← Matemaatika

Ridade koonduvuse uurija

Vaata, kuidas osasummad kasvavad. Kas rida koondub lõplikule piirväärtusele või hajub?

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Viiskümmend liiget, kuus õiget komakohta

Valime 1/n² juures N = 50 ja leht kuvab S50 = 1,625133, mis jääb väärtusest π²/6 ikka veel 0,0198 võrra maha. See puudujääk on välja jäetud saba. Saba aga sarnaneb pindalaga: 50. liikmele järgnevate liikmete summa on pea täpselt funktsiooni 1/x² alune pindala alates väärtusest 50, mis on 1/50, millest on lahutatud pool 50. liikmest. Liidame selle tagasi ja saame 1,625133 + 0,02 − 0,0002 = 1,644933, mis eksib alles kuuendal komakohal (viga on 1,3 × 10⁻⁶). Tavaline summa vajaks sama täpse tulemuseni jõudmiseks umbes 750 000 liiget. Kui N = 10, annab sama parandus 1,549768 + 0,1 − 0,005 = 1,644768, tagades kolm õiget komakohta vaid kümne liikmega.

Mis on osasumma tegelikult

Lõpmatut rida ei summeerita kunagi korraga. Selle asemel jälgitakse osasummat SN, esimese N liikme jooksvat kogusummat, ja vaadatakse, kuhu see N kasvades suundub. Kui graafikul see kõver tasandub horisontaalseks jooneks, koondub rida sellele kõrgusele; kui see tõuseb edasi, siis hajub. Koonduvus ongi lihtsalt summade jada, mis rahuneb.

Kuidas harmooniline rida klotse laob

Lao ühesuguseid klotse laua servale. Kõige ülemine saab üle serva ulatuda kõige rohkem ½ HN võrra ehk poole N-nda harmoonilise osasumma jagu. Kuna harmooniline rida hajub, pole sellel üleulatusel piiri — piisava arvu klotsidega jääb ülemine täielikult üle laua serva. Juba 4 klotsi ületavad terve klotsi pikkuse, sest H4 ≈ 2.08.

RIDADE TEOORIA — MILLIST KOONDUVUSTUNNUST KASUTADA

Koonduvustunnuse valik: sobita tunnus liikme kujuga

Ükski üksik tunnus ei lahenda kõiki ridu. Iga tunnus on häälestatud üldliikme kindlale kujule — püsiv suhe, n-i puhas aste, faktoriaal, vahelduvad märgid — ja vale tunnuse rakendamine annab tavaliselt vastuse „ei otsusta“, mitte vale tulemuse. Loe kõigepealt liiget, tunne ära selle kuju, ja tunnus valib end ise.

Vajalik tingimus — suudab tõestada ainult hajuvust lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞
Geomeetriline — liikmete vahel püsiv suhe Σarn, |r| < 1
p-rida — nimetajas n-i puhas aste Σ1/np, p > 1
D'Alembert'i tunnus — faktoriaalid ja n-astmed L = lim |an+1/an|
Vahelduv — märk vahetub igal liikmel Σ(−1)nbn, bn ↓ 0
Teleskoopiline — summa keskosa taandub Σ[f(n) − f(n+1)]

01

Vajalik tingimus — suudab tõestada ainult hajuvust

Liikme kuju: Ükskõik milline rida. Kontrolli seda esimesena; see maksab ühe piirväärtuse.

Tunnus: lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞

Näidisülesanne: Real Σ1/n on aₙ → 0, seega tunnus ei ütle midagi — ja rida hajub siiski.

Ava see juht: Harmooniline
Vajalik tingimus — suudab tõestada ainult hajuvust. Harmoonilise rea osasummad tõusevad edasi, kuigi üksikud liikmed kaovad. Ükskõik milline rida. Kontrolli seda esimesena; see maksab ühe piirväärtuse.
Harmoonilise rea osasummad tõusevad edasi, kuigi üksikud liikmed kaovad.

02

Geomeetriline — liikmete vahel püsiv suhe

Liikme kuju: Iga liige on eelmise kindel kordne: aₙ₊₁/aₙ = r, kogu aeg sama r.

Tunnus: Σarn, |r| < 1

Näidisülesanne: Real Σ(1/2)ⁿ on r = 1/2, seega koondub — ja summa on täpselt a/(1 − r).

Ava see juht: Geomeetriline
Geomeetriline — liikmete vahel püsiv suhe. Püsiv suhe alla 1: osasummad lamenduvad täpsele piirväärtusele. Iga liige on eelmise kindel kordne: aₙ₊₁/aₙ = r, kogu aeg sama r.
Püsiv suhe alla 1: osasummad lamenduvad täpsele piirväärtusele.

03

p-rida — nimetajas n-i puhas aste

Liikme kuju: Liige on 1/nᵖ ja midagi muud: ei faktoriaali ega vahelduvat märki.

Tunnus: Σ1/np, p > 1

Näidisülesanne: 1/n² koondub (p = 2); 1/n hajub (p = 1). Piir on täpselt p = 1.

Ava see juht: p-rida
p-rida — nimetajas n-i puhas aste. p = 2 rahuneb kiiresti, p = 1 tõuseb edasi. Lävi on täpselt p = 1. Liige on 1/nᵖ ja midagi muud: ei faktoriaali ega vahelduvat märki.
p = 2 rahuneb kiiresti, p = 1 tõuseb edasi. Lävi on täpselt p = 1.

04

D'Alembert'i tunnus — faktoriaalid ja n-astmed

Liikme kuju: Liige sisaldab n!, cⁿ või nⁿ. Arvuta L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.

Tunnus: L = lim |an+1/an|

Näidisülesanne: Σ1/n! annab L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, seega koondub — ja väga kiiresti.

Ava see juht: e−1 rida
D'Alembert'i tunnus — faktoriaalid ja n-astmed. 1/n! vajub oma piirväärtusele kokku vaid mõne liikmega. Liige sisaldab n!, cⁿ või nⁿ. Arvuta L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.
1/n! vajub oma piirväärtusele kokku vaid mõne liikmega.

05

Vahelduv — märk vahetub igal liikmel

Liikme kuju: Liige kannab (−1)ⁿ ja absoluutväärtused kahanevad ühtlaselt nullini.

Tunnus: Σ(−1)nbn, bn ↓ 0

Näidisülesanne: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n koondub väärtusele ln 2, kuigi Σ1/n hajub.

Ava see juht: Vahelduv harm.
Vahelduv — märk vahetub igal liikmel. Osasummad ületavad ja alahindavad vaheldumisi, lähenedes piirväärtusele. Liige kannab (−1)ⁿ ja absoluutväärtused kahanevad ühtlaselt nullini.
Osasummad ületavad ja alahindavad vaheldumisi, lähenedes piirväärtusele.

06

Teleskoopiline — summa keskosa taandub

Liikme kuju: Liige laguneb vaheks f(n) − f(n+1), tavaliselt osamurdudeks lahutamise teel.

Tunnus: Σ[f(n) − f(n+1)]

Näidisülesanne: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), seega Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Ava see juht: Teleskoopiline
Teleskoopiline — summa keskosa taandub. Kõik esimese ja viimase liikme vahel taandub, alles jääb Sₙ = 1 − 1/(n+1). Liige laguneb vaheks f(n) − f(n+1), tavaliselt osamurdudeks lahutamise teel.
Kõik esimese ja viimase liikme vahel taandub, alles jääb Sₙ = 1 − 1/(n+1).
Allikad (2)

Ülesanne täielikult lahendatud

  1. Rea 1 + 1/2 + 1/3 + … 50. osasumma 5 sammu

    Rao 1 + 1/2 + 1/3 + … 50. osasumma on 4,499, liikmed on kahanenud väärtuseni 0,02 ja suhtetunnus annab tulemuseks 0,98. Kõik paneelil viitab koonduvusele. Tõesta, et see hajub — ja seejärel arvuta, kui kaugele peaks minema, et jõuda arvuni 100.

    1. Kõrvalda esmalt suhtetunnus. See võrdleb järjestikuseid liikmeid ning rea 1/n puhul on see suhe (n − 1)/n, mis tõuseb altpoolt arvuni 1 hoolimata millestki. Tunnus annab tulemuseks määramatu, mitte koondub. Leht, mis kuvaks 0,98 ilma selle sõnata, oleks teabe varjamise tõttu eksitav.

      ∣a50a49∣=4950=0.98 ⟶ 1(test inconclusive)\left|\frac{a_{50}}{a_{49}}\right|=\frac{49}{50}=0.98\ \longrightarrow\ 1\quad(\text{test inconclusive})

    2. Tõestus pärineb Oresme'ilt ja on seitse sajandit vana. Rühmita liikmed plokkidesse, mis lõpevad kaheaastmega: 1/3 + 1/4 ületab 1/2, järgmised neli liiget ületavad 1/2, järgmised kaheksa samuti. Iga plokk annab panuse vähemalt poole võrra ning plokke on lõpmata palju.

      ∑n=12m1n ≥ 1+m2⟹unbounded\sum_{n=1}^{2^m}\frac1n\ \ge\ 1+\frac{m}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{unbounded}

    3. See kinnitab hajumist, kuid ei anna kiirust, ja just kiirus teeb hajumise usutavaks trükitud summa 4,5 taustal. Summa võrdlemine integraaliga ∫dx/x annab kiiruse: osasummad järgivad avaldist ln n pluss konstant, ja see konstant on γ.

      Hn=ln⁡n+γ+12n+O(n−2),γ=0.5772157H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+O(n^{-2}),\qquad \gamma=0.5772157

    4. Kontrolli seda. ln 50 + γ = 4,489239 trükitud väärtuse 4,499205 vastu, ja ülejääv 0,009967 on rea arenduse järgmine liige, 1/2n = 0,01. Lähisväärtus ei ole pelgalt täpne; see on täpne viisil, mis ennustab omaenda viga.

      ln⁡50+γ=4.489239,4.499205−4.489239=0.009967≈12×50\ln 50+\gamma=4.489239,\qquad 4.499205-4.489239=0.009967\approx\frac{1}{2\times50}

    5. Seega pööra see ümber. Summa 10 saavutamiseks on vaja umbes e^(10−γ) ≈ 12 000 liiget. Summa 100 saavutamiseks on vaja e^(100−γ).

      Hn=100 ⟹ n≈e 100−γ=1.5×1043H_n=100\ \Longrightarrow\ n\approx e^{\,100-\gamma}=1.5\times10^{43}

    Vastus

    Tööriist kuvab 50 liikme järel tulemuseks 4,499205 ja nimetab rida hajuvaks, ning mõlemad on üheaegselt tõesed — mis ongi selle näite kogu keerukus. Summa kasvab nagu ln n, seega ületab see lõpuks iga lõpliku sihi. Arvuni 10 jõudmine võtab umbes 12 000 liiget; arvuni 100 jõudmine võtab 1,5 × 10⁴³. Hajuvus on väide igaviku kohta, mitte järgmise paari tuhande liikme kohta, ning 1/n on standardne tõestus selle kohta, et need kaks ei ole sama asi. Muuda rida kujule 1/n² ja samad 50 liiget peatuvad väärtusel 1,625 ega muutu enam: π²/6 on 1,645 ning kogu lõpmatu jääk on väärt 0,02.

    H50=4.499205,Hn∼ln⁡n ⟹ Hn=100 at n≈1.5×1043H_{50}=4.499205,\qquad H_n\sim\ln n\ \Longrightarrow\ H_n=100\ \text{at}\ n\approx1.5\times10^{43}

Õpitee

Lõpmatud read ja koondumine

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.