← Matemaatika

Kuldlõige ja Fibonacci spiraal

Ehita Fibonacci ruute, võrdle järjestikuseid suhteid ja vaata, kuidas rekursioon läheneb kuldlõikele.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks phi on fikseeritud punkt

Fibonacci rekurrentne seos asendab suhte pidevalt 1 ja selle pöördarvu summaga: F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Kui see suhe stabiliseerub väärtusel x, peab kehtima võrdus x = 1 + 1/x. Seega x² = x + 1 ja selle positiivne lahend on fii. Spiraal on sellesama enesesarnasuse geomeetriline kujutis: iga suurem ristkülik sisaldab eelmist ristkülikut ja ühte uut ruutu.

Suhe siksakib phi poole

Vaata tulpdiagrammi: järjestikused Fibonacci suhted jäävad vaheldumisi veidi üle ja veidi alla φ ning vahe kahaneb igal sammul. Suhtel 21/13 = 1.615 oled juba vähem kui 0.003 kaugusel φ-st ja mõne liikme pärast langeb suhe φ-ga kokku nii mitmel kümnendkohal, kui ekraan näidata suudab. Koondumine on kiire ja ükski üksik kõrvalekalle ei püsi kaua kaugel.

Kõige irratsionaalsem arv

Ahelmurruna kirjutatuna on φ = [1; 1, 1, 1, …] — ainult ühed, väikseimad võimalikud kordajad. See teeb φ-st arvu, mida on murdudega kõige raskem hästi lähendada, ja tema parimad lähendid on just need Fibonacci suhted, mida see tööriist joonistab. Loodus kasutab seda ära: seemned, mis paiknevad 360°/φ² ≈ 137.5° kaugusel, ei rivistu kunagi tühikuteks, andes päevalilledele ja käbidele tiheda ning ühtlase pakkimise.

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. Viga mõõtes 144/89 = 1,617978 võrreldes φ = 1,618034 6 sammu

    144/89 = 1,617978 võrrelduna arvuga φ = 1,618034. Ennusta see viga enne selle mõõtmist ning selgita seejärel, miks φ on matemaatikas kõige halvemini lähendatav arv.

    1. Määratlevat võrrandit ei eeldata, vaid see tuleneb paratamatult: kui järjestikuste liikmete suhe kuskil koondub, siis ütleb rekurentsiseos, et piirväärtus rahuldab seda.

      Fn+1Fn→φ ⟹ φ=1+1φ ⟹ φ2−φ−1=0\frac{F_{n+1}}{F_n}\to\varphi\ \Longrightarrow\ \varphi=1+\frac{1}{\varphi}\ \Longrightarrow\ \varphi^{2}-\varphi-1=0

    2. Lahenda ruutvõrrand ja võta positiivne juur.

      φ=1+52=1.618034\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.618034

    3. Üheteistkümnes lähismurd ja viga, mida teil palutakse ennustada. See on negatiivne ja eelmine oli positiivne – lähismurrud paiknevad vaheldumisi kahel pool φ-d.

      F12F11=14489=1.617978,error=−5.65×10−5\frac{F_{12}}{F_{11}}=\frac{144}{89}=1.617978,\qquad \text{error}=-5.65\times10^{-5}

    4. Binet' valem annab vea kinnisel kujul. Kaasjuur ψ on see, mille Fibonacci arvud kõrvale heidavad, ja see on täpselt see, mis lähendusest puudub.

      ψ=1−52=−0.618034,Fn+1Fn−φ=ψnFn=−0.00502589=−5.65×10−5\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}=-0.618034,\qquad \frac{F_{n+1}}{F_n}-\varphi=\frac{\psi^{n}}{F_n}=\frac{-0.005025}{89}=-5.65\times10^{-5}

    5. Võrdle Hurwitzi teoreemiga, mis on tugevaim võimalik väide suvalise irratsionaalarvu ratsionaalarvudega lähendamise kohta. Viga ei asu pelgalt allpool piiri, vaid on otse sellel.

      Hurwitz: ∣pq−α∣<15 q2 infinitely often;15⋅892=5.6459×10−5\text{Hurwitz}:\ \left|\frac{p}{q}-\alpha\right|<\frac{1}{\sqrt5\,q^{2}}\ \text{infinitely often};\quad \frac{1}{\sqrt5\cdot89^{2}}=5.6459\times10^{-5}

    6. Ahelmurd näitab miks. Kõik ühed tähendavad kõige aeglasemat võimalikku koonduvust ning kuldnurk on see fakt kasvueeskirjaks teisendatuna.

      φ=[1;1,1,1,… ] ⟹ golden angle=360∘φ2=137.508∘\varphi=[1;1,1,1,\dots]\ \Longrightarrow\ \text{golden angle}=\frac{360^{\circ}}{\varphi^{2}}=137.508^{\circ}

    Vastus

    Viga on ψ¹¹/F₁₁ = −5,6461 × 10⁻⁵ ning see asub täpselt alampiiril, millest allapoole ükski irratsionaalarv ei saa minna. Hurwitz tõestas, et iga irratsionaalarvu α jaoks leidub lõpmata palju ratsionaalarve, mille korral |p/q − α| < 1/(√5 q²), ning et arvu √5 ei saa parandada. Siin on 1/(√5 × 89²) = 5,6459 × 10⁻⁵ — tegelik viga ja teoreetiline alampiir ühtivad täpsusega üks osa neljakümnest tuhandest. Seda tähendabki "kõige irratsionaalsem arv": mitte seda, et φ on saladuslik, vaid et selle ahelmurd [1;1,1,1,…] ei pakku kunagi suurt numbrit, mistõttu ükski lähismurd ei saa kunagi soodsat lähendust ja igaüks neist langeb otse piirile. Taimed kasutavad seda ära. Seemned, mille vahekaugus on 360°/φ² = 137,508°, ei reastu kunagi ridadesse, sest ridadesse reastumine tähendab, et nurk on pöörde lihtsa murdosa lähedal — ja φ on tõestatavalt arv, mis asub kõigist lihtsatest murdudest kõige kaugemal.

    ψ11F11=−5.6461×10−5 against the Hurwitz floor 15 F112=5.6459×10−5\frac{\psi^{11}}{F_{11}}=-5.6461\times10^{-5}\ \text{against the Hurwitz floor}\ \frac{1}{\sqrt5\,F_{11}^{2}}=5.6459\times10^{-5}
Allikad (1)

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.