Võrratused

Puuduta liiget, et see mõlemalt poolelt eemaldada, ja jälgi arvtelge. Vastuseks on punkti asemel piirkond ning üks käikudest pöörab võrratuse märgi ümber.

Liitmine või lahutamine: märk jääb samaks	$a<b\iff a+c<b+c$
Positiivse arvuga korrutamine: märk jääb samaks	$k>0:\quad a<b\iff ka<kb$
Negatiivse arvuga korrutamine: märk pöördub	$k<0:\quad a<b\iff ka>kb$

Näidisarvutus — Võrratused

Piir	4 (välja arvatud)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Võrratused222 sõna

Võrratuse lahendamine tähendab seda rahuldavate väärtuste hulga määramist. Selle hulga üle otsustavad kaks eraldi tegurit: kus asub piir ja kas rajapunkt kuulub hulka.

Mida iga sümbol tähendab

<: range seos. Rajapunkt on välja arvatud ning lahendihulk on sellest otsast lahtine.
≤: mitterange seos. Rajapunkt kuulub hulka ning lahendihulk on sellest otsast kinnine.
sup: supreemum: vähim väärtus, millest ükski hulga element ei ole suurem. Ülalt tõkestatud hulgal on see alati olemas. Pole tähtis, kas hulk ise seda sisaldab.

Eeldab: See eeldab, et piir jookseb seal, kus kaks poolt on täpselt võrdsed. Just seepärast toetub võrratuse lahendamine võrrandi lahendamise aritmeetikale. Seos ise arvutamisega ei tegele. Tema valib poole ja määrab kuuluvuse.
Ei kehti, kui: Valik range ja mitterange vahel otsustab midagi kuuluvusest märksa tähtsamat: kas suurim väärtus üldse eksisteerib. Juhu x ≤ 5 korral on suurim lahend 5 ning sa võid selle kellelegi reaalselt kätte anda. Kui aga x < 5, siis suurimat lahendit pole. Nimeta mis tahes kandidaat alla 5 ning selle ja 5 vaheline keskpunkt on temast suurem, ent kuulub endiselt hulka. Ja nii lõputult. Hulga vähim ülemine tõke on jätkuvalt 5, kuid hulk lihtsalt ei sisalda seda. Just seetõttu võib range kitsendusega optimeerimisel lahend puududa, samas kui samal ülesandel tähisega ≤ on vastus olemas. See on ka põhjus, miks kooliülesandes pelga kirjavahemärgina tunduv eristus kannab pearaskust niipea, kui midagi maksimeeritakse.

Ülesanded täielikult lahendatud

5 pluss 2 kilomeetri kohta maksev tarne alla 20 eelarvega 7 sammu
Tarne maksab 5 pluss 2 iga kilomeetri eest. Sinu eelarve on alla 20. Kui kaugele saad minna ning mis juhtub algebraga, kui tasu esitatakse hoopis soodustusena?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Pane see kirja võrratusena, mitte võrrandina. Ülesanne ei küsi, millise vahemaa maksumus on täpselt 20.
  
  $5 + 2x < 20$
2. Lahuta mõlemast poolest 5. Liitmine ja lahutamine ei muuda kunagi võrratuse märki, sõltumata liidetava märgist.
  
  $2x < 15$
3. Jaga arvuga 2. See on positiivne arv, nii et võrratuse märk jääb samaks ja vastuseks on ülalt lahtine piirkond.
  
  $x < 7.5$
4. Alla 7,5 kilomeetri. Piirväärtus jääb välja, kuna eelarve pidi olema rangelt alla 20, aga täpselt 7,5 korral on tasu samuti täpselt 20. Sõnastuse põhjal tähendab see eelarve ületamist, olgugi et napilt.
  
  $5 + 2(7.5) = 20 \;\not<\; 20$
5. Nüüd aga soodustusega variant. Oletame, et iga kilomeeter vähendab 20 suurust ettemaksu 2 võrra ning sinu eesmärk on hoida jääk üle 5.
  
  $20 - 2x > 5$
6. Arvuga −2 jagamine pöörab võrratuse märgi ümber ning vastuseks on sama piirkond mis enne. Nii peabki olema, sest see on täpselt sama teekond teisest otsast kirjeldatuna. Märgi pööramata jätmine andnuks tulemuseks x > 7,5, mis tähistab taskukohase piirkonna asemel hoopis kättesaamatut poolt.
  
  $-2x > -15 \;\Rightarrow\; x < 7.5$
7. Siinkohal enam aritmeetikast abi ei ole. Mõlemad kujud annavad lahendiks x < 7,5 ja kumbki neist ei vasta küsimusele, kas 7,5 ise on taskukohane. See, kas „alla 20“ tähendab 19,99 või 20, on juba lepingu, mitte võrratuse küsimus. Range võrratuse sümbol teeb siin tööd, mida algebra abil pole võimalik kontrollida.
  
  $x < 7.5 \quad\text{vs}\quad x \leq 7.5$
Vastus

Alla 7,5 kilomeetri, kusjuures 7,5 ise jääb välja. Kui panna see kirja soodustusena, nõuab sama teekond jagamist arvuga −2 ja seega ka märgi pööramist. Selle unustamine annab sulle tulemuseks hoopis kättesaamatu poole.
Võrratus, milles pole enam x-i 6 sammu
See eelseadistus on 2x + 5 ≥ 2x + 5. Lahenda see ja otsusta seejärel, kas võrratus, mis kaotab oma x-i, on jäänud vastuseta või andnud väga suure vastuse.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lahuta mõlemast poolest 2x. Sama suuruse liitmine mõlemale poolele säilitab seose, olgu see suurus milline tahes, seega on käik ohutu ka siis, kui ta puudutab x-i — mida x-iga korrutamine just ei ole.
  
  $2x + 5 \;\ge\; 2x + 5 \qquad \Big|\ -\,2x$
2. Alles jääb 5 ≥ 5. Mõlemal poolel on nüüd x-i kordaja null, seega ei ole midagi eraldada ega millegagi jagada.
  
  $0\cdot x + 5 \;\ge\; 5$
3. Rajavalem näitab sama takistust aritmeetiliselt. Võrratuse ax + b ≥ cx + d lahendamine annab x = (d − b)/(a − c), mis on siin 0 ÷ 0. Paneel trükib raja reale kriipsu, sest trükkida ei ole ühtki raja.
  
  $x = \frac{d-b}{a-c} = \frac{5-5}{2-2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 on tõene, ja ta on tõene x-i mainimata. Seega rahuldab algset võrratust iga reaalarv, ja vastuse rida ütlebki seda.
  
  $5 \ge 5 \ \text{is true and holds no } x \;\Longrightarrow\; \text{every } x \ \text{is a solution}$
5. Tee seos rangeks ja 5 > 5 on väär: miski ei sobi. Nihuta selle asemel parempoolne vabaliige 5,001 peale ja väide on 0 ≥ 0,001, jälle väär. Peaaegu samad neli arvu, ja lahendihulk läheb tervelt arvteljelt mitte millekski.
  
  $2x+5 > 2x+5 \Rightarrow 5 > 5 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing; \qquad 2x+5 \ge 2x+5.001 \Rightarrow 0 \ge 0.001 \ \text{false} \Rightarrow \varnothing$
6. See hüpe näeb välja nagu katkevus ja ei ole seda. Hoia parem pool 5,001 juures ja lase kahel x-kordajal võrdumise asemel erineda ε võrra. Raja asub kohal 0,001/ε: ε = 0,1 juures on vastus x ≥ 0,01, ε = 0,001 juures x ≥ 1, ε = 0,0001 juures x ≥ 10. Poolsirge taganeb lõpmatuse poole, kui ε sulgub, ja see ongi tühja hulga saabumine aegluubis.
  
  $a-c = \varepsilon,\ d-b = 0.001: \quad x \ge \frac{0.001}{\varepsilon}: \quad \varepsilon = 0.1 \Rightarrow x \ge 0.01, \quad 0.001 \Rightarrow x \ge 1, \quad 0.0001 \Rightarrow x \ge 10$
Vastus

Iga x. Tühi vastus on selle kaksik, mitte vastand: kui kaks x-kordajat langevad kokku, taandub x-liige ja kaks vabaliiget otsustavad üksi, seega on väide kas tõene ja teda rahuldab iga arv, või väär ja teda ei rahulda ükski. Kummalgi juhul raja puudub, ja just seepärast jääb raja rida mõlemal juhul tühjaks ning vastuse rida on ainus, mida tasub lugeda. Range või mitterange valik, mis igal teisel eelseadistusel nihutab üht ainsat punkti, nihutab siin kogu arvtelge.

$a \neq c: \ x \gtrless \frac{d-b}{a-c}; \qquad a = c: \ \text{the constants alone decide, and the answer is } \mathbb{R} \ \text{or} \ \varnothing$
x mõlemal pool ja märk pöördub 4 sammu
Lahenda 3 − 2x ≥ 7 + 2x.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lahuta mõlemalt poolt 2x, et x jääks vaid ühele poole.
  
  $3-2x\ge7+2x\ \Rightarrow\ 3-4x\ge7$
2. Lahuta mõlemalt poolt 3.
  
  $-4x\ge4$
3. Jaga arvuga −4. Negatiivse arvuga jagamisel pöördub märk ≥ märgiks ≤.
  
  $x\le-1$
4. Kontrolli tulemust mõne leitud piirkonda jääva arvuga: kui x = −2, on vasak pool 7 ja parem pool 3 ning 7 ≥ 3 kehtib.
  
  $x=-2:\quad7\ge3\ \checkmark$
Vastus

x ≤ −1 ning ka −1 ise kuulub lahendite hulka, sest märgiks oli ≥.

$x\le-1$
Kaks võrratust korraga 4 sammu
Lahenda −3 < 2x + 1 ≤ 7. Millised täisarvud seda rahuldavad?
Näita lahendust
1. Tee sama kõigi kolme osaga: lahuta igaühest 1.
  
  $-3<2x+1\le7\;\Big|\;-1$
2. Jaga kõik kolm osa arvuga 2. Arv on positiivne, seega kumbki märk ei pöördu.
  
  $-4<2x\le6\;\Big|\;\div2$
3. Loeme tulemust kahe tingimusena korraga: x on suurem kui −2 ja ülimalt 3.
  
  $-2<x\le3$
4. Arv −2 jääb välja ja 3 sisse, seega sobivad täisarvud −1, 0, 1, 2 ja 3.
  
  $x\in\{-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\}$
Vastus

−2 < x ≤ 3. Arvsirgel: tühi punkt kohal −2, värvitud punkt kohal 3 ning nendevaheline lõik viirutatud.

$-2<x\le3$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Lahenda 4x − 5 > 11.

Näita vastust

x > 4.

$4x>16\ \Rightarrow\ x>4$
Lahenda 2 − 3x ≤ 8.

Näita vastust

x ≥ −2. Arvuga −3 jagades pöördub ≤ ümber.

$-3x\le6\ \Rightarrow\ x\ge-2$
Lahenda 5(x − 1) < 2x + 4.

Näita vastust

x < 3.

$5x-5<2x+4\ \Rightarrow\ x<3$
Lahenda −1 ≤ (x − 3)/2 < 2.

Näita vastust

1 ≤ x < 7. Korruta kõiki kolme osa arvuga 2 ja liida seejärel 3.

$-2\le x-3<4\ \Rightarrow\ 1\le x<7$
Milline on suurim täisarv n, mille korral 3n + 4 < 25?

Näita vastust

6. Võrratusest saame n < 7 ning 7 ise lahendiks ei sobi.

$3n<21\ \Rightarrow\ n<7,\quad n=6$

Üks tehe pöörab seose ümber ja sa juba tead, miks

Kõik võrrandite puhul lubatud teisendused kehtivad ka siin. Liida mõlemale poole, lahuta, korruta või jaga. Kõik need sobivad. Kõik on pööratavad. Ükski neist ei muuda seda, millised arvud tingimust rahuldavad. Ainus erand on negatiivse arvuga korrutamine. See pöörab võrratuse märgi vastupidiseks. Põhjus on arvteljel selgelt näha: −5 on väiksem kui −3, aga 5 on suurem kui 3. Märgi muutmine peegeldab telge nullpunkti suhtes ja peegeldus vahetab vasaku ning parema poole. Vajuta Võrratuse märk pöördub ja säästa end selle peast tegemisest. Saad kohe x < −4 varasema x > −4 asemel. See ongi arvtelje teine pool.

Vastus on piirkond ja otspunkt nõuab otsustamist

Võrrandil on üks lahend. Võrratusel on lahendite hulk. Selle lahendamine tähendab seega kahe asja leidmist: piiri ja poole. Piir asub täpselt seal, kus kaks avaldist on võrdsed, mistõttu töötab ka sama aritmeetika. Sealt edasi otsustab seos selle üle, kas see ainus punkt kuulub hulka või mitte. Vajuta Otspunkt läheb arvesse. Võrratusest −4x ≥ 12 saame x ≤ −3 ning kohal x = −3 on mõlema poole väärtus 12. Kuna 12 ≥ 12 on tõene, kuulub −3 lahendihulka. Muuda ≥ märgiks > ja punkt muutub tühjaks, samas kui miski muu paigast ei nihku. Vaid üks punkt ongi see ainus asi, mis neid kahte sümbolit eristab.

Tehe, mida ei saa kasutada

Vajuta Korruta x-iga. Programm ei tee seda. Negatiivse arvuga korrutamine pöörab võrratuse märgi, positiivsega aga mitte. x on just see suurus, mille pead alles leidma. Ühest vastust pole võimalik anda. Seetõttu ei saagi võrratust x/(x−2) > 1 lihtsalt läbi korrutades lahendada. Kes nii teeb, saab tulemuse, mis on ühel pool arvu 2 õige ja teisel pool vale. Võrrandid annavad selle andeks. Tundmatuga korrutamisel tekivad võrrandile küll võõrlahendid, kuid need saab kontrollides avastada ja kõrvale jätta. Võrratus sarnast kontrolli ei võimalda. Vastuseks on terve piirkond, mitte lühike nimekiri arvudest, mida saaksid ükshaaval katsetada.

Õpitee

Tundmatu x leidmine miinusmärgist alates

Allikad (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.