Simulador de Tiro Parabólico

trayectoria parabólica con animación en vivo

Dos movimientos con un mismo reloj	$\begin{gathered}x=v_0\cos\theta\,t\\ y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}\end{gathered}$
Lanzamiento y llegada a la misma altura	$\begin{gathered}t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\\ y_{\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}\end{gathered}$

Ejemplo resuelto — Simulador de Tiro Parabólico

Velocidad horizontal	14,142 m/s
Velocidad vertical	14,142 m/s
Tiempo de vuelo	2,8832 s
Alcance	40,775 m
Tiempo hasta el punto máximo	1,4416 s
Altura máxima	10,194 m
Velocidad de impacto	20 m/s
Ángulo de impacto bajo la horizontal	45°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Simulador de Tiro Parabólico

Tras su lanzamiento, un proyectil se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad. Al salir con velocidad v₀ y un ángulo θ desde una altura h, avanza horizontalmente a velocidad constante mientras su altura evoluciona exactamente como en una caída libre.

Qué significa cada símbolo

v₀: velocidad de lanzamiento
θ: ángulo de lanzamiento sobre la horizontal
h: altura de lanzamiento sobre el nivel del suelo
g: aceleración de la gravedad, 9,81 m/s², hacia abajo
R: alcance: distancia horizontal desde el lanzamiento hasta el impacto

De dónde viene la fórmula

La gravedad actúa únicamente hacia abajo, de modo que nada altera la velocidad horizontal. La distancia horizontal crece al mismo ritmo durante todo el vuelo.
$v_x=v_0\cos\theta,\qquad x=v_0\cos\theta\,t$
En vertical la aceleración es constante: es la lección anterior con u = v₀ sin θ y a = −g. Ambos movimientos comparten un único reloj, t.
$v_y=v_0\sin\theta-gt,\qquad y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}$
Elimina t entre ambas expresiones y la altura se convertirá en una función cuadrática de la distancia horizontal: la trayectoria es una parábola.
$y=h+x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}$
El vuelo termina cuando la altura vuelve a cero. En terreno llano las dos raíces corresponden al lanzamiento y a t_f, y el alcance equivale a v_x durante ese tiempo t_f. Como sin 2θ = sin(180° − 2θ), los ángulos θ y 90° − θ ofrecen el mismo alcance.
$t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=v_x\,t_f=\frac{2v_0^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
En el punto más alto, la velocidad vertical se anula. La ecuación independiente del tiempo proporciona la altura.
$0=(v_0\sin\theta)^{2}-2g\,(y_{\max}-h)\ \Rightarrow\ y_{\max}=h+\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$

Supone: Sin resistencia del aire, y con g constante en todo el recorrido. Si hubiese rozamiento del aire la trayectoria ya no sería una parábola, que es justo el tema de la siguiente página.

Dos movimientos en uno

En realidad, un proyectil hace dos cosas independientes a la vez: avanza en horizontal a velocidad constante mientras cae por la atracción de la gravedad. Ninguno de estos movimientos interfiere en el otro, lo que nos deja un resultado célebre: una bala disparada en horizontal y otra que se deja caer a la vez desde esa misma altura tocan el suelo exactamente en el mismo instante. Fija el ángulo en 0°, dale algo de altura al lanzamiento y varía la velocidad: el alcance aumentará, pero el tiempo de vuelo ni se moverá.

En altura, 45° deja de ganar

La famosa regla de los 45° para el alcance máximo solo se cumple si el lanzamiento y la caída están a la misma altura. Añade una altura de lanzamiento h y el mejor ángulo baja de 45°, siguiendo θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Lanza una pelota desde un acantilado y apuntar algo más plano que 45° la envía más lejos: sube el control de altura y busca el óptimo real.

PROYECTILES — EL ÁNGULO DECIDE TODO SALVO LO QUE DECIDE LA VELOCIDAD

¿Qué caso de lanzamiento estás resolviendo?

El movimiento horizontal y el vertical son independientes: velocidad constante de lado, aceleración constante hacia abajo. Todo lo demás sale de esa separación. En terreno llano el alcance es R = v²sen(2θ)/g, que llega al máximo en 45° y empareja los ángulos a uno y otro lado. Lanza desde una altura y esa simetría se rompe: el mejor ángulo baja de 45°.

45° en terreno llano — el alcance máximo R = v²/g at θ = 45°

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio R = v²sin(2θ)/g

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance h = v²/2g, R = 0

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° en terreno llano — el alcance máximo

Qué sabes: Lanzamiento y caída están a la misma altura y quieres llegar lo más lejos posible. sen(2θ) es máximo cuando 2θ = 90°.

Alcance: R = v²/g at θ = 45°

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s a 45° → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, lo más lejos que llega esta velocidad

Abrir este caso: 45° alcance máximo

45° en terreno llano — el alcance máximo. A 45° el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal se equilibran y el alcance es máximo. Lanzamiento y caída están a la misma altura y quieres llegar lo más lejos posible. sen(2θ) es máximo cuando 2θ = 90°. — A 45° el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal se equilibran y el alcance es máximo.

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio

Qué sabes: Cualquier ángulo θ y su complementario 90° − θ dan el mismo alcance en llano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ).

Alcance: R = v²sin(2θ)/g

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s a 30° → 35,3 m; a 60° → otra vez 35,3 m. El tiro plano tarda 2,0 s y el elevado 3,5 s

Abrir este caso: 30°

Ángulos complementarios — dos formas de dar en el mismo sitio. Dos trayectorias, un punto de caída: 30° y 60° dan el mismo alcance a alturas distintas. Cualquier ángulo θ y su complementario 90° − θ dan el mismo alcance en llano, porque sen(2θ) = sen(180° − 2θ). — Dos trayectorias, un punto de caída: 30° y 60° dan el mismo alcance a alturas distintas.

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance

Qué sabes: θ = 90°, así que la componente horizontal es cero. Todo lo que dio el lanzamiento se va en subir y volver.

Alcance: h = v²/2g, R = 0

Ejemplo resuelto: v = 20 m/s hacia arriba → altura máxima v²/2g = 20,4 m, alcance 0, y vuelve a tu mano a 20 m/s

Abrir este caso: 90° vertical hacia arriba

Recto hacia arriba — toda altura, ningún alcance. Lanzamiento vertical: la trayectoria se reduce a una línea y el alcance desaparece. θ = 90°, así que la componente horizontal es cero. Todo lo que dio el lanzamiento se va en subir y volver. — Lanzamiento vertical: la trayectoria se reduce a una línea y el alcance desaparece.

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe

Qué sabes: El punto de caída está por debajo del de lanzamiento, así que el vuelo deja de ser simétrico y la regla de los 45° ya no vale.

Alcance: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Ejemplo resuelto: v = 22 m/s a 35° desde 18 m → 3,6 s en el aire y 65 m de alcance; el ángulo óptimo aquí es 37,2°, no 45°

Abrir este caso: desde un acantilado

Lanzado desde una altura — la simetría se rompe. La altura extra compra tiempo de vuelo extra, así que gana el lanzamiento más plano. El punto de caída está por debajo del de lanzamiento, así que el vuelo deja de ser simétrico y la regla de los 45° ya no vale. — La altura extra compra tiempo de vuelo extra, así que gana el lanzamiento más plano.

Problemas resueltos al detalle

Una pelota lanzada a 20 m/s y 45° desde suelo nivelado 5 pasos
Se lanza una pelota a 20 m/s y 45° sobre un suelo horizontal. Calcule cuánto tiempo permanece en el aire y a qué distancia cae; después, determine cuánto cuesta un error de apunte de 5°, que es la cuestión que decide si vale la pena apuntar a 45°.
1. Descomponga el lanzamiento en dos movimientos independientes. La gravedad solo actúa hacia abajo, por lo que la velocidad horizontal es la misma al caer que al despegar, y 45° es el único ángulo en el que las dos componentes empiezan siendo iguales.
  
  $v_x=v_0\cos\theta=20\cos45^\circ=14.142\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=v_0\sin\theta=14.142\ \mathrm{m/s}$
2. El vuelo termina cuando la altura vuelve a ser cero, algo que solo depende del movimiento vertical. La subida y la bajada duran lo mismo sobre un suelo horizontal, de modo que el vuelo completo dura el doble que el tiempo de subida hasta el punto más alto.
  
  $y(t_f)=0:\quad t_f=\frac{2v_y}{g}=\frac{2(14.142)}{9.81}=2.8832\ \mathrm{s}$
3. La distancia horizontal es una velocidad constante mantenida durante ese tiempo de vuelo. Al sustituir las componentes, todo se reduce al ángulo doble, y dado que sin 2θ no cambia al sustituir θ por 90° − θ, lanzar a 30° o a 60° hace que la pelota caiga a 35,312 m en ambos casos.
  
  $R=v_xt_f=14.142\times2.8832=40.775\ \mathrm{m}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{400}{9.81}$
4. La altura máxima depende únicamente de la componente vertical, frenada por la gravedad hasta detenerse. A 45°, cae a exactamente una cuarta parte del alcance, y esa cuarta parte se mantiene a 45° para cualquier velocidad de lanzamiento.
  
  $y_{\max}=\frac{v_y^{2}}{2g}=\frac{200}{19.62}=10.194\ \mathrm{m}=\frac{R}{4}$
5. Analicemos ahora el error de apunte. sin 2θ es estacionario en 45°, por lo que desviarse 5° es un error de segundo orden y cuesta 62 cm de un total de 40,775 m. El mismo desvío de 5° a 30° es de primer orden y modifica el alcance un 8,5 %, aproximadamente 3 m.
  
  $\frac{R(50^\circ)}{R(45^\circ)}=\sin100^\circ=0.9848\ (-0.62\ \mathrm{m}),\qquad\frac{R(35^\circ)}{R(30^\circ)}=\frac{\sin70^\circ}{\sin60^\circ}=1.085$
Respuesta

La herramienta muestra 2,8832 s de vuelo, un alcance de 40,775 m y una altura máxima de 10,194 m. Esas dos últimas magnitudes guardan una proporción exacta de 4, y mantienen esa proporción a 45° independientemente de la velocidad: una trayectoria a 45° siempre es cuatro veces más ancha que alta, por lo que existe una sola forma y solo cambia el tamaño. El paso 5 es el que conviene recordar: el máximo es plano, motivo por el cual los 45° perduran como regla empírica que nadie comprueba con detenimiento. Sin embargo, esa horizontalidad tiene un doble filo, ya que un pico plano es difícil de localizar: cualquiera que busque el mejor ángulo por ensayo y error obtiene una amplia franja de ángulos que parecen igualmente buenos.

$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g},\qquad \frac{R}{y_{\max}}=4\ \ (\theta=45^\circ)$
Rodar desde una mesa 4 pasos
Una bola rueda y cae desde una mesa de 1,2 m de altura a 3,0 m/s. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo, a qué distancia de la mesa cae y qué velocidad lleva al aterrizar?

Abre este problema en la herramienta
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1. Descompón el movimiento en dos. Salir en horizontal implica θ = 0; por tanto, el movimiento vertical parte del reposo y la totalidad de los 3,0 m/s es horizontal:
  
  $v_x=3{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=0,\qquad h=1{.}2\ \mathrm{m}$
2. La caída vertical parte del reposo a lo largo de 1,2 m, y la velocidad horizontal no interviene en ella:
  
  $0=h-\tfrac12gt_f^{2}\ \Rightarrow\ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(1{.}2)}{9{.}81}}=0{.}49462\ \mathrm{s}$
3. La distancia horizontal es esa velocidad constante mantenida durante todo el tiempo de la caída:
  
  $R=v_x\,t_f=3{.}0\times0{.}49462=1{.}4839\ \mathrm{m}$
4. Al llegar al suelo, la componente horizontal sigue siendo 3,0 m/s y la vertical ha crecido hasta gt. Súmalas como vectores:
  
  $v_{y,f}=-g\,t_f=-4{.}8522\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}8522^{2}}=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{4{.}8522}{3{.}0}=58{.}273^\circ$
Respuesta

0,49462 s, cayendo a 1,4839 m de la mesa a 5,7047 m/s, con 58,273° bajo la horizontal. Lánzala al doble de velocidad y caerá el doble de lejos, exactamente tras los mismos 0,49462 s.

$t_f=0{.}49462\ \mathrm{s},\qquad R=1{.}4839\ \mathrm{m},\qquad v_f=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=58{.}273^\circ$
Desde un acantilado: la velocidad de impacto 5 pasos
Se lanza una piedra a 15 m/s y 40° sobre la horizontal desde lo alto de un acantilado de 25 m. Halla el tiempo de vuelo, a qué distancia de la base cae y su velocidad al llegar al suelo.

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1. Primero, las componentes:
  
  $v_x=15\cos40^\circ=11{.}491\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=15\sin40^\circ=9{.}6418\ \mathrm{m/s}$
2. El vuelo termina cuando la altura sobre el suelo vuelve a ser cero. Se obtiene una ecuación cuadrática en t, y la raíz positiva es la posterior al lanzamiento:
  
  $25+9{.}6418\,t-4{.}905\,t^{2}=0\ \Rightarrow\ t_f=\frac{9{.}6418+\sqrt{9{.}6418^{2}+2(9{.}81)(25)}}{9{.}81}=3{.}4451\ \mathrm{s}$
3. La distancia horizontal es v_x mantenida durante ese tiempo:
  
  $R=v_x\,t_f=(15\cos40^\circ)(3{.}4451)=39{.}587\ \mathrm{m}$
4. Al tocar tierra, la componente horizontal sigue intacta y la vertical es v_y − gt_f. Combínalas:
  
  $v_{y,f}=9{.}6418-9{.}81(3{.}4451)=-24{.}155\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{11{.}491^{2}+24{.}155^{2}}=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{24{.}155}{11{.}491}=64{.}559^\circ$
5. Comprueba la velocidad sin recurrir al tiempo. La conservación de la energía la determina únicamente a partir de la velocidad de lanzamiento y del desnivel:
  
  $v_f=\sqrt{v_0^{2}+2gh}=\sqrt{15^{2}+2(9{.}81)(25)}=26{.}749\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
Respuesta

3,4451 s en el aire, cayendo a 39,587 m de la base a 26,749 m/s, con 64,559° bajo la horizontal. La comprobación del paso 5 no contiene ningún ángulo: desde este acantilado, cualquier lanzamiento a 15 m/s impacta a 26,749 m/s, apunte hacia donde apunte. El ángulo solo decide dónde cae y en qué dirección se mueve.

$t_f=3{.}4451\ \mathrm{s},\qquad R=39{.}587\ \mathrm{m},\qquad v_f=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=64{.}559^\circ$
¿Pasa por encima del muro? 3 pasos
Se patea un balón desde el suelo a 25 m/s y 30° sobre la horizontal hacia un muro de 3,0 m de altura situado a 40 m. ¿Pasa por encima del muro? ¿Sigue subiendo cuando lo alcanza?
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1. El movimiento horizontal nos da el instante en que el balón llega al muro:
  
  $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}=\frac{40}{25\cos30^\circ}=\frac{40}{21{.}651}=1{.}8475\ \mathrm{s}$
2. El movimiento vertical indica su altura en ese instante:
  
  $y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}=12{.}5(1{.}8475)-4{.}905(1{.}8475)^{2}=23{.}094-16{.}742=6{.}352\ \mathrm{m}$
3. Su velocidad vertical revela entonces si va hacia arriba o hacia abajo:
  
  $v_y=v_0\sin\theta-gt=12{.}5-9{.}81(1{.}8475)=-5{.}624\ \mathrm{m/s}$
Respuesta

Sí, por 3,35 m: el balón rebasa el muro a 6,35 m de altura, ya cayendo a 5,62 m/s. La pregunta se refería a un punto concreto de la trayectoria, de modo que el tiempo surgió de la distancia al muro y no del final del vuelo.

$y(40\ \mathrm{m})=6{.}35\ \mathrm{m}>3{.}0\ \mathrm{m},\qquad v_y=-5{.}62\ \mathrm{m/s}$
La velocidad que exige un alcance 3 pasos
Un saltador de longitud despega de la tabla a 20° sobre la horizontal y aterriza a 7,5 m. Suponiendo que el despegue y la caída ocurren a la misma altura y despreciando la resistencia del aire, ¿cuál fue su velocidad de despegue?

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1. En terreno llano, el vuelo dura 2v₀ sin θ/g, y el alcance horizontal es v₀ cos θ multiplicado por esa duración. Juntas dan la fórmula del alcance:
  
  $R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
2. Despeja v₀:
  
  $v_0=\sqrt{\frac{Rg}{\sin2\theta}}=\sqrt{\frac{7{.}5\times9{.}81}{\sin40^\circ}}=\sqrt{114{.}46}=10{.}699\ \mathrm{m/s}$
3. Comprueba el resultado sustituyendo de nuevo la velocidad:
  
  $R=\frac{10{.}699^{2}\sin40^\circ}{9{.}81}=7{.}50\ \mathrm{m}\ \checkmark$
Respuesta

10,699 m/s. Con esa misma velocidad a 45° llegaría a 11,668 m. Aun así, los saltadores baten en torno a los 20°, porque cuanto más empinado es el despegue, mayor parte de la velocidad de carrera se pierde en la batida.

$v_0=10{.}699\ \mathrm{m/s};\qquad R(45^\circ)=\frac{v_0^{2}}{g}=11{.}668\ \mathrm{m}$
Dos ángulos que caen en el mismo punto 3 pasos
Una pelota sale desde terreno llano a 25 m/s y debe caer a 50 m. ¿Con qué ángulo debe lanzarse?

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1. Introduce los valores en la fórmula del alcance y despeja sin 2θ:
  
  $\sin2\theta=\frac{Rg}{v_0^{2}}=\frac{50\times9{.}81}{25^{2}}=0{.}7848$
2. Entre 0° y 180° existen dos ángulos con ese mismo seno; por tanto, entre 0° y 90° hay dos ángulos de lanzamiento posibles, y suman 90°:
  
  $2\theta=51{.}702^\circ,\ \ 128{.}298^\circ\ \Rightarrow\ \theta=25{.}851^\circ,\ \ 64{.}149^\circ$
3. Ambos aterrizan a 50 m, pero no al mismo tiempo: únicamente la componente vertical fija la duración del vuelo:
  
  $t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g}:\qquad\frac{2(25)\sin25{.}851^\circ}{9{.}81}=2{.}2224\ \mathrm{s},\qquad\frac{2(25)\sin64{.}149^\circ}{9{.}81}=4{.}5868\ \mathrm{s}$
Respuesta

25,851° o 64,149°. El tiro raso llega a los 2,2224 s; el alto tarda 4,5868 s y asciende 25,799 m por el camino, frente a los 6,0565 m del primero. Pulsa 30° y luego 60° para ver esta misma pareja a 20 m/s.

$\theta=25{.}851^\circ\ \ (t_f=2{.}2224\ \mathrm{s},\ y_{\max}=6{.}0565\ \mathrm{m}),\qquad \theta=64{.}149^\circ\ \ (t_f=4{.}5868\ \mathrm{s},\ y_{\max}=25{.}799\ \mathrm{m})$
El ángulo que llega más lejos desde 18 m de altura 7 pasos
El panel resuelve el lanzamiento que le des: 35° desde 18 m de altura llegan a 64,764 m. No te dirá si 35° merecía la pena. Encuentra el ángulo que llega más lejos desde este acantilado, y pregunta después cuánto vale realmente la respuesta.

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1. Separa el lanzamiento en dos. Todo lo que sigue es una velocidad horizontal constante y una caída libre vertical que empieza 18 m por encima del suelo de llegada.
  
  $v_x=v_0\cos\theta=22\cos35^\circ=18.021\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad v_y=v_0\sin\theta=22\sin35^\circ=12.619\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
2. El vuelo termina cuando la altura vuelve a cero, lo que es una ecuación de segundo grado en t. Toma la raíz positiva; la otra sería el instante en que el proyectil habría salido del suelo si hubiera partido de allí abajo.
  
  $h+v_yt-\tfrac12gt^{2}=0\ \Longrightarrow\ t_f=\frac{v_y+\sqrt{v_y^{2}+2gh}}{g}=\frac{12.619+\sqrt{159.24+353.16}}{9.81}=3.5938\ \mathrm{s}$
3. El alcance es la velocidad horizontal por todo el vuelo, porque en horizontal no actúa nada. Tres de los cuatro números obtenidos hasta aquí están en el panel de arriba.
  
  $R=v_xt_f=18.021\times3.5938=64.764\ \mathrm{m}$
4. El punto más alto es donde se agota la velocidad vertical, y el acantilado se limita a elevarlo todo: 18 m de ventaja más exactamente la subida que habría logrado un lanzamiento a ras de suelo.
  
  $y_{\max}=h+\frac{v_y^{2}}{2g}=18+\frac{159.24}{19.62}=26.116\ \mathrm{m}$
5. Ahora la pregunta que el panel no responde. Escribe el alcance como función solo del ángulo, con v₀ y h fijos. El tiempo de vuelo también depende de θ, y por eso esta no es la fórmula cómoda del nivel del mar.
  
  $R(\theta)=\frac{v_0\cos\theta}{g}\left(v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^{2}\sin^{2}\theta+2gh}\right)$
6. Deriva e iguala a cero. Todo se reduce a una única condición sobre sen θ, y el acantilado entra solo a través del grupo adimensional 2gh/v₀². Con h = 0 devuelve sen θ = 1/√2, los 45° de siempre. Aquí devuelve 37,248°.
  
  $\frac{dR}{d\theta}=0\ \Longrightarrow\ \sin\theta^{*}=\frac{1}{\sqrt{2+2gh/v_0^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2.72967}}=0.60526\ \Longrightarrow\ \theta^{*}=37.248^\circ$
7. Pon ahora los tres ángulos uno al lado del otro y lee los tamaños, no solo el orden.
  
  $R(37.248^\circ)=64.887,\qquad R(35^\circ)=64.764,\qquad R(45^\circ)=63.355\ \ \mathrm{(m)}$
Respuesta

El mejor ángulo desde este acantilado es 37,248°, y volver a apuntar vale 12 cm en un lanzamiento de 65 m. Esa es la lección de verdad, y no está en el óptimo: un máximo es plano, así que fallarlo por 2,2° no cuesta casi nada. Lo caro es traer el modelo equivocado: 45° solo es óptimo desde el suelo, y usarlo aquí tira 1,532 m, doce veces el coste del error de puntería. Sube el acantilado y θ* sigue bajando; en el límite de uno muy alto, el lanzamiento más largo es casi horizontal.

$\sin\theta^{*}=\left(2+\frac{2gh}{v_0^{2}}\right)^{-1/2}\Longrightarrow\theta^{*}=37.248^\circ;\qquad R^{*}-R(35^\circ)=0.123\ \mathrm{m},\qquad R^{*}-R(45^\circ)=1.532\ \mathrm{m}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Se lanza una piedra en horizontal a 12 m/s desde lo alto de un acantilado de 30 m. ¿Cuánto tarda en caer y a qué distancia de la base lo hace?

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2,473 s y 29,68 m.

$t_f=\sqrt{\frac{2(30)}{9{.}81}}=2{.}473\ \mathrm{s},\qquad R=12\times2{.}473=29{.}68\ \mathrm{m}$
Se lanza un balón desde terreno llano a 18 m/s y 60° sobre la horizontal. Halla su altura máxima y su alcance.

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12,39 m y 28,60 m.

$y_{\max}=\frac{(18\sin60^\circ)^{2}}{2(9{.}81)}=12{.}39\ \mathrm{m},\qquad R=\frac{18^{2}\sin120^\circ}{9{.}81}=28{.}60\ \mathrm{m}$
Se lanza una pelota a 20 m/s y 30° sobre la horizontal. Halla su velocidad y su dirección 1,0 s después.

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17,32 m/s, 0,63° sobre la horizontal: se encuentra a punto de coronar la cima.

$v_x=17{.}32,\quad v_y=10-9{.}81=0{.}19\ \ (\mathrm{m/s})\ \Rightarrow\ v=17{.}32\ \mathrm{m/s},\ \ 0{.}63^\circ$
¿Cuál es el alcance máximo en terreno llano de un proyectil lanzado a 50 m/s y cuánto tiempo permanece en el aire?

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254,8 m a 45°, tras 7,208 s.

$R_{\max}=\frac{v_0^{2}}{g}=\frac{50^{2}}{9{.}81}=254{.}8\ \mathrm{m},\qquad t_f=\frac{2(50)\sin45^\circ}{9{.}81}=7{.}208\ \mathrm{s}$
Un dardo lanzado en horizontal hacia una diana situada a 2,5 m impacta 0,20 m por debajo del punto al que se apuntó. ¿A qué velocidad se lanzó?

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12,38 m/s: la caída de 0,20 m requiere 0,2019 s.

$t=\sqrt{\frac{2(0{.}20)}{9{.}81}}=0{.}2019\ \mathrm{s},\qquad v_0=\frac{2{.}5}{0{.}2019}=12{.}38\ \mathrm{m/s}$

Ruta de aprendizaje

Lanzar objetos

Referencias (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.