Navier–Stokes: flujo alrededor de un cilindro

Fija el número de Reynolds y la página resolverá ante tus ojos las ecuaciones de Navier–Stokes para el flujo alrededor de un cilindro. El color indica el sentido de giro del fluido. El trazado bajo la imagen muestra la velocidad transversal tres diámetros aguas abajo. Te enseña lo que la imagen no te puede mostrar cerca del umbral: si la estela se está asentando, si se desvanece o si ya oscila definitivamente.

Ejemplo resuelto — Navier–Stokes: flujo alrededor de un cilindro

Viscosidad (uds. de retícula)	0,01000
Tiempo de relajación τ	0,5300
Oscilación de asentamiento	0,636 U
Núm. Strouhal (del periodo)	0,1690
Coef. de resistencia medio	1,489
Parte debida a la presión	1,157
Parte por fricción superf.	22%
Núm. Strouhal (túnel Roshko)	0,1671

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Navier–Stokes: flujo alrededor de un cilindro

Las ecuaciones de Navier–Stokes son la segunda ley de Newton para un fluido: cada pequeña porción acelera bajo la presión que la empuja y la resistencia viscosa de sus vecinas. Para un fluido incompresible se expresan como ∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u y ∇·u = 0, donde u es la velocidad, p la presión, ρ la densidad y ν la viscosidad cinemática.

Qué significa cada símbolo

Re: el número de Reynolds UD/ν, formado por la velocidad del flujo U, el diámetro del cilindro D y la viscosidad cinemática ν. El paso 1 te muestra que es la única constante que queda en las ecuaciones
St: el número de Strouhal fD/U, la frecuencia de desprendimiento f en unidades de U/D
C_D: el coeficiente de resistencia: la resistencia sobre una unidad de longitud de cilindro dividida por ½ρU²D
A: la amplitud de oscilación: la mitad de la velocidad transversal pico a pico a tres diámetros por detrás del cilindro, expresada como fracción de U
ω: la vorticidad ∂v/∂x − ∂u/∂y, el doble de la velocidad a la que gira una porción de fluido. Constituye el color que ves en la imagen

De dónde viene la fórmula

Por qué basta con un solo deslizador. Mide las longitudes en diámetros, las velocidades en unidades de U y el tiempo en unidades de D/U: haz u = U u′, x = D x′, t = (D/U) t′ y p = ρU² p′. Entonces cada término a la izquierda en la ecuación del momento carga con un factor U²/D, al igual que el término de presión. El término viscoso incorpora νU/D². Divide todo por U²/D y la ecuación queda igual que antes, escrita en las variables primadas, salvo que ν se convierte en ν/(UD) = 1/Re. Dos flujos con idéntico Re son el mismo flujo a distintos tamaños y velocidades, por lo que la página requiere un solo control en lugar de cuatro.
Cómo diferencia la página el asentamiento del desvanecimiento. Llamemos A a la amplitud de oscilación. Mientras es pequeña, crece o mengua de forma exponencial según dA/dt = σA. La σ es positiva por encima del umbral y negativa por debajo; cerca del umbral, σ es proporcional a Re − Re_c. El crecimiento no se puede prolongar siempre. El primer término capaz de frenarlo, en una oscilación con idéntico aspecto boca arriba y boca abajo, es cúbico: dA/dt = σA − ℓA³, la ecuación de Landau. Dividida entre A forma una línea recta en A², d ln A/dt = σ − ℓA². La página ajusta esta recta a los ciclos de cada ejecución y extrae la σ de ella. Así es como, a Re 48, sabe que una oscilación que se reduce se está asentando y no desvaneciendo. Igualar dA/dt = 0 te devuelve la oscilación donde la estela se asienta, A∞² = σ/ℓ: una línea recta en Re que alcanza el cero en Re_c. Esa es la línea que aparece en el segundo panel.
Resistencia nula sin viscosidad. Sin viscosidad, el flujo alrededor de un cilindro de radio R es ψ = U(r − R²/r) sin θ, y su velocidad sobre la superficie resulta 2U sin θ: nula en las partes delantera y trasera, el doble de la corriente libre a los lados. La ecuación de Bernoulli, por la que p + ½ρv² es constante a lo largo del flujo, convierte esto en una presión, C_p = (p − p∞)/(½ρU²) = 1 − 4 sin²θ. La resistencia es dicha presión empujando sobre la superficie, sumada por todo el contorno: C_D = ∫₀^π C_p cos θ dθ = ∫₀^π cos θ dθ − 4∫₀^π sin²θ cos θ dθ = 0 − [4 sin³θ/3]₀^π = 0. La mitad delantera y la mitad trasera se cancelan con exactitud. La página integra la presión del propio resolutor mediante este mismo método y te la muestra como la porción de resistencia debida a la presión.
La frecuencia. Escalada tal como se muestra en el paso 1, la frecuencia de desprendimiento f se transforma en St = fD/U, y como todo lo demás en las ecuaciones escaladas, dependerá de Re en exclusiva. Una vez que conoces St para un número de Reynolds concreto, f = St·U/D vale para cualquier fluido, velocidad y diámetro que lo compartan. Roshko ajustó St = 0,212(1 − 21,2/Re) a sus mediciones de túnel de viento entre Re 50 y 150. El St de este resolutor se encuentra un 4% por encima a Re 55 y recorta la distancia hasta el 1% a Re 100.

Supone: Dos dimensiones: un cilindro infinitamente largo sin ninguna variación a lo largo de su eje. Un fluido incompresible, que el resolutor aproxima funcionando a cerca de un sexto de su propia velocidad del sonido. Un canal de veinte diámetros de anchura con la parte superior unida a la inferior, de manera que el cilindro percibe vecinos a veinte diámetros de distancia. Esto añade unos pocos puntos porcentuales a la resistencia y a la frecuencia.
Falla cuando: Por encima de Re 188,5, una estela real engendra ondas a lo largo del cilindro (Barkley y Henderson, 1996) y el resultado 2D ya no la describe. Cerca del umbral todo se vuelve lento: a Re 47 la oscilación sigue menguando después de 300 D/U, y necesitaría más de 2.000 D/U adicionales para difuminarse por completo. Por este motivo, la página lee la tendencia con la ecuación de Landau en vez de esperar.

Por debajo de aproximadamente Re 47 la estela se estabiliza; por encima, las mismas ecuaciones oscilan para siempre

Pulsa Re 44 y después Re 48. El cilindro es simétrico, el flujo que recibe es simétrico, y a ambos números de Reynolds las ecuaciones tienen una respuesta simétrica: dos remolinos que son imágenes especulares, totalmente quietos. A 44 la estela, tras recibir el impulso, regresa a ese estado. A 48 no lo hace nunca. La respuesta simétrica sigue existiendo, pero se ha vuelto inestable, de modo que el flujo la abandona a la menor excusa. Aquí la excusa la proporciona la propia página: un leve empujón transversal en el flujo de entrada tras cada cambio y un cilindro descentrado un tercio de celda respecto a la línea central de la cuadrícula. En un canal de agua, la excusa sería cualquier vibración. El grupo de Camichel en Toulouse midió el umbral en 47. La tasa de crecimiento de este resolutor cambia de signo entre 47 y 48, en torno a 47,4, y el ajuste del segundo panel arroja 47,5.

Sin viscosidad un cilindro no sufriría resistencia

Saca la viscosidad de las ecuaciones y el flujo alrededor de un cilindro se podrá resolver a lápiz (paso 3 más abajo). La presión sobre la mitad posterior resulta ser la imagen especular de la presión sobre la mitad anterior, los empujes opuestos se cancelan y la resistencia es exactamente cero. D'Alembert publicó eso en 1752 y desde entonces se le denomina paradoja, ya que todo cuerpo real sufre resistencia. El primer panel te enseña dónde falla el planteamiento. A Re 100 la presión sin fricción vuelve a escalar hasta +1 en la parte trasera del cilindro; la del resolutor se estanca en −0,94 porque el flujo abandona la superficie antes de lograr recuperarse. Esa presión que falta supone más de tres cuartas partes de la resistencia. El resto corresponde al agarre del fluido sobre la superficie: el 22% de la resistencia a Re 100 y el 40% a Re 20.

La nota que canta un cable no es un número fijo

St = fD/U es la frecuencia de desprendimiento en unidades del tiempo que tarda el flujo en rebasar un diámetro. Suele redondearse a 0,2. En esta página sube desde 0,128 a Re 50 hasta 0,169 a 100 y 0,192 a 180. El ajuste del túnel de viento de Roshko, la línea verde, sube a la par: 0,167 a Re 100. Ese 0,2 se corresponde con flujos más rápidos. El ajuste de Roshko entre Re 300 y 2.000 da de 0,203 a 0,211. Allí la estela resulta tridimensional, algo inalcanzable para un resolutor 2D. Una estela real se vuelve tridimensional a Re 188,5, y por eso el deslizador termina en 180.

Problema resuelto al detalle

¿Qué nota canta un cable con el viento? 4 pasos
Un cable tenso de 3 mm de grosor se enfrenta a un viento de 8 m/s. Los vórtices se desprenden de él alternativamente a cada lado y el cable zumba a esa frecuencia de desprendimiento. ¿A qué frecuencia? El aire a 20 °C tiene una viscosidad de 1,813×10⁻⁵ Pa·s y una densidad de 1,204 kg/m³.

Abre este problema en la herramienta
1. Primero el número de Reynolds, a partir de la viscosidad cinemática ν = η/ρ:
  
  $\nu=\dfrac{\eta}{\rho}=\dfrac{1{.}813\times10^{-5}\ \mathrm{Pa\,s}}{1{.}204\ \mathrm{kg/m^3}}=1{.}506\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s},\qquad \mathrm{Re}=\dfrac{UD}{\nu}=\dfrac{8\ \mathrm{m/s}\times0{.}003\ \mathrm{m}}{1{.}506\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}}=1{,}594$
2. Este valor deja muy atrás el 188,5, punto en el que una estela real se vuelve tridimensional, por lo que el resolutor de esta página no puede calcularlo. Roshko midió la frecuencia de desprendimiento exactamente en esta banda y la ajustó así:
  
  $\mathrm{St}=0{.}212\left(1-\dfrac{12{.}7}{\mathrm{Re}}\right)=0{.}212\left(1-\dfrac{12{.}7}{1{,}594}\right)=0{.}2103\qquad(300<\mathrm{Re}<2{,}000)$
3. A continuación, deduces f a partir de la definición de St:
  
  $f=\dfrac{\mathrm{St}\,U}{D}=\dfrac{0{.}2103\times8\ \mathrm{m/s}}{0{.}003\ \mathrm{m}}=561\ \mathrm{Hz}$
4. El resolutor se gana su puesto por debajo de Re 150, donde puedes compararlo directamente con ese mismo túnel de viento. Pulsa Re 100 y lee ambos en la tabla de resultados:
  
  $\mathrm{Re}=100:\quad \mathrm{St}_{\text{solver}}=0{.}1690,\qquad \mathrm{St}_{\text{Roshko}}=0{.}212\left(1-\dfrac{21{.}2}{100}\right)=0{.}1671$
Respuesta

El cable canta a unos 561 Hz. Si reduces su grosor a la mitad, la frecuencia sube a 1.113 Hz: se queda un poco corta de duplicarse porque Re también se reduce a la mitad y St cae de 0,2103 a 0,2086.

$f\approx561\ \mathrm{Hz};\qquad D=1{.}5\ \mathrm{mm}:\ \mathrm{Re}=797,\ \mathrm{St}=0{.}2086,\ f=1{,}113\ \mathrm{Hz}$

Ruta de aprendizaje

Fluidos en movimiento: lo que la viscosidad se cobra

Referencias (5)

Wind-tunnel shedding frequencies behind circular cylinders from Re 40 to 10,000, and the two fits this page plots and the worked problem uses: S = 0.212(1 − 21.2/R) for 50 < R < 150 and S = 0.212(1 − 12.7/R) for 300 < R < 2,000: A. Roshko, "On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets", NACA Report 1191, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.
Where a two-dimensional solver stops describing a real wake: the periodic 2D wake becomes unstable to three-dimensional disturbances at Re = 188.5 ± 1.0, which is where this page's slider stops: D. Barkley and R. D. Henderson, "Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder", Journal of Fluid Mechanics 322, 215–241 (1996).
The history of the instability: Bénard's experiments, the threshold Re_c = 47 that Camichel's group in Toulouse measured with circular cylinders, and Mathis, Provansal and Boyer's 1984 measurement that the oscillation's amplitude grows as (Re − Re_c)^½, the Landau law this page fits: J. E. Wesfreid, "Henri Bénard: Thermal convection and vortex shedding", Comptes Rendus Mécanique 345, 446–466 (2017).
The method this page solves the equations with: a lattice-Boltzmann fluid with a curved wall placed on the true circle by interpolating along each lattice link, and the drag from the momentum each link exchanges with the wall: M. Bouzidi, M. Firdaouss and P. Lallemand, "Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries", Physics of Fluids 13, 3452–3459 (2001).
Steady flow past a cylinder computed up to Re 100, with the drag, the surface pressure and the separation bubble, which first appears just below Re 7: S. C. R. Dennis and G.-Z. Chang, "Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100", Journal of Fluid Mechanics 42, 471–489 (1970).

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Navier–Stokes: flujo alrededor de un cilindro

Qué significa cada símbolo

De dónde viene la fórmula

Por debajo de aproximadamente Re 47 la estela se estabiliza; por encima, las mismas ecuaciones oscilan para siempre 🖖

Sin viscosidad un cilindro no sufriría resistencia 🖖

La nota que canta un cable no es un número fijo 🖖

Por debajo de aproximadamente Re 47 la estela se estabiliza; por encima, las mismas ecuaciones oscilan para siempre

Sin viscosidad un cilindro no sufriría resistencia

La nota que canta un cable no es un número fijo