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Théorème des accroissements finis

Saisissez f et l'intervalle d'étude. La corde en pointillés relie les deux extrémités de la courbe ; déplacez c le long du tracé, ou à l'aide du curseur, jusqu'à ce que la tangente en c lui devienne parallèle. Le panneau inférieur trace f′ face à la pente m de la corde : chaque c correspond à leur point d'intersection.

Théorème des accroissements finis f′(c)=f(b)−f(a)b−a,a<c<bf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b
Théorème de Rolle f(a)=f(b) ⇒ f′(c)=0,a<c<bf(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b
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Leçon

La théorie — Théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe au moins un point c strictement compris entre a et b où la tangente est parallèle à la corde, f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Le théorème de Rolle correspond au cas particulier f(a) = f(b), pour lequel f′(c) = 0.

D’où vient la formule

  1. Vérifiez les hypothèses. f ne doit présenter aucune rupture sur [a, b], extrémités comprises, et doit admettre une dérivée en tout point strictement intérieur. Les polynômes, eˣ, sin et cos conviennent sur tout intervalle ; prenez garde aux divisions par zéro, aux racines de nombres négatifs ou aux points anguleux comme celui de |x|.
    lim⁡x→x0f(x)=f(x0)(a≤x0≤b)f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h(a<x<b)\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}
  2. Calculez la pente de la corde. m représente la variation de f(a) à f(b) rapportée à celle de a à b, c'est-à-dire la pente de la droite en pointillés sur la figure.
    m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
  3. Pourquoi un tel c existe. L'écart g entre la courbe et la corde s'annule aux deux extrémités. Une fonction continue sur un segment fermé atteint un maximum et un minimum ; si g n'est pas partout nulle, l'un de ces extremums se situe à l'intérieur, là où la courbe s'éloigne le plus de la corde, et g′ s'y annule. C'est précisément l'égalité f′(c) = m. Sur le graphique, il s'agit du point où la tangente devient parallèle.
    g(x)=f(x)−f(a)−m (x−a)g(a)=g(b)=0⇒ g′(c)=f′(c)−m=0\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}
  4. Résolvez f′(c) = m en ne retenant que les solutions strictement comprises entre a et b. Une valeur située hors de l'intervalle ou sur une borne ne constitue pas un point c valide.
    f′(c)=m,a<c<bf'(c)=m,\qquad a<c<b

Problèmes entièrement résolus

  1. Déterminer c et écarter la racine extérieure 2 étapes

    Montrez que f(x) = x³ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur [0, 3], puis déterminez chaque valeur de c garantie.

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    1. f est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur tout ℝ. La pente de la corde vaut :

      m=f(3)−f(0)3−0=27−03=9m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9

    2. Résolvons f′(c) = m :

      3c2=9 ⇒ c=±33c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}

    Réponse

    c = √3 ≈ 1,7321. La racine −√3 vérifie également 3c² = 9, mais se situe en dehors de ]0, 3[.

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321
  2. Théorème de Rolle : valeurs identiques aux bornes 2 étapes

    Vérifiez le théorème de Rolle pour f(x) = sin x + cos x sur [0, π/2].

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    1. Les fonctions sinus et cosinus sont continues et dérivables sur tout ℝ. Les valeurs aux bornes coïncident :

      f(0)=0+1=1f ⁣(π2)=1+0=1\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}

    2. La corde est donc horizontale et il existe un point c où f′(c) = 0 :

      cos⁡c−sin⁡c=0⇒ tan⁡c=1 ⇒ c=π4\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

    Réponse

    c = π/4 ≈ 0,7854, au sommet de l'arche.

    c=π4≈0.7854c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854
  3. Deux valeurs de c 2 étapes

    Déterminez chaque c promis par le théorème des accroissements finis pour f(x) = x³ − 3x sur [−2, 2].

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    1. Il s'agit d'un polynôme : les deux hypothèses sont satisfaites. La pente de la corde vaut :

      m=f(2)−f(−2)2−(−2)=2−(−2)4=1m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1

    2. Résolvons f′(c) = m :

      3c2−3=1 ⇒ c=±233c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}

    Réponse

    c = −2/√3 ≈ −1,1547 et c = 2/√3 ≈ 1,1547. Toutes deux appartiennent à ]−2, 2[ : le « au moins un » du théorème se traduit ici par deux solutions.

    c=±23≈±1.1547c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547
  4. Une exponentielle : déterminer c grâce au logarithme 2 étapes

    Déterminez la valeur de c issue du théorème des accroissements finis pour f(x) = eˣ sur [0, 1].

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    1. La fonction eˣ est continue et dérivable sur tout ℝ. La pente de la corde vaut :

      m=e1−e01−0=e−1m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1

    2. Résolvons f′(c) = eᶜ = m en appliquant le logarithme :

      ec=e−1 ⇒ c=ln⁡(e−1)e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)

    Réponse

    c = ln(e − 1) ≈ 0,5413, valeur qui appartient bien à ]0, 1[.

    c=ln⁡(e−1)≈0.5413c=\ln(e-1)\approx0{.}5413
  5. Un point anguleux intérieur : aucun c 2 étapes

    Montrez qu'il n'existe aucun c dans ]−1, 2[ vérifiant f′(c) = (f(2) − f(−1))/3 pour f(x) = |x|. En quoi cela ne contredit-il pas le théorème des accroissements finis ?

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    1. La pente de la corde vaut :

      m=∣2∣−∣−1∣2−(−1)=13m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}

    2. En dehors de 0, la dérivée de |x| vaut −1 ou 1, jamais 1/3 :

      f′(x)=−1(x<0)f′(x)=1(x>0)\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}

    Réponse

    Aucun c n'existe. La fonction |x| n'est pas dérivable en 0, qui appartient à l'intervalle ]−1, 2[ : l'hypothèse de dérivabilité n'est pas satisfaite et le théorème ne garantit rien.

    f′(c)≠13  ∀c∈(−1,2)f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)
  6. Une discontinuité intérieure : la conclusion de Rolle prise en défaut 2 étapes

    Pour f(x) = 1/x², on a f(−1) = f(1). Existe-t-il un c dans ]−1, 1[ tel que f′(c) = 0 ? Justifiez.

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    1. Les valeurs aux bornes coïncident, la corde est donc horizontale :

      f(−1)=1(−1)2=1=f(1),m=0f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0

    2. Pourtant, f′ ne s'annule jamais :

      f′(x)=−2x3≠0  (x≠0)f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)

    Réponse

    Non. f n'étant pas définie en 0, elle n'est pas continue sur [−1, 1] : le théorème de Rolle ne s'applique pas et sa conclusion est prise en défaut.

    f′(c)≠0  ∀c∈(−1,1)f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)
  7. Non dérivable sur une borne : le théorème s'applique toujours 2 étapes

    Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à f(x) = √x sur [0, 4] ? Si oui, déterminez c.

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    1. La fonction √x est continue sur [0, 4] et dérivable sur ]0, 4[ ; f′(0) n'existe pas, mais la dérivabilité n'est pas requise aux bornes. La pente de la corde vaut :

      m=4−04−0=12m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}

    2. Résolvons f′(c) = m :

      12c=12 ⇒ c=1 ⇒ c=1\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1

    Réponse

    Oui ; c = 1.

    c=1c=1
  8. Vitesse moyenne entre deux radars 2 étapes

    Une voiture franchit un premier radar puis, 6 minutes plus tard, un second radar situé 12 km plus loin. La limitation est de 100 km/h. Montrez qu'à un certain instant entre les deux radars, la voiture roulait à exactement 120 km/h.

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    1. Notons s(t) la distance parcourue en kilomètres après t heures. La trajectoire ne présentant aucun saut et le véhicule possédant une vitesse à chaque instant, s est continue et dérivable. La vitesse moyenne sur les 0,1 h correspond à la pente de la corde :

      s(0.1)−s(0)0.1−0=120.1=120 km/h\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}

    2. D'après le théorème des accroissements finis, il existe un instant c entre les deux radars où la vitesse instantanée s′(c) lui est égale :

      s′(c)=120 km/h,0<c<0.1s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1

    Réponse

    À un certain instant, la vitesse atteignait exactement 120 km/h : l'automobiliste a donc dépassé la limitation autorisée, même si aucun radar ne l'a mesurée isolément.

    s′(c)=120 km/h>100 km/hs'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}
  9. Majorer f à partir d'une borne sur f′ 2 étapes

    f est dérivable, avec f(1) = 10 et f′(x) ≤ 3 pour tout réel x. Quelle valeur maximale f(5) peut-elle atteindre ?

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    1. Sur [1, 5], le théorème des accroissements finis assure l'existence d'un point c tel que :

      f(5)−f(1)5−1=f′(c),1<c<5\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5

    2. Comme f′(c) ≤ 3 :

      f(5)=f(1)+4f′(c)≤10+4⋅3=22f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22

    Réponse

    f(5) ≤ 22, borne atteinte par f(x) = 3x + 7.

    f(5)≤22f(5)\le22

Exercices supplémentaires, réponses seules

  1. Déterminez c pour f(x) = x² − 4x + 1 sur [0, 5].

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    c = 2,5

    c=52c=\frac{5}{2}

  2. Vérifiez le théorème de Rolle pour f(x) = x³ − 4x sur [0, 2] et déterminez c.

    Afficher la réponse

    c = 2/√3 ≈ 1,1547

    c=23≈1.1547c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547

  3. Déterminez c pour f(x) = ln x sur [1, e].

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    c = e − 1 ≈ 1,7183

    c=e−1≈1.7183c=e-1\approx1{.}7183

  4. Déterminez c pour f(x) = 1/x sur [1, 3].

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    c = √3 ≈ 1,7321

    c=3≈1.7321c=\sqrt{3}\approx1{.}7321

  5. Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à f(x) = |x − 2| sur [0, 3] ? Existe-t-il un c ?

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    Non : point anguleux en x = 2 ; la pente de la corde vaut −1/3 et f′ ne prend que les valeurs ±1, il n'existe donc aucun c

    f′(x)=±1≠−13f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}

  6. f(0) = 5 et f′(x) ≥ −2 pour tout x. Quelle est la plus petite valeur possible pour f(6) ?

    Afficher la réponse

    −7

    f(6)≥−7f(6)\ge-7

Les bornes peuvent faillir, pas l'intérieur

Cliquez sur √x sur [0, 4]. En 0, la courbe démarre à la verticale et f′(0) n'existe pas ; pourtant, c = 1 est bien là, avec une tangente de pente 1/2 parallèle à la corde. Cliquez à présent sur |x| sur [−1, 2]. La corde a pour pente 1/3, chaque tangente présente une pente de −1 ou 1, et aucun c n'apparaît. Tout se joue dans l'emplacement du point singulier. Le théorème ne promettant une valeur de c que strictement entre a et b, la dérivabilité n'est requise qu'à l'intérieur : une borne peut fort bien en manquer. En revanche, la courbe ne saurait s'interrompre à une extrémité, car la corde relierait alors un mauvais point. On impose donc la continuité sur l'intervalle fermé et la dérivabilité sur l'ouvert — voilà pourquoi l'énoncé prend soin de distinguer les crochets fermés des crochets ouverts.

Le théorème derrière chaque + C

Les sujets d'examen demandent rarement de calculer c. Le théorème tire sa grandeur de ce qu'il permet d'établir. Si f′(x) = 0 en tout point d'un intervalle, chaque corde a la pente d'une tangente, c'est-à-dire 0 ; la fonction f prend donc la même valeur en deux points quelconques, ce qui la rend constante. Deux primitives d'une même fonction ayant une différence de dérivée nulle, elles ne diffèrent sur un intervalle que d'une constante. Voilà d'où vient ce fameux + C : c'est un théorème, non une simple convention. La mention d'un intervalle est d'ailleurs décisive. La fonction définie par ln|x| + 1 pour x < 0 et ln|x| − 3 pour x > 0 est tout autant une primitive de 1/x, précisément parce qu'aucun intervalle ne franchit 0. Ce même argument, appliqué à f′ > 0, garantit que chaque corde s'élève et donc que f est croissante — le critère fondamental sur lequel s'appuie la leçon suivante.

Pour une parabole, c est toujours le milieu

Cliquez sur x² sur [1, 3] : on trouve c = 2, pile au milieu. Rien d'un hasard numérique. Pour toute parabole f(x) = px² + qx + r, la pente de la corde s'écrit p(a + b) + q, ce qui coïncide exactement avec f′ en (a + b)/2, et ce quel que soit l'intervalle. Traduit en termes de mouvement, cela signifie qu'à accélération constante, la vitesse moyenne sur une durée donnée équivaut à la vitesse instantanée au milieu de l'intervalle de temps. William Heytesbury a formulé cette règle à Oxford dans les années 1330, et Galilée s'en est inspiré trois siècles plus tard pour l'étude de la chute des corps. Une cubique rompt aussitôt cette symétrie : cliquez sur x³ sur [0, 3] et vous obtenez c = √3 ≈ 1,7321, et non 1,5.

Parcours

Ce que f′ et f″ disent d'une courbe

Références (2)

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.