Arvud ja algebra
L1: alused
MATHKolm tööriista, mis moodustavad ühe õppetunni: kokkuvõttev arv on kadudega pakkimine ning pakkimisviis määrab, mille osas kokkuvõte ausaks jääb. Iga samm annab järgmisele edasi kindla piirangu, mis kaasneb andmete kokkuvõtmisega ühte arvu.
L1: alused
MATHKolm tööriista ja üks mõttekäik: mõnda arvu ei saagi lõpuni kirja panna. Parima lühikese kuju saab üles otsida, mitte ära arvata, ja arvu kärpimisel on hind, mida saab mõõta.
L1: alused
MATHKuus tööriista ehitavad võrrandite lahendamise üles ideede tegeliku sõltuvuse järjekorras, alates sellest, mida teeb miinusmärk, ja lõpetades masinmeetodiga kolmele tundmatule korraga. Iga samm annab järgmisele edasi midagi kindlat: uue teisenduse, piirangu sellele teisendusele või viisi kontrollida, kas see teisendus oli üldse lubatud.
L2: kool
MATHKolm tööriista, üks harjumus: kui suurused erinevad kordades, mitte kogustes, lõpeta loendamine ja hakka loendama astendajaid. Esimene ehitab mõõdupuu. Teine sammub sellel. Kolmas määrab arvu täiesti ilma andmeteta.
L2: kool
MATHNeli tööriista ja igaüks neist on olemas, sest eelmise võimalused saavad otsa. Tegurdamine toimib, kui nullkohad on ilusad. Valem aitab siis, kui nad seda ei ole. Jagamine töötab teisest astmest edasi ja ratsionaalfunktsioon on see, mida teevad kaks polünoomi, kui üks asub teise peal.
L2: kool
MATHKolm lehekülge funktsioonide järjestikusest rakendamisest. Graafiku nihutamisel ja venitamisel kehtib seesama: järjekorra määravad sulud. Funktsioonide kompositsioon näitab üldiselt, et järjekorrast sõltub tulemus. Pöördfunktsioon on funktsioon, mis f-iga liitfunktsiooni moodustades annab tagasi x-i, ja selle graafik on f-i graafiku peegeldus sirge y = x suhtes.
Geomeetria ja trigonomeetria
L1: alused
MATHKuus tööriista, mis loovad kolmnurga ja ringjoone põhiseosed järjestuses, milles need tegelikult üksteisele toetuvad. Siin ei postuleerita midagi: iga reegel järeldub otseselt eelmisest. Teekond lõppeb esimese seose paigutamisega tagasi koordinaattasandile, kus sellest saab kahe punkti vahelise kauguse valem.
L2: kool
MATHSamasus kehtib iga nurga korral, kus avaldise mõlemad pooled on määratud. Nii saab ülesandes ette antud funktsiooni vahetada otsitava vastu. Peatükk algab pöördväärtusfunktsioonide ja kolme Pythagorase samasusega, kulgeb üle kalkulaatori pakutavate arkusfunktsioonide, neist võrsuvate võrrandite, liit- ja kahekordse nurga valemite ning harmoonilise kuju ja jõuab välja samasuste tõestamiseni, rida rea järel.
L2: kool
MATHKolm tööriista, ja selle jada tuum on arusaam, et tegemist pole kolme eraldi teemaga. Siinuslaine on ühtlane ringliikumine küljelt vaadatuna, ning võnkuv pendel on seesama pilt olukorras, kus pöörlemise tagab raskusjõud.
Matemaatiline analüüs
L2: kool
MATHViis tööriista, üks idee: sile kõver on piisavalt suurendades sirgjoonest eristamatu. Just seda ainsat tõsiasja tuletis mõõdabki. Taylori rida viib selle kaugemale ja gradient teeb sedasama enam kui ühes suunas. Teekond algab nurgamõõdust, mis hoiab arvutused puhtana, ning lõpeb mäenõlval, kus kõige järsem kalle ületab iga suunda, mida sa tegelikult mõõtsid.
L2: kool
MATHTuletis on muutumiskiirus. Diferentseerimisreeglid kirjeldavad, kuidas need kiirused omavahel seostuvad: korrutises, teise funktsiooni sisse seatud funktsioonis või võrrandis, millest keegi pole y-it avaldanud. Kahel viimasel lehel paneme reeglid tööle küsimuste kallal, mida kursusel tegelikult esitatakse — kui kiiresti miski ühelainsal hetkel muutub ja milline valik on parim.
L3: ülikool
MATHf′ märk näitab, kus graafik tõuseb ja langeb, ning f″ märk seda, kummale poole see kumerdub. Neile tähelepanekutele annab kindla matemaatilise aluse keskväärtusteoreem. Siit liigume edasi esimese ja teise tuletise tunnuste juurde ning õpime f′ graafikult välja lugema funktsiooni f ennast.
L3: ülikool
MATHLõpmatu summa on lõplike summade piirväärtus ning see piirväärtus sõltub asjadest, mida ükski lõplik summa ei arvesta: liikmete järjekorrast ning lähima iseärasuse asukohast, isegi siis, kui see ei paikne reaalteljel.
L3: ülikool
MATHNewtoni meetod, Simpsoni valem ja Euleri meetod töötavad samal põhimõttel. Piisavalt väikeses vahemikus loeme kõvera sirgeks. Igaühega neist kaasneb seetõttu tõrge, mis pole programmiviga, ning kasulik on teada, milline tõrge millisele meetodile kuulub. Iga samm annab siin järgmisele edasi kindla nimega vea ja selle kahanemiskiiruse.
L3: ülikool
MATHDiferentseerimine on kindel protseduur ja integreerimine on otsing. Seetõttu hindavad selle peatüki harjutused lahendusi vaid ühel viisil: diferentseeri tulemust ja võrdle seda integreeritavaga. Asendusvõte ja ositi integreerimine on ahela- ja korrutisereegli tagurpidi lugemine, osamurdudeks lahutamine katab ainsa suure funktsioonide pere, millel on alati elementaarne vastus olemas, ning viimane leht tõestab, et funktsiooni e⁻ˣ² korral see puudub.
L3: ülikool
MATHIntegraal on kokku kogunenud suurus: pindala, läbitud tee, ruumala. See peatükk seob kogunemise esmalt muutumise kiirusega ning jõuab sealt kõveratevaheliste pindade, liikumise ja ristlõigetest leitud ruumaladeni.
L3: ülikool
MATHDiferentsiaalvõrrand ütleb, kui kiiresti miski muutub, mitte kunagi seda, mis see on. Tõusuväli joonistab selle seose lahti ja toob nähtavale terve lahendite pere, kus igat alguspunkti läbib oma lahend. Eksponentfunktsioonide pere saab lahendada üheainsa reaga. Laplace'i teisendus viib selle kiiruse punktiks s-tasandil, kus lõpplahenduse saab välja lugeda ilma midagi lahendamata.
Lineaaralgebra ja andmed
L3: ülikool
MATHSeitse tööriista, mis muudavad hajusate punktide pildi arvuks, mida suudad kaitsta. Seejärel uurime, kuidas see arv leiti ja kui palju sellest tasub uskuda. Mis saab siis, kui keegi vastust ette ei ütle? Lõpetuseks vaatame, kuidas hinnata ennustust, mis oligi puhtalt tõenäosuslik. See teekond kulgeb pigem läbi geomeetria kui statistika, sest just geomeetria muudabki statistika ausaks.
L3: ülikool
MATHÜks küsimus, esitatud neli korda üha napimate tugipunktidega: mida see maatriks ruumiga õigupoolest teeb? Veerud vastavad sellele otsesõnu. Omavektorid annavad vastuse säilivate suundade kohta. SVD aitab siis, kui neid ei leidu, ning PCA suunab sellesama aparaadi mõõtmiste pilvele.
Tõestamine, loendamine ja mängud
L2: kool
MATHSünnipäevaprobleem näib seltskonnatrikina, kuid on tegelikult standardne vahend kollisioonide analüüsimiseks. Teises sammus kohtavad arvutiteadlased seda uuesti, teise nime all.
L2: kool
MATHTõestus on põhjendus, mis katab iga juhu, ka need, mida keegi kunagi läbi ei proovi. Need leheküljed loovad selle põhjenduse neljal viisil: induktsiooniga, esemete lahtritesse jaotamisega, suurusega, mida ükski käik ei muuda, ja asjade paaridesse seadmisega. Esimene neist algab valemiga, mis annab nelikümmend korda järjest algarvu ning seejärel tulemuseks 41 × 41.
L3: ülikool
MATHNeli mängu ja üks tehe: leida käik, mis vastab teise mängija igale võimalikule sammule. Esimese mängu lahendab see täiesti üksi. Teises kulub selle leidmiseks terve ruut ja kolmandas kaasneb sellega hinnasilt. Neljandas ei arvuta seda üldse keegi, kuid populatsioon jõuab lahenduseni sellegipoolest.
Raha ja investeerimine
L2: kool
MATHNeli tööriista ühe idee ülesehitamiseks: rahal on erinevatel ajahetkedel erinev väärtus ning korduva makse saab koondada ühte valemisse. Iga siinne samm annab järgmisele edasi midagi kindlat.
Bio, geo ja keemia
L2: kool
GEOKõverpinnal lakkavad paberil tõestatud reeglid kehtimast ja iga kõrvalekalde suurus mõõdab pinna sisemist kõverust. Otsemarsruut muudab oma kompassikurssi, ilma pööramata edasi kantud nool naaseb pööratuna ja ringjoone pikkus osutub valeks. Hüperboolsel tasandil ei mahuta aga ükski kolmnurk rohkem kui π.
Lained, valgus ja kvandid
L3: ülikool
PHYKolm võrrandit toetuvad ühele operaatorile, Laplace'i operaatorile. Neid eristab vaid see, mida teeb aeg. Soojus unustab. Kõigepealt kaovad teravaimad detailid. Laine kannab häirituse eemale ning tasapinnal ei jõua see kunagi päris lõplikult kohale. Laplace'i võrrandis puudub aeg sootuks. See on olek, kuhu soojus ununedes jõuab: iga punkt on oma naabrite keskmine.
An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
