Binoomjaotuse uurija

diskreetsete õnnestumiste arvu tõenäosused fikseeritud n ja p korral

Algväärtused — Binoomjaotuse uurija

Katsete arv (n)	20
Õnnestumise tõenäosus (p)	0
Sihtmärgi õnnestumised (k)	7

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sõltumatus on eeldus, mis tavaliselt esimesena puruneb

Binoomjaotuse kasutamiseks peab olema täidetud kolm tingimust: katsete arv on kindel, õnnestumise tõenäosus p on iga kord sama ning ühe katse tulemus ei mõjuta teisi. Kaht esimest tingimust on lihtne kontrollida. Kolmas jääb enamikus tegelikes olukordades märkamatult täitmata.

Kui võtta kaardipakist 5 kaarti ja otsida tõenäosust saada 2 ässa, muutub p kohe pärast esimese ässa tõmbamist kõigi järgmiste tõmmete jaoks väiksemaks. Katsed ei ole sõltumatud ning binoomjaotus on vale mudel — vaja on hüpergeomeetrilist jaotust. Rusikareegel sõltub sellest, kas väljavõtt toimub tagasipanekuga või ilma. Kui paned kaardi pakki tagasi, annab binoomjaotus täpse tulemuse. Kui jätad kaardi välja, on see vaid lähend: hea siis, kui pakk on käega võrreldes suur, ja halb vastasel juhul.

Õnnestumiste loendamine korduvates katsetes

Kujuta ette, et viskad sama kallutatud münti n korda ja lihtsalt loed, mitu korda tuleb kull. See arv on binoomjaotusega juhuslik suurus: iga vise on sõltumatu ja igal on sama õnnestumise tõenäosus p. Tööriist laseb sul muuta n-i ja p-d ning näha, kuhu tõenäosus koguneb. Parim üksikpakkumine õnnestumiste arvule on keskväärtus np — nii koondub 20 ausa mündi viset 10 kulli ümber.

Kust nimi tegelikult tuleb

„Binoom" binoomjaotuses on sama binoom mis algebra Newtoni binoomvalemis. Avaldise (p + q)ⁿ arendamisel, kus q = 1 − p, tekivad täpselt liikmed nCk · p^k · q^n−k — tõenäosused iga k jaoks. Kuna (p + q) = 1, võrdub arend 1ⁿ = 1-ga, mistõttu tõenäosused peavad summana andma ühe. Kordajad nCk on sõna otseses mõttes Pascali kolmnurga read.

BINOOMJAOTUS — MILLISELE KÜSIMUSELE TE TEGELIKULT VASTUST OTSITE?

Millise binoomjuhtumiga on tegemist?

Binoomjaotus vajab täpselt kolme asja: kindlat arvu sõltumatuid katseid n, igas katses sama õnnestumise tõenäosust p ja loendust k. Ülesandest ülesandesse muutub ainult küsimus — täpselt k või ülimalt k — ja kuju, mille p jaotusele annab. Kui need kaks on paigas, on ülejäänu puhas arvutus.

Täpselt k, kui p = ½ — sümmeetriline juhtum P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Ülimalt k — liida tulbad, ära loe ühte P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

p kaugel ½-st — jaotus kaldub viltu μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Palju katseid, imeväike p — Poissoni piirjuhtum λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Täpselt k, kui p = ½ — sümmeetriline juhtum

Mida te teate: Kindel n, igas katses sama p ja küsimus ühe kindla loenduse kohta. Kui p = ½, paiknevad tulbad sümmeetriliselt n/2 ümber.

Valem: P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Näidisarvutus: n = 10, p = 0,5, k = 5 → C(10,5)·0,5¹⁰ = 252/1024 = 0,2461

Ava see juhtum: 10 ausat mündiviset

Täpselt k, kui p = ½ — sümmeetriline juhtum. Kui p = ½, on tulbad n/2 suhtes sümmeetrilised ja isegi kõrgeim neist kannab alla veerandi tõenäosusest. Kindel n, igas katses sama p ja küsimus ühe kindla loenduse kohta. Kui p = ½, paiknevad tulbad sümmeetriliselt n/2 ümber. — Kui p = ½, on tulbad n/2 suhtes sümmeetrilised ja isegi kõrgeim neist kannab alla veerandi tõenäosusest.

Ülimalt k — liida tulbad, ära loe ühte

Mida te teate: Küsimus on lävend, mitte üks kindel loendus. Liida kõik tulbad nullist k-ni; üksik P(X = k) vastab hoopis teisele küsimusele.

Valem: P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

Näidisarvutus: n = 40, p = 0,08, k ≤ 2 → P(X ≤ 2) = 0,3694, samas kui üksik tulp P(X = 2) on vaid 0,2100

Ava see juhtum: kvaliteedikontrolli defektid

Ülimalt k — liida tulbad, ära loe ühte. Vastus on varjutatud plokk nullist k-ni, mitte k-nda tulba kõrgus. Küsimus on lävend, mitte üks kindel loendus. Liida kõik tulbad nullist k-ni; üksik P(X = k) vastab hoopis teisele küsimusele. — Vastus on varjutatud plokk nullist k-ni, mitte k-nda tulba kõrgus.

p kaugel ½-st — jaotus kaldub viltu

Mida te teate: Ühele poole kaldu õnnestumise tõenäosus. Tipp asub np lähedal ja tihedama poole saba surutakse vastu piiri n juures.

Valem: μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Näidisarvutus: n = 25, p = 0,78, k = 20 → 0,1903; keskväärtus on np = 19,5 ja mood ⌊(n+1)p⌋ = 20

Ava see juhtum: korvpalli vabavisked

p kaugel ½-st — jaotus kaldub viltu. Kõrge p lükkab tipu n poole ja surub parema saba vastu piiri. Ühele poole kaldu õnnestumise tõenäosus. Tipp asub np lähedal ja tihedama poole saba surutakse vastu piiri n juures. — Kõrge p lükkab tipu n poole ja surub parema saba vastu piiri.

Palju katseid, imeväike p — Poissoni piirjuhtum

Mida te teate: n on suur, p on väike ja nende korrutis jääb tagasihoidlikuks. Binoomjaotus ja Poissoni jaotus parameetriga λ = np langevad kokku umbes kahe kümnendkohani.

Valem: λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Näidisarvutus: n = 60, p = 0,03 → λ = 1,8; P(X ≤ 1) = 0,4592 täpselt, Poissoni järgi 0,4628

Ava see juhtum: harva esineva sündmuse protsess

Palju katseid, imeväike p — Poissoni piirjuhtum. Binoomtulbad ja Poissoni jaotus parameetriga λ = np langevad peaaegu täpselt kokku. n on suur, p on väike ja nende korrutis jääb tagasihoidlikuks. Binoomjaotus ja Poissoni jaotus parameetriga λ = np langevad kokku umbes kahe kümnendkohani. — Binoomtulbad ja Poissoni jaotus parameetriga λ = np langevad peaaegu täpselt kokku.

Ülesanded täielikult lahendatud

Täpselt 7 õnnestumist 20 katses p = 0,35 korral 5 sammu
Täpselt 7 õnnestumist 20 katses tõenäosusega p = 0,35. See on tõenäosusfunktsiooni vaade parameetritega n = 20, p = 0,35 ja k = 7. Koostage tulp nullist ning arvutage selle kõrgus teist korda vaid standardhälbe alusel.
1. Kordaja loendab, millised 7 katset 20-st on õnnestumised, jättes täielikult tähelepanuta nende saabumise järjekorra. Seitse tegurit lugejas, 7! nimetajas — taandamine tasub üks kord käsitsi läbi teha.
  
  $\binom{20}{7}=\frac{20\times19\times18\times17\times16\times15\times14}{7!}=\frac{390\,700\,800}{5040}=77\,520$
2. Igal 7 õnnestumise ja 13 ebaõnnestumise konkreetsel järjestusel on sama tõenäosus, sest katsed on sõltumatud ja p ei muutu kunagi. Need on selle kaks poolt.
  
  $p^{k}=0.35^{7}=0.00064339,\qquad (1-p)^{n-k}=0.65^{13}=0.00369721$
3. Korrutage järjestuste arv mis tahes ühe järjestuse tõenäosusega. Kaks tõenäosustegurit kokku annavad umbes 2,4 × 10⁻⁶, seega on vaja kõiki 77 520 järjestust, et tõsta vastus tagasi 18%-ni.
  
  $P(X=7)=77\,520\times0.00064339\times0.00369721=0.18440119$
4. Ülemine saba ei ole kumulatiivse arvu täiend: 1 − 0,6010266 viskaks minema k = 7, mis kuulub mõlemasse sabasse. Tööriist kuvab P(X ≤ 7) ja P(X ≥ 7), kuid mitte kunagi P(X ≤ 6), seega jääb see lahutamine lugeja teha.
  
  $P(X\ge7)=1-P(X\le6)=1-\bigl(0.6010266-0.1844012\bigr)=1-0.4166254=0.5833746$
5. Nüüd jätke faktoriaalid kõrvale. Binoomjaotusel, mille keskväärtus asub kaugel nii väärtusest 0 kui ka n-st, on sama standardhälbega normaaljaotuse kõvera kuju ning normaaljaotuse kõvera tipu kõrgus ei sõltu millestki muust.
  
  $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{4.55}=2.133073,\qquad \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{5.34682}=0.18703$
Vastus

Tööriist kuvab kordaja 77 520, P(X = 7) = 0,18440119, P(X ≤ 7) = 0,6010266, P(X ≥ 7) = 0,58337458 ja σ = 2,133073. 5. samm jõuab pelgalt σ alusel väärtuseni 0,18703 — 1,4% võrra kõrgem avaldisest, mis ei sisalda ei n-i, p-d ega faktoriaali. Suurendage n-i, hoides p väärtusel 0,35, ja see viga järgib suhet 1/n: 0,71% kui n = 40, 0,28% kui n = 100, 0,07% kui n = 400. Seega piisab keskmise μ-st ja standardhälbest σ iga keskkoha lähedase tulpa visandamiseks ning täpne valem on oma vaeva väärt vaid sabades — kui k = 0, on sama normaaljaotuse kõver 4,7 korda liiga kõrge, ja kui k = 17, on see 43% liiga madal. Protsendivead keskel, kordajavead äärtes: selline kuju on igal normaaljaotuse lähendusel, millega kokku puutute.

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=0.18440119\ \approx\ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=0.18703$
60 katset 3% juures, kus np on vaid 1,8 6 sammu
See eelseadistus on 60 katset 3 % juures, ja paneel annab P(X = 1) = 0,29840413. Esimese ülesande normaaljaotuse lähendus siin ei aita — np on vaid 1,8. On olemas teine piirjuht, mis on peaaegu täpne, ja see viskab ühe kahest parameetrist täielikult minema.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kõigepealt täpne vastus, otse paneelilt: kuuskümmend viisi ainsa tabamuse paigutamiseks, korda tabamus, korda viiskümmend üheksa möödalasku.
  
  $\binom{60}{1}(0.03)^{1}(0.97)^{59}=60\times0.03\times0.16578007=0.29840413$
2. Hoia korrutis np kinni ja nimeta see λ-ks. See on ainus suurus, mis piirprotsessi üle elab.
  
  $\lambda=np=60\times0.03=1.8$
3. Võta binoomkordaja. Kirjuta p kujul λ/n: kahanev faktoriaal jagatuna nᵏ-ga läheneb ühele, sest iga tegur on n miinus midagi väikest, jagatud n-ga. Alles jääb λᵏ jagatud k faktoriaaliga.
  
  $\binom{n}{k}p^{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\ \xrightarrow[\;n\to\infty\;]{}\ \frac{\lambda^{k}}{k!}$
4. Möödalasu liige on e definitsioon maskeeringus: (1 − λ/n) astmel n läheneb e^(−λ)-le, ja lisa-k astendajas ei loe enam.
  
  $(1-p)^{n-k}=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\ \xrightarrow[\;n\to\infty\;]{}\ e^{-\lambda}$
5. Pane kaks poolt k = 1 juures kokku.
  
  $P(X=1)\approx\lambda e^{-\lambda}=1.8\,e^{-1.8}=0.29753800$
6. Nüüd mõõda viga, selle asemel et väita, et see on väike.
  
  $\frac{0.29753800-0.29840413}{0.29840413}=-0.0029$
Vastus

0,29754 täpse 0,29840 vastu — 0,29 % liiga madal, ja seda kõigest kuuekümne katse juures. Poissoni piirjuht hoiab λ = np ja unustab n-i ja p eraldi, ja just seepärast kirjeldab see olukordi, kus n-i polnudki kunagi teada: kõned kesksesse, mutatsioonid genoomi kohta, kirjavead lehekülje kohta. Üheski neist pole katsete arvu, on ainult määr. Ja viga kahaneb nagu 1/n — 600 katse juures 0,3 % peal on see 0,030 %, 6000 katse juures 0,03 % peal 0,003 %. Kümme korda rohkem katseid, kümnendik veast, ilma et λ liiguks.

$P(k)\to\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}:\qquad 0.29754\ \longleftrightarrow\ 0.29840,\qquad -0.29\%$

Õpitee

Loendustest kõverateni

Allikad (2)

Three centuries of the result this distribution was invented in order to prove: E. Seneta, "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers." Bernoulli 19(4), 1088–1121, 2013 — on Jakob Bernoulli’s Ars Conjectandi of 1713.
And a shorter account of the book itself: I. Schneider, "Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713)", in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 88–104. Elsevier, 2005.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.