatro maneras: por inducción, repartiendo cosas en cajas, mediante una cantidad que ningún movimiento logra alterar y formando parejas. La primera empieza con una fórmula que da un número primo cuarenta veces seguidas y luego da 41 × 41.
L3: universidad
MATHCuatro juegos y una operación: hallar el movimiento que responda a lo que haga el otro jugador. Por sí sola resuelve el primer juego. En el segundo exige repasar toda una matriz para encontrarla, y en el tercero acarrea un precio. En el cuarto, nadie la calcula en absoluto. Y, sin embargo, la población llega a la respuesta de todos modos.
Dinero e inversión
L2: escuela
MATHCuatro herramientas que construyen una idea: el dinero tiene un valor distinto en momentos diferentes, y un pago recurrente puede reducirse a una única fórmula. Aquí, cada paso le entrega algo específico al siguiente.
Biología y Química
L2: escuela
GEOEn una superficie curva las reglas demostradas en papel dejan de cumplirse, y la medida en que cada una falla mide la curvatura desde el interior. Una ruta recta cambia su rumbo en la brújula, una flecha que transportas sin girar regresa rotada, un anillo resulta tener la longitud equivocada, y en el plano hiperbólico ningún triángulo puede contener más de π.
Ondas, luz y cuantos
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PHYTres ecuaciones construidas sobre un mismo operador, el laplaciano, que difieren únicamente en el papel del tiempo. El calor olvida, empezando por el detalle más fino. Una onda aleja una perturbación y, sobre una superficie, nunca termina de llegar del todo. La ecuación de Laplace carece de tiempo por completo, y es el estado al que llega el calor a base de olvidar: cada punto es el promedio de sus vecinos.
An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
