Visketrajektoori Simulaator

paraboolne trajektoor koos elava animatsiooniga

Kaks liikumist ühe kellaga	$\begin{gathered}x=v_0\cos\theta\,t\\ y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}\end{gathered}$
Start ja maandumine samal kõrgusel	$\begin{gathered}t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\\ y_{\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}\end{gathered}$

Näidisarvutus — Visketrajektoori Simulaator

Horisontaalkiirus	14,142 m/s
Vertikaalkiirus	14,142 m/s
Lennuaeg	2,8832 s
Lennukaugus	40,775 m
Aeg tipuni	1,4416 s
Maksimaalne kõrgus	10,194 m
Maandumiskiirus	20 m/s
Maandumisnurk allpool horisontaali	45°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Visketrajektoori Simulaator

Pärast teelesaatmist liigub keha ainuüksi raskusjõu mõjul. Kõrguselt h kiirusega v₀ ja nurga all θ teele saadetuna liigub see horisontaalsihis ühtlase kiirusega, kõrgus aga muutub täpselt nagu vabalangemisel.

Mida iga sümbol tähendab

v₀: algkiirus
θ: viskenurk horisondi suhtes
h: algkõrgus maandumispinna kohal
g: raskuskiirendus, 9,81 m/s², suunatud alla
R: lennukaugus: horisontaalne vahemaa stardist maandumiseni

Kust valem tuleb

Raskusjõud mõjub üksnes allapoole, mistõttu horisontaalkiirust ei muuda miski. Horisontaalne vahemaa kasvab ühtlases tempos kogu lennu vältel.
$v_x=v_0\cos\theta,\qquad x=v_0\cos\theta\,t$
Vertikaalsuunas on kiirendus konstantne: seesama eelmine teema, kus u = v₀ sin θ ja a = −g. Mõlemal liikumisel on üks ja seesama kell, t.
$v_y=v_0\sin\theta-gt,\qquad y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}$
Kõrvaldame neist aja t ja kõrgusest saab horisontaalkauguse ruutfunktsioon: trajektooriks on parabool.
$y=h+x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}$
Lend lõpeb siis, kui kõrgus jõuab tagasi nulli. Tasasel maapinnal on kaks lahendit algushetk ja t_f ning lennukaugus on v_x aja t_f vältel. Kuna sin 2θ = sin(180° − 2θ), annavad nurgad θ ja 90° − θ täpselt sama lennukauguse.
$t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=v_x\,t_f=\frac{2v_0^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
Trajektoori tipus on vertikaalkiirus null. Ilma ajata valem annab otse kõrguse.
$0=(v_0\sin\theta)^{2}-2g\,(y_{\max}-h)\ \Rightarrow\ y_{\max}=h+\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$

Eeldab: Eeldame, et õhutakistust ei ole ja g on kogu lennul ühesugune. Õhutakistuse korral ei ole trajektoor enam parabool: seda uurime järgmisel lehel.

Kaks liikumist ühes

Heitekeha teeb korraga kahte täiesti sõltumatut asja: liigub ühtlases tempos horisontaalsuunas ning langeb samal ajal raskusjõu mõjul. Kumbki liikumine ei mõjuta teist. Sellest tuleneb tuntud tõsiasi: samalt kõrguselt horisontaalselt tulistatud kuul ja sealsamas vabalangemisse jäetud kuul jõuavad maapinnale täpselt üheaegselt. Vali nurgaks 0°, anna heitele kõrgust ja muuda kiirust: lennukaugus kasvab, kuid lennuaeg ei liigu paigastki.

Kõrgemalt visates 45° enam ei võida

Kuulus 45° reegel maksimaalse lennukauguse jaoks kehtib ainult siis, kui väljalase ja maandumine on samal kõrgusel. Lisa väljalaskekõrgus h ja parim nurk langeb alla 45°, järgides valemit θ = arctan(v / √(v² + 2gh)). Viska pall kaljult alla ja veidi laugemalt kui 45° sihtides lendab see kaugemale — lükka kõrguse liugurit üles ja otsi tegelik optimum.

VISKEKEHAD — NURK OTSUSTAB KÕIK PEALE SELLE, MIDA OTSUSTAB KIIRUS

Millist viskejuhtumit sa lahendad?

Horisontaalne ja vertikaalne liikumine on teineteisest sõltumatud: külgsuunas ühtlane kiirus, allasuunas ühtlane kiirendus. Kõik muu tuleneb sellest lahutusest. Tasasel maal on lennukaugus R = v²sin(2θ)/g, mille tipp on 45° juures ja mis paarutab selle mõlemal pool asuvad nurgad. Viska kõrgemalt ja see sümmeetria puruneb — parim nurk langeb alla 45°.

45° tasasel maal — suurim lennukaugus R = v²/g at θ = 45°

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada R = v²sin(2θ)/g

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole h = v²/2g, R = 0

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

45° tasasel maal — suurim lennukaugus

Mida sa tead: Vise ja maandumine on samal kõrgusel ja sa tahad võimalikult kaugele. sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°.

Lennukaugus: R = v²/g at θ = 45°

Näidisarvutus: v = 20 m/s nurga 45° all → R = v²/g = 400/9,81 = 40,8 m, kaugeim, kuhu see kiirus ulatub

Ava see juhtum: 45° max kaugus

45° tasasel maal — suurim lennukaugus. 45° juures on lennuaeg ja horisontaalkiirus tasakaalus ning kaugus suurim. Vise ja maandumine on samal kõrgusel ja sa tahad võimalikult kaugele. sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°. — 45° juures on lennuaeg ja horisontaalkiirus tasakaalus ning kaugus suurim.

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada

Mida sa tead: Iga nurk θ ja tema täiendnurk 90° − θ annavad tasasel maal sama kauguse, sest sin(2θ) = sin(180° − 2θ).

Lennukaugus: R = v²sin(2θ)/g

Näidisarvutus: v = 20 m/s nurga 30° all → 35,3 m; 60° all → jälle 35,3 m. Lame vise kestab 2,0 s, kõrge 3,5 s

Ava see juhtum: 30°

Täisnurga täiendnurgad — kaks viisi sama kohta tabada. Kaks trajektoori, üks maandumispunkt: 30° ja 60° annavad sama kauguse eri kõrgustel. Iga nurk θ ja tema täiendnurk 90° − θ annavad tasasel maal sama kauguse, sest sin(2θ) = sin(180° − 2θ). — Kaks trajektoori, üks maandumispunkt: 30° ja 60° annavad sama kauguse eri kõrgustel.

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole

Mida sa tead: θ = 90°, seega horisontaalkomponent on null. Kõik, mille vise andis, kulub tõusule ja tagasitulekule.

Lennukaugus: h = v²/2g, R = 0

Näidisarvutus: v = 20 m/s otse üles → suurim kõrgus v²/2g = 20,4 m, kaugus 0, ja pall naaseb pihku kiirusega 20 m/s

Ava see juhtum: 90° otse üles

Otse üles — ainult kõrgus, kaugust pole. Vertikaalne vise: trajektoor kokku surutud jooneks ja kaugus kaob. θ = 90°, seega horisontaalkomponent on null. Kõik, mille vise andis, kulub tõusule ja tagasitulekule. — Vertikaalne vise: trajektoor kokku surutud jooneks ja kaugus kaob.

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb

Mida sa tead: Maandumispunkt on stardipunktist madalamal, nii et lend pole enam sümmeetriline ja 45° reegel ei kehti.

Lennukaugus: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

Näidisarvutus: v = 22 m/s nurga 35° all 18 m kõrguselt → 3,6 s õhus ja 65 m kaugusele; optimaalne nurk on siin 37,2°, mitte 45°

Ava see juhtum: kaljult

Vise kõrgemalt — sümmeetria puruneb. Lisakõrgus ostab lisalennuaega, nii et lamedam vise võidab. Maandumispunkt on stardipunktist madalamal, nii et lend pole enam sümmeetriline ja 45° reegel ei kehti. — Lisakõrgus ostab lisalennuaega, nii et lamedam vise võidab.

Ülesanded täielikult lahendatud

20 m/s ja 45° all tasapinnalt lennutatud pall 5 sammu
Pall lennutatakse tasaselt maapinnalt kiirusega 20 m/s ja 45° nurga all. Leia, kui kaua see õhus püsib ja kui kaugele maandub — seejärel leia, mida maksab 5° sihtimisviga, mis on küsimus, mis otsustab, kas 45° nurka tasub sihtida.
1. Lahutage lennutamine kaheks liikumiseks, mis teineteist ei mõjuta. Raskusjõud mõjub ainult allapoole, mistõttu on horisontaalkiirus maandumisel sama mis startimisel, ning 45° on ainus nurk, kus mõlemad komponendid on alguses võrdsed.
  
  $v_x=v_0\cos\theta=20\cos45^\circ=14.142\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=v_0\sin\theta=14.142\ \mathrm{m/s}$
2. Lend lõpeb siis, kui kõrgus jõuab tagasi nulli, ja sellest teab midagi ainult vertikaalliikumine. Tõus ja langus võtavad tasaselt maapinnalt sama palju aega, seega on kogu lennuaeg kaks korda pikem ajast tippujõudmiseni.
  
  $y(t_f)=0:\quad t_f=\frac{2v_y}{g}=\frac{2(14.142)}{9.81}=2.8832\ \mathrm{s}$
3. Horisontaalkaugus saadakse konstantse kiirusega liikumisest selle lennuaja jooksul. Komponentide asendamine taandab kõik kahekordseks nurgaks, ja kuna sin 2θ jääb muutumatuks, kui θ asendada nurgaga 90° − θ, maandub pall nii 30° kui ka 60° all lennutades 35,312 m kaugusel.
  
  $R=v_xt_f=14.142\times2.8832=40.775\ \mathrm{m}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{400}{9.81}$
4. Tippkõrgus tuleneb üksnes vertikaalkomponendist, mille raskusjõud peatab. 45° all on see täpselt veerand lennukaugusest ning see veerand kehtib 45° puhul iga algkiiruse korral.
  
  $y_{\max}=\frac{v_y^{2}}{2g}=\frac{200}{19.62}=10.194\ \mathrm{m}=\frac{R}{4}$
5. Nüüd sihtimisveast. sin 2θ on kohal 45° statsionaarne, seega on 5° eksimus teist järku viga ja maksab 40,775 m ulatuses 62 cm. Sama 5° eksimus 30° juures on esimest järku ning muudab lennukaugust 8,5%, st umbes 3 m.
  
  $\frac{R(50^\circ)}{R(45^\circ)}=\sin100^\circ=0.9848\ (-0.62\ \mathrm{m}),\qquad\frac{R(35^\circ)}{R(30^\circ)}=\frac{\sin70^\circ}{\sin60^\circ}=1.085$
Vastus

Tööriist väljastab lennuajaks 2,8832 s, lennukauguseks 40,775 m ja tippkõrguseks 10,194 m. Kaks viimast on täpselt suhtes 4 ning jäävad sellesse suhtesse 45° all olenemata kiirusest — 45° trajektoor on alati neli korda laiem kui kõrge, seega on kuju üks ja muutub vaid suurus. Samm 5 on see, mida tasub meeles pidada: maksimum on lame, mistõttu püsib 45° rusikareeglina, mida keegi hoolikalt ei kontrolli. Lamedusel on aga kaks külge, sest lamedat tippu on raske leida — igaüks, kes katsetades parimat nurka otsib, saab laia nurgavahemiku, kus kõik tunduvad võrdselt head.

$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g},\qquad \frac{R}{y_{\max}}=4\ \ (\theta=45^\circ)$
Veeremine laualt maha 4 sammu
Pall veereb 1,2 m kõrguselt laualt maha kiirusega 3,0 m/s. Kui kaua kulub põrandani jõudmiseks, kui kaugele lauast pall maandub ja kui suur on selle kiirus maandumisel?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lahuta liikumine kaheks. Laualt horisontaalselt maha lennates on θ = 0, seega algab vertikaalne liikumine paigalseisust ja kogu 3,0 m/s on horisontaalne:
  
  $v_x=3{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=0,\qquad h=1{.}2\ \mathrm{m}$
2. Langemine on kukkumine paigalseisust läbi 1,2 m ning horisontaalkiirus ei mängi selles mingit rolli:
  
  $0=h-\tfrac12gt_f^{2}\ \Rightarrow\ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(1{.}2)}{9{.}81}}=0{.}49462\ \mathrm{s}$
3. Horisontaalkauguse määrab seesama püsikiirus kogu langemisaja vältel:
  
  $R=v_x\,t_f=3{.}0\times0{.}49462=1{.}4839\ \mathrm{m}$
4. Põrandani jõudes on horisontaalkomponent endiselt 3,0 m/s ning vertikaalne on kasvanud väärtuseni gt. Liida need vektoritena:
  
  $v_{y,f}=-g\,t_f=-4{.}8522\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}8522^{2}}=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{4{.}8522}{3{.}0}=58{.}273^\circ$
Vastus

0,49462 s, maandudes lauast 1,4839 m kaugusel kiirusega 5,7047 m/s, 58,273° allpool horisontaali. Veereta palli kaks korda kiiremini ja see maandub kaks korda kaugemal, ikka täpselt sama 0,49462 s järel.

$t_f=0{.}49462\ \mathrm{s},\qquad R=1{.}4839\ \mathrm{m},\qquad v_f=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=58{.}273^\circ$
Kaljult alla: maandumiskiirus 5 sammu
Kivi visatakse 25 m kõrguse kalju servalt kiirusega 15 m/s, 40° horisondist ülespoole. Leia lennuaeg, maandumiskaugus kalju jalamist ja kiirus maandumisel.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõigepealt komponendid:
  
  $v_x=15\cos40^\circ=11{.}491\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=15\sin40^\circ=9{.}6418\ \mathrm{m/s}$
2. Lend lõpeb siis, kui kõrgus maapinnast jõuab tagasi nulli. See annab t suhtes ruutvõrrandi ning heitejärgsele ajale vastab selle positiivne lahend:
  
  $25+9{.}6418\,t-4{.}905\,t^{2}=0\ \Rightarrow\ t_f=\frac{9{.}6418+\sqrt{9{.}6418^{2}+2(9{.}81)(25)}}{9{.}81}=3{.}4451\ \mathrm{s}$
3. Horisontaalkauguse annab kiiruskomponent v_x kogu selle aja jooksul:
  
  $R=v_x\,t_f=(15\cos40^\circ)(3{.}4451)=39{.}587\ \mathrm{m}$
4. Maandumisel on horisontaalkomponent muutumatu ning vertikaalseks komponendiks on v_y − gt_f. Liida need kokku:
  
  $v_{y,f}=9{.}6418-9{.}81(3{.}4451)=-24{.}155\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{11{.}491^{2}+24{.}155^{2}}=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{24{.}155}{11{.}491}=64{.}559^\circ$
5. Kontrolli kiirust ilma ajata. Energia jäävuse seadus annab selle ainuüksi algkiiruse ja langemiskõrguse põhjal:
  
  $v_f=\sqrt{v_0^{2}+2gh}=\sqrt{15^{2}+2(9{.}81)(25)}=26{.}749\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
Vastus

3,4451 s õhus, maandudes 39,587 m kaugusel kiirusega 26,749 m/s, 64,559° allpool horisontaali. Sammu 5 kontrollis pole nurka ollagi: sellelt kaljult maandub iga heide kiirusega 15 m/s just kiirusel 26,749 m/s, ükskõik mis suunas see teele saadeti. Nurk määrab üksnes maandumispaiga ja liikumissuuna.

$t_f=3{.}4451\ \mathrm{s},\qquad R=39{.}587\ \mathrm{m},\qquad v_f=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=64{.}559^\circ$
Üle müüri? 3 sammu
Pall lüüakse maapinnalt teele kiirusega 25 m/s, 30° horisondist ülespoole, 40 m kaugusel asuva 3,0 m kõrguse müüri suunas. Kas pall lendab üle müüri ja kas see on kohale jõudes veel tõusuteel?
Näita lahendust
1. Horisontaalliikumine annab aja, mil pall müürini jõuab:
  
  $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}=\frac{40}{25\cos30^\circ}=\frac{40}{21{.}651}=1{.}8475\ \mathrm{s}$
2. Vertikaalliikumine annab palli kõrguse sel hetkel:
  
  $y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}=12{.}5(1{.}8475)-4{.}905(1{.}8475)^{2}=23{.}094-16{.}742=6{.}352\ \mathrm{m}$
3. Palli vertikaalkiirus näitab seejärel, kas see liigub veel üles või juba alla:
  
  $v_y=v_0\sin\theta-gt=12{.}5-9{.}81(1{.}8475)=-5{.}624\ \mathrm{m/s}$
Vastus

Jah, 3,35 m võrra: pall ületab müüri 6,35 m kõrguselt, langedes juba kiirusega 5,62 m/s. Küsimus puudutas trajektoori ühte punkti, mistõttu saadi aeg kaugusest müürini, mitte lennu lõpust.

$y(40\ \mathrm{m})=6{.}35\ \mathrm{m}>3{.}0\ \mathrm{m},\qquad v_y=-5{.}62\ \mathrm{m/s}$
Lennukauguseks vajalik kiirus 3 sammu
Kaugushüppaja lahkub pakult 20° nurga all horisondi suhtes ja maandub 7,5 m kaugusel. Kui lugeda äratõuge ja maandumine samale kõrgusele ning jätta õhutakistus arvestamata, siis kui suur oli äratõukekiirus?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tasasel pinnal kestab lend 2v₀ sin θ/g ning lennukaugus on selle aja ja kiiruse v₀ cos θ korrutis. Kokku annavad need lennukauguse valemi:
  
  $R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
2. Avaldame v₀:
  
  $v_0=\sqrt{\frac{Rg}{\sin2\theta}}=\sqrt{\frac{7{.}5\times9{.}81}{\sin40^\circ}}=\sqrt{114{.}46}=10{.}699\ \mathrm{m/s}$
3. Kontrolliks paneme kiiruse valemisse tagasi:
  
  $R=\frac{10{.}699^{2}\sin40^\circ}{9{.}81}=7{.}50\ \mathrm{m}\ \checkmark$
Vastus

10,699 m/s. Sama kiirusega 45° all kanduks hüpe 11,668 m kaugusele. Ometi tõukuvad kaugushüppajad umbes 20° all, sest mida püstisem äratõuge, seda rohkem kaob pakul hoojooksu kiirusest.

$v_0=10{.}699\ \mathrm{m/s};\qquad R(45^\circ)=\frac{v_0^{2}}{g}=11{.}668\ \mathrm{m}$
Kaks nurka, mis viivad samasse punkti 3 sammu
Pall alustab lendu tasapinnalt kiirusega 25 m/s ja peab maanduma 50 m kaugusel. Mis nurga all tuleb see teele saata?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendame arvud lennukauguse valemisse ja avaldame sin 2θ:
  
  $\sin2\theta=\frac{Rg}{v_0^{2}}=\frac{50\times9{.}81}{25^{2}}=0{.}7848$
2. Vahemikus 0° kuni 180° on kaks sellise siinusega nurka. Seega leidub vahemikus 0° kuni 90° kaks viskenurka, mille summa on 90°:
  
  $2\theta=51{.}702^\circ,\ \ 128{.}298^\circ\ \Rightarrow\ \theta=25{.}851^\circ,\ \ 64{.}149^\circ$
3. Mõlemad maanduvad 50 m kaugusel, kuid mitte samal ajal, sest lennuaja määrab ainuüksi vertikaalkomponent:
  
  $t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g}:\qquad\frac{2(25)\sin25{.}851^\circ}{9{.}81}=2{.}2224\ \mathrm{s},\qquad\frac{2(25)\sin64{.}149^\circ}{9{.}81}=4{.}5868\ \mathrm{s}$
Vastus

25,851° või 64,149°. Madal vise jõuab kohale 2,2224 s pärast. Kõrge lend kestab 4,5868 s ja kerkib teel 25,799 m kõrgusele madala trajektoori 6,0565 m vastu. Vajuta nuppu 30° ja seejärel 60°, et näha sama paari kiirusel 20 m/s.

$\theta=25{.}851^\circ\ \ (t_f=2{.}2224\ \mathrm{s},\ y_{\max}=6{.}0565\ \mathrm{m}),\qquad \theta=64{.}149^\circ\ \ (t_f=4{.}5868\ \mathrm{s},\ y_{\max}=25{.}799\ \mathrm{m})$
Nurk, mis kannab kõige kaugemale 18 m kõrguselt 7 sammu
Paneel lahendab selle viske, mille sa talle annad: 35° 18 m kõrguselt kannab 64,764 m. Kas 35° oli üldse hea valik, seda ta ei ütle. Leia nurk, mis sellelt kaljult kõige kaugemale kannab — ja küsi siis, kui palju see vastus tegelikult väärt on.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Jaga vise kaheks. Kõik pärast seda rida on ühtlane horisontaalkiirus ja vertikaalne vabalangemine, mis juhtub algama 18 m maandumispinnast kõrgemal.
  
  $v_x=v_0\cos\theta=22\cos35^\circ=18.021\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad v_y=v_0\sin\theta=22\sin35^\circ=12.619\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
2. Lend lõpeb, kui kõrgus jõuab tagasi nulli — see on ruutvõrrand t suhtes. Võta positiivne juur; teine oleks hetk, mil keha oleks maapinnalt lahkunud, kui ta oleks sealt alt startinud.
  
  $h+v_yt-\tfrac12gt^{2}=0\ \Longrightarrow\ t_f=\frac{v_y+\sqrt{v_y^{2}+2gh}}{g}=\frac{12.619+\sqrt{159.24+353.16}}{9.81}=3.5938\ \mathrm{s}$
3. Kaugus on horisontaalkiirus korda kogu lennuaeg, sest horisontaalselt ei mõju miski. Kolm senisest neljast arvust on ülal paneelil.
  
  $R=v_xt_f=18.021\times3.5938=64.764\ \mathrm{m}$
4. Tipp on seal, kus vertikaalkiirus otsa saab, ja kalju lihtsalt tõstab kogu asja: 18 m edumaa pluss täpselt see tõus, mille maapinnalt visatu oleks saavutanud.
  
  $y_{\max}=h+\frac{v_y^{2}}{2g}=18+\frac{159.24}{19.62}=26.116\ \mathrm{m}$
5. Nüüd küsimus, millele paneel ei vasta. Kirjuta kaugus ainult nurga funktsioonina, hoides v₀ ja h fikseerituna. Lennuaeg sõltub nüüd samuti θ-st, ja just seepärast pole see mugav merepinna valem.
  
  $R(\theta)=\frac{v_0\cos\theta}{g}\left(v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^{2}\sin^{2}\theta+2gh}\right)$
6. Diferentseeri ja võrdsusta nulliga. Kõik taandub üheks tingimuseks sin θ jaoks ja kalju siseneb ainult mõõtmeteta suuruse 2gh/v₀² kaudu. Kui h = 0, annab see sin θ = 1/√2 ehk tuttava 45°. Siin annab see 37,248°.
  
  $\frac{dR}{d\theta}=0\ \Longrightarrow\ \sin\theta^{*}=\frac{1}{\sqrt{2+2gh/v_0^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2.72967}}=0.60526\ \Longrightarrow\ \theta^{*}=37.248^\circ$
7. Aseta nüüd kolm nurka kõrvuti ja loe suurusjärke, mitte ainult järjestust.
  
  $R(37.248^\circ)=64.887,\qquad R(35^\circ)=64.764,\qquad R(45^\circ)=63.355\ \ \mathrm{(m)}$
Vastus

Parim nurk sellelt kaljult on 37,248°, ja ümbersihtimine on 65-meetrise viske juures väärt 12 cm. Tegelik õppetund ongi see, ja see ei peitu optimumis endas: maksimum on lame, nii et 2,2° möödalask ei maksa peaaegu midagi. Kallis on vale mudeli kaasavõtmine — 45° on optimaalne ainult maapinnalt, ja siin viskab see minema 1,532 m, kaksteist korda rohkem kui sihtimisviga. Tõsta kalju kõrgemaks ja θ* langeb veelgi; väga kõrge kalju piiril on kõige kaugem vise peaaegu horisontaalne.

$\sin\theta^{*}=\left(2+\frac{2gh}{v_0^{2}}\right)^{-1/2}\Longrightarrow\theta^{*}=37.248^\circ;\qquad R^{*}-R(35^\circ)=0.123\ \mathrm{m},\qquad R^{*}-R(45^\circ)=1.532\ \mathrm{m}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kivi visatakse 30 m kõrguse kalju servalt horisontaalselt kiirusega 12 m/s. Kui kaua kestab lend ja kui kaugele kalju jalamist see maandub?

Näita vastust

2,473 s ja 29,68 m.

$t_f=\sqrt{\frac{2(30)}{9{.}81}}=2{.}473\ \mathrm{s},\qquad R=12\times2{.}473=29{.}68\ \mathrm{m}$
Palli lüüakse tasapinnalt kiirusega 18 m/s ja 60° nurga all horisondi suhtes. Leia selle suurim kõrgus ja lennukaugus.

Näita vastust

12,39 m ja 28,60 m.

$y_{\max}=\frac{(18\sin60^\circ)^{2}}{2(9{.}81)}=12{.}39\ \mathrm{m},\qquad R=\frac{18^{2}\sin120^\circ}{9{.}81}=28{.}60\ \mathrm{m}$
Pall heidetakse teele kiirusega 20 m/s ja 30° nurga all horisondi suhtes. Leia selle kiirus ja liikumissuund 1,0 s hiljem.

Näita vastust

17,32 m/s, 0,63° horisondi suhtes ülespoole: pall on napilt enne tippu.

$v_x=17{.}32,\quad v_y=10-9{.}81=0{.}19\ \ (\mathrm{m/s})\ \Rightarrow\ v=17{.}32\ \mathrm{m/s},\ \ 0{.}63^\circ$
Kui suur on tasasel pinnal kiirusega 50 m/s teele saadetud keha maksimaalne lennukaugus ja kui kaua kestab lend?

Näita vastust

254,8 m 45° nurga all pärast 7,208 s.

$R_{\max}=\frac{v_0^{2}}{g}=\frac{50^{2}}{9{.}81}=254{.}8\ \mathrm{m},\qquad t_f=\frac{2(50)\sin45^\circ}{9{.}81}=7{.}208\ \mathrm{s}$
Horisontaalselt visatud nool tabab 2,5 m kaugusel asuvat märklauda 0,20 m sihtimispunktist allpool. Kui suure kiirusega nool visati?

Näita vastust

12,38 m/s: 0,20 m langemiseks kulub 0,2019 s.

$t=\sqrt{\frac{2(0{.}20)}{9{.}81}}=0{.}2019\ \mathrm{s},\qquad v_0=\frac{2{.}5}{0{.}2019}=12{.}38\ \mathrm{m/s}$

Õpitee

Asjade viskamine

Allikad (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.