Monty Halli probleem

Üks auto ja mõned kitsed suletud uste taga. Valige uks, laske saatejuhil avada teised ja otsustage, kas vahetada. See lehekülg arvutab saatejuhi reegli ja tema tegevuse põhjal välja iga ukse taga peituva tõenäosuse, mängib selle kontrollimiseks tuhandeid mänge või laseb teil endal proovida. Alljärgnev tabel selgitab arvutusi.

Bayesi valem: saatejuhi käik kui tõend	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
Teadlik saatejuht, kes avab juhuslikult k kitsega ust	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

Näidisarvutus — Monty Halli probleem

Aprioorne tõenäosus	1/3
Tõepära, Uks 1 · teie valik	1/2
Tõepära, Uks 2 · suletud	1
Tõepära, Uks 3 · avatud	0 · näidatud kits
Kogutõenäosus	1/2
Aposterioorne tõenäosus, Uks 1 · teie valik	1/3
Aposterioorne tõenäosus, Uks 2 · suletud	2/3
Aposterioorne tõenäosus, Uks 3 · avatud	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Monty Halli probleem

Tõenäosus, et auto peitub pärast saatejuhi käiku kindla ukse taga, tuleneb Bayesi valemist: selle ukse aprioorne tõenäosus 1 ÷ n korrutatakse tõepäraga, et saatejuht käitunuks auto sealolekul just nii, ning jagatakse tema käigu kogutõenäosusega.

Mida iga sümbol tähendab

n: uste arv
k: saatejuhi avatud uste arv
P(H | C_i): tõepära: tõenäosus, et saatejuht teeb oma tehtud valiku juhul, kui auto on ukse i taga
P(C_i | H): aposterioorne tõenäosus: tõenäosus, et auto asub ukse i taga pärast saatejuhi tegutsemist

Kust valem tuleb

Sõnasta hüpoteesid ja määra igaühe aprioorne tõenäosus. Tähistagu C_i sündmust, et auto on ukse i taga. Enne saatejuhi käiku on kõik uksed võrdtõenäosed.
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
Kirjuta üles, kui tõenäoline on saatejuhi käik H iga hüpoteesi korral. Saatejuhi reegel tuleb mängu üksnes siin. Kui auto asukohta teadev saatejuht avab lubatud kitsedega uste seast juhuslikult k ust, siis sinu valitud ukse d₀ ja tema avatud uste hulga O korral kehtib:
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
Liida kokku tema käigu kogutõenäosus.
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
Jaga iga aprioorse tõenäosuse ja tõepära korrutis selle kogutõenäosusega. Teadliku saatejuhi korral jääb sinu uksele tõenäosus 1/n sõltumata sellest, millised uksed ta avab, ning igaüks ülejäänud m = n − 1 − k suletud uksest saab tõenäosuseks (n − 1)/(nm).
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kolm ust Bayesi valemi järgi 4 sammu
Valite ukse 1. Saatejuht, kes teab auto asukohta ja avab alati kitseukse, tehes võimalusel juhusliku valiku, avab ukse 3. Leidke tõenäosus, et auto asub ukse 1 taga ja et see on ukse 2 taga. Kontrollimiseks klõpsake valikul Kolm ust.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Enne tema tegutsemist on iga uks võrdselt tõenäoline:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Kui tõenäoline on ukse 3 avamine iga võimaliku auto asukoha korral?
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. Kogutõenäosus, et ta avab ukse 3:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. Jagage iga ukse aprioorse tõenäosuse ja tõepära korrutis selle kogutõenäosusega:
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Vastus

Auto asub ukse 1 taga tõenäosusega 1/3 ja ukse 2 taga tõenäosusega 2/3. Kogu vastus peitub teises sammus: kui auto on ukse 2 taga, on ta sunnitud avama ukse 3, kuid kui see on ukse 1 taga, avab ta ukse 3 vaid pooltel kordadel, mistõttu ukse 3 avamine on kaks korda tõenäolisem olukorras, kus auto asub ukse 2 taga.

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
Neli ust, üks avatud 5 sammu
Mängus on neli ust. Valid ukse 1. Saatejuht teab, kus auto asub, ning avab ülejäänud uste seast ühe kitsega ukse, valides võimaluse korral juhuslikult. Ta teeb lahti ukse 4. Leia tõenäosus, et auto on iga suletud ukse taga, ja kontrolli tulemust loendamisega enne saatejuhi käiku.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Enne tema käiku:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. Kui tõenäoline on ukse 4 avamine auto iga võimaliku asukoha korral? Kui auto on ukse 1 taga, saab ta valida kolme kitsega ukse vahel, ukse 2 või 3 taga olles aga vaid kahe vahel:
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. Ukse 4 avamise kogutõenäosus:
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. Jaga iga ukse aprioorse tõenäosuse ja tõepära korrutis selle summaga:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. Sama tulemus ilma Bayesi valemita: valiku vahetamine juhusliku suletud ukse vastu toob võidu vaid siis, kui esialgne valik oli vale (tõenäosusega 3/4), ja sel juhul on auto ühe taga kahest suletud uksest:
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
Vastus

Uksele 1 jääb 1/4, uksed 2 ja 3 saavad kumbki 3/8. Valiku vahetamine on kasulikum kui paigalejäämine, ent uste 2, 3 ja 4 vahel jagunenud 3/4 jaotub nüüd kahe ukse vahel, mistõttu kumbki neist selleni üksi ei küüni.

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
Saatejuht, kes ei tea 4 sammu
Kolm ust, ja sa valid ukse 1. See saatejuht ei tea, kus auto asub: ta avab juhuslikult ukse 2 või 3 ning ukse 3 tagant tulebki nähtavale kits. Leia tõenäosus, et auto on ukse 1 taga ja ukse 2 taga. Kontrollimiseks vajuta Teadmatu saatejuht.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Enne tema käiku:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Tähistagu H₃ ukse 3 avamist nii, et selle taga on kits. Kui auto on ukse 1 või 2 taga, avab ta ukse 3 pooltel kordadel ja seal ongi kits. Kui auto on ukse 3 taga, paljastaks selle avamine auto, mistõttu H₃ pole võimalik:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Sündmuse H₃ kogutõenäosus:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. Jaga:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
Vastus

1/2 ja 1/2. Avatud uks ja kits on samad mis esimeses ülesandes. Muutus vaid ukse 2 tõepära (1 asemel 1/2), sest see saatejuht ei pidanud autot teadlikult vältima.

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
Lemmikuksega saatejuht 5 sammu
Kolm ust, sa valid ukse 1 ja saatejuht teab auto asukohta. Kui auto on ukse 1 taga ning tal on vaba voli avada uks 2 või 3, avab ta ukse 2 tõenäosusega p. Leia tõenäosus, et valiku vahetamine toob võidu ukse 2 avamisel ja ukse 3 avamisel. Seejärel võta p = 1: saatejuht, kes avab alati väikseima numbriga kitseukse. Kontrollimiseks p = 1 korral vajuta Erapoolek, avab ukse 2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Enne tema käiku:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Kumbagi käigu tõepära. Kui auto on ukse 2 või 3 taga, puudub tal valik:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Kummagi käigu kogutõenäosus:
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. Jaga läbi. Ukse 2 järel tähendab vahetamine ukse 3 valimist, ukse 3 järel aga ukse 2 valimist:
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. Kui p = 1:
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
Vastus

Ukse 2 järel võidab vahetamine tõenäosusega 1/(1 + p) ja ukse 3 järel tõenäosusega 1/(2 − p). Mõlemad on vähemalt 1/2 iga p korral vahemikus 0 kuni 1, seega ei anna vahetamine kunagi kehvemat tulemust kui paigalejäämine, olgu saatejuhi eelistus milline tahes. Juhul p = 1 on need 1/2 ja 1; esimese ülesande saatejuhi puhul (p = 1/2) aga mõlemad 2/3.

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
Kui pakkumine ise on tõend 5 sammu
Kolm ust, sa valid ukse 1. Kui tabasid autot, pakub saatejuht alati vahetust; kitse tabamisel teeb ta pakkumise tõenäosusega q. Pakkumise korral avab ta alati kitsega ukse, kahe võimaluse puhul juhuslikult. Ta teeb pakkumise ja avab ukse 3. Millise q korral tuleks vahetada? Monty Hell vastab juhule q = 0: kontrollimiseks vajuta Monty põrgu.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Enne tema käiku:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. Tähistagu H₃ nüüd pakkumist koos ukse 3 avamisega. Kui auto on ukse 1 taga, teeb ta pakkumise kindlasti ja avab ukse 3 pooltel juhtudel; ukse 2 puhul teeb ta pakkumise tõenäosusega q ja peab avama ukse 3; ukse 3 taga oleva auto korral ei saa ta seda avada:
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. Sündmuse H₃ kogutõenäosus:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. Jaga:
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. Võrdle kahte suletud ust:
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
Vastus

Vaheta, kui q > 1/2, ja jää paika, kui q < 1/2; väärtusel q = 1/2 on võimalused võrdsed. Saatejuht, kes teeb alati pakkumise (q = 1), annab vahetamisele tõenäosuse 2/3, Monty Hell (q = 0) aga ei anna midagi. Pakkumine on tõend omaette: kui saatejuht teeb vale valiku korral pakkumise vähem kui poole nii sageli kui õige puhul, tasub paika jääda.

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
Bertrand'i laekad 4 sammu
Kolmes laekas on vastavalt kaks kuldmünti, kaks hõbemünti ning üks kuld- ja üks hõbemünt. Valid juhuslikult laeka ja võtad sealt pimesi ühe mündi. See on kullast. Leia tõenäosus, et ka laeka teine münt on kuldmünt.
Näita lahendust
1. Nimetame laekaid GG, SS ja GS. Enne tõmbamist:
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. Kui tõenäoline on saada kuldmünt igast laekast?
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. Kuldmündi saamise kogutõenäosus:
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. Jaga:
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
Vastus

2/3, mitte 1/2, nagu saaks kahe kulda sisaldada võiva laeka loendamisel. Kuldmüntidega laekast tuleb kuld igal korral, segalaekast aga pooltel juhtudel, mistõttu pärineb kuldmünt kaks korda suurema tõenäosusega esimesest. Joseph Bertrand esitas selle ülesande 1889. aastal teoses Calcul des probabilités, tervelt 86 aastat enne seda, kui Steve Selvin tutvustas kolme ust ajakirja The American Statistician lugejatele.

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kolm vangi, A, B ja C saavad teada, et üks neist valitakse juhuslikult armu saama. A palub valvuril nimetada ühe kahest teisest, kes hukatakse; kui mõlemad lähevad hukkamisele, nimetab valvur ühe juhuslikult. Valvur nimetab vangi B. Leia tõenäosus, et armu saab A, ja tõenäosus, et armu saab C.

Näita vastust

1/3 ja 2/3. See on sama mis kolme ukse ülesanne, kus saatejuhi rollis on valvur.

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
Sada ust. Teadlik saatejuht avab sinu valimata 99 uksest 98 ja kõigi taga on kitsed. Leia tõenäosus oma uksele ja sellele, mille ta jättis suletuks.

Näita vastust

1/100 ja 99/100.

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
Viis ust. Teadlik saatejuht avab nelja valimata ukse seast juhuslikult kaks kitsega ust. Leia tõenäosus oma uksele ja kummalegi ülejäänud kahele suletud uksele.

Näita vastust

1/5 ja kummalegi 2/5.

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
Kümme ust. Teadmatu saatejuht avab sinu 9 valimata uksest juhuslikult 8 ja kõigi 8 taga on kitsed. Leia tõenäosus oma uksele ja teisele suletud uksele ning tõenäosus, et selline saatejuht üldse 8 kitse välja toob.

Näita vastust

1/2 ja 1/2; 8 kitse näitab ta tõenäosusega 1/5.

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
Võta lemmikuksega saatejuhi ülesandes p = 1/3. Ta avab ukse 3. Leia tõenäosus, et valiku vahetamine toob võidu.

Näita vastust

1/(2 − 1/3) = 3/5.

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
Tuhat mängu teadliku saatejuhiga. Millise kahe määra vahele peaks valiku vahetamise võiduprotsent 95% juhtudest jääma?

Näita vastust

2/3 ± 1,96 √((2/3 · 1/3)/1000): 63,74% kuni 69,59%.

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

Vahetamine võidab kahel korral kolmest

Klõpsake valikul Kolm ust. Valite ukse 1, mille taga on auto ühekolmandikulise tõenäosusega. Ükski selle saatejuhi tegevus ei saa seda muuta: ta avaks ukse 3 pooltel kordadel, kui auto asuks teie ukse taga, ja valikuvõimaluse korral teeb ta valiku juhuslikult, seega ei anna tema käik ukse 1 kohta uut teavet. Ta avab ukse 3 ja näitab kitse. Kahekolmandikuline tõenäosus, et auto oli ukse 2 või ukse 3 taga, koondub nüüd täielikult uksele 2, mistõttu vahetamine võidab 2 korral 3-st. Klõpsake valikul 100 ust ja pilt on selge: valisite ühe ukse sajast, saatejuht avab ülejäänutest 98, et näidata kitsi, ning ainus, mille ta suletuks jätab, on just see õige, 99 korral 100-st. Aastal 1990 avaldas Marilyn vos Savant kolme ukse ülesande lahenduse oma ajakirja Parade veerus ja sai tuhandeid kirju, milles väideti, et ta eksib, kusjuures paljudele neist olid alla kirjutanud doktorikraadiga inimesed.

Sama pilt annab teistsuguse vastuse, kui saatejuht ei teadnud

Klõpsake valikul Teadmatu saatejuht. Näete täpselt sama, mida varem: valitud on uks 1, uks 3 on avatud, taga kits. Kuid see saatejuht avas ukse täiesti juhuslikult ja läks autost mööda, mistõttu nüüd võidavad paigalejäämine ja vahetamine mõlemad 1 korral 2-st. Tõenäosus sõltub nähtava olukorra loonud reeglist, mitte ainult sellest, mida te silmaga näete. Saatejuht, kes teab, peab näitama kitse ja teeb võimalusel juhusliku valiku, ei ütle teile teie enda ukse kohta midagi; kogu tõenäosuse, mille ta eemaldab ukselt 3, tõstab ta uksele 2. Juhuslikult ukse 3 avanud saatejuht oleks näidanud seal kitse sama sageli olukorras, kus auto on ukse 1 taga, kui siis, kui see on ukse 2 taga, seega ei soosi kits kumbagi valikut.

See, millise ukse ta avab, võib anda terve vastuse

Klõpsake valikul Erapoolek, avab ukse 2. See saatejuht avab alati vähima numbriga kitseukse, mis võimalik. Uks 2 on see, mille ta avaks olenemata sellest, kas auto on ukse 1 või ukse 3 taga, seega selle nägemine ei soosi kumbagi valikut ning paigalejäämise ja vahetamise tõenäosus on 1 2-st. Klõpsake valikul Erapoolek, avab ukse 3: ta jättis ukse 2 vahele, mida ta teeks vaid siis, kui auto asuks selle taga, mistõttu vahetamine võidab iga kord. Kõigi mängude peale keskmisena arvestades, kus poole tõenäosus esineb kahel kolmandikul kordadest ja kindel võit ühel kolmandikul kordadest, võidab vahetamine endiselt 2 korral 3-st. Monty põrgu on saatejuht, kes pakub vahetust vaid siis, kui olete juba auto leidnud, ja pakkumise korral kaotab vahetamine eranditult alati.

Õpitee

Valik nähtu põhjal

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.