Règles du produit et du quotient

Soit un rectangle de largeur u et de hauteur v. Faisons progresser x de h : la figure s'enrichit d'une bande à droite, d'une bande au sommet et d'un petit coin dans l'angle. Divisez chaque surface par h, laissez h rétrécir, et observez ce qui subsiste.

Règle du produit	$(uv)'=u'v+uv'$
Règle du quotient	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad v\neq0$

Exemple résolu — Règles du produit et du quotient

Aire en x	6
Bande de droite	3
Bande du haut	4
Coin	2
Gain d'aire total	9
u′ fois v	3
u fois v′	4
Règle du produit, (uv)′	7

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Règles du produit et du quotient

Si u et v sont dérivables en x, la dérivée de leur produit vaut u′v + uv′, et celle de leur quotient (u′v − uv′)/v² partout où v ≠ 0. Ces deux résultats naissent d'une même figure : un rectangle de largeur u et de hauteur v qui s'agrandit avec x.

Ce que signifie chaque symbole

u: la largeur du rectangle, fonction dérivable de x
v: sa hauteur, elle aussi dérivable
h: le pas en x ; Δu = u(x + h) − u(x), et de même pour Δv

D’où vient la formule

Le rectangle s'agrandit. Augmentez x de h. La largeur devient u + Δu et la hauteur v + Δv ; la nouvelle aire moins l'ancienne se décompose alors en trois morceaux : une bande à droite, une bande en haut et le coin. Sur la figure, ce sont les zones bleue, ambrée et carmin.
$(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\,\Delta v$
Divisez par h et laissez h diminuer. Δu/h tend vers u′ et Δv/h vers v′ : les deux bandes fournissent u′v + uv′. Le coin, lui, vaut (Δu/h)·Δv, produit d'un taux par une variation. Or cette variation Δv tend vers 0, car toute fonction dérivable en x y est continue. Dans le second volet, la courbe du coin descend ainsi jusqu'à zéro pendant que les bandes se stabilisent ; la réponse tentante u′v′ est le seul morceau qui disparaît.
$\frac{\Delta A}{h}=\frac{\Delta u}{h}\,v+u\,\frac{\Delta v}{h}+\underbrace{\frac{\Delta u}{h}}_{\to\,u'}\,\underbrace{\Delta v}_{\to\,0}\ \longrightarrow\ u'v+uv'$
Le quotient à partir du produit. Posez le quotient q = u/v, de sorte que u = q·v. Dérivez ce produit grâce à la règle tout juste établie, puis isolez q′. Le signe moins provient de la bande supérieure qv′, passée de l'autre côté de l'égalité. Ce raisonnement suppose acquis que q admet une dérivée. C'est bien le cas partout où v ≠ 0 : Δq = (v·Δu − u·Δv)/(v(v + Δv)), et en divisant par h avant de faire tendre h vers 0, on retrouve la même formule, car v + Δv tend vers v.
$u=qv\ \Rightarrow\ u'=q'v+qv'\ \Rightarrow\ q'=\frac{u'-qv'}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Suppose: La figure suppose deux côtés positifs, mais les règles algébriques s'en affranchissent. Elles restent valables pour toutes fonctions u et v dérivables en x, pourvu que v(x) ≠ 0 dans le cas du quotient.

Problèmes entièrement résolus

Deux polynômes et la tangente en x = 2 4 étapes
Dérivez f(x) = (x² + 1)(3x − 2), vérifiez le résultat en développant d'abord, puis déterminez la tangente en x = 2.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Identifiez les deux facteurs et dérivez chacun d'eux. La dérivée d'une puissance suffit amplement ici :
  
  $u=x^{2}+1,\quad u'=2x;\qquad v=3x-2,\quad v'=3$
2. Formez u′v + uv′ puis réduisez l'expression :
  
  $f'(x)=2x(3x-2)+3\left(x^{2}+1\right)=9x^{2}-4x+3$
3. Développez d'abord le produit, puis dérivez terme à terme. Vous retrouvez le même polynôme, ce qui confirme directement la formule :
  
  $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+3x-2\ \Rightarrow\ f'(x)=9x^{2}-4x+3$
4. En x = 2, la courbe atteint 20 et grimpe avec une pente de 31 : la tangente passe donc par (2, 20) avec une pente de 31 :
  
  $f(2)=5\cdot4=20,\quad f'(2)=36-8+3=31,\qquad y-20=31(x-2)$
Réponse

f′(x) = 9x² − 4x + 3, et la tangente en x = 2 a pour équation y = 31x − 42. Sur la page, la règle donne 31 en x = 2 : 16 proviennent de la bande de droite, u′v = 4 × 4, et 15 de la bande du haut, uv′ = 5 × 3.

$f'(x)=9x^{2}-4x+3,\qquad y=31x-42$
Produit d'une puissance et d'un sinus 3 étapes
Dérivez f(x) = x² sin x et calculez sa pente en x = π/2.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Les facteurs et leurs dérivées :
  
  $u=x^{2},\quad u'=2x;\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. Appliquez la formule. Vous pouvez factoriser par x : c'est sous cette forme qu'il convient de laisser le résultat :
  
  $f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x=x\left(2\sin x+x\cos x\right)$
3. En π/2, le sinus vaut 1 et le cosinus 0 : le second terme s'annule, ne laissant que u′v :
  
  $f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot1+\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot0=\pi$
Réponse

f′(x) = 2x sin x + x² cos x, et f′(π/2) = π ≈ 3,1416. Sur la page, la bande supérieure uv′ indique 0. Parvenue à son sommet, la hauteur sin x a cessé de croître : toute la variation provient de la largeur.

$f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x,\qquad f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi\approx3{.}1416$
Là où la courbe de x·eˣ est horizontale 4 étapes
Déterminez où la courbe de f(x) = x eˣ admet une tangente horizontale, et précisez s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Les facteurs et leurs dérivées. La fonction eˣ est sa propre dérivée :
  
  $u=x,\quad u'=1;\qquad v=e^{x},\quad v'=e^{x}$
2. Assemblez, puis mettez eˣ en facteur. C'est la forme attendue à l'examen, car un produit n'est nul que si l'un de ses facteurs l'est :
  
  $f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$
3. Comme eˣ n'est jamais nul, la pente ne s'annule que là où la parenthèse s'annule :
  
  $e^{x}>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0\iff x=-1,\qquad f(-1)=-e^{-1}\approx-0{.}3679$
4. Testez de part et d'autre. La pente est négative en −2 et positive en 0 : la courbe descend puis remonte :
  
  $f'(-2)=-e^{-2}<0,\qquad f'(0)=1>0$
Réponse

Un minimum en (−1, −1/e) ≈ (−1, −0,3679). En x = −1, la page affiche 0 pour la formule, résultat de deux bandes qui se compensent exactement, 0,3679 et −0,3679. Elle ne peut pas y tracer le rectangle car l'un des côtés, u = −1, est négatif ; la formule n'en a cure.

$f_{\min}=f(-1)=-\tfrac{1}{e}\approx-0{.}3679$
Produit d'une puissance et d'un logarithme 3 étapes
Dérivez f(x) = x³ ln x pour x > 0 et déterminez où elle cesse de décroître.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Les facteurs et leurs dérivées :
  
  $u=x^{3},\quad u'=3x^{2};\qquad v=\ln x,\quad v'=\tfrac{1}{x}$
2. On assemble. Le second terme se simplifie, x³ · 1/x = x², puis x² est commun aux deux termes :
  
  $f'(x)=3x^{2}\ln x+x^{3}\cdot\tfrac{1}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}=x^{2}\left(3\ln x+1\right)$
3. Pour x > 0, x² est strictement positif : seule la parenthèse peut s'annuler :
  
  $3\ln x+1=0\ \Rightarrow\ \ln x=-\tfrac13\ \Rightarrow\ x=e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Réponse

f′(x) = x²(3 ln x + 1), qui s'annule en x = e^(−1/3) ≈ 0,7165. À gauche, la parenthèse est négative et f décroît ; à droite, elle croît. En x = 1, la page affiche u′v = 0 car ln 1 = 0 : la totalité du taux de 1 provient de la seconde bande. Faites glisser x de 0,71 à 0,72 et observez le résultat changer de signe, de −0,0138 à 0,0075.

$f'(x)=x^{2}\left(3\ln x+1\right),\qquad f'\!\left(e^{-1/3}\right)=0,\quad e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Produit d'une racine carrée et d'un polynôme 4 étapes
Dérivez f(x) = √x (x² − 4) et écrivez le résultat sous la forme d'une seule fraction.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Écrivez d'abord √x sous forme de puissance : la formule des puissances s'applique ensuite normalement :
  
  $u=x^{1/2},\quad u'=\tfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}};\qquad v=x^{2}-4,\quad v'=2x$
2. On assemble :
  
  $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}$
3. Réduisez les deux termes au même dénominateur 2√x. Comme √x · √x = x, le second terme s'écrit 4x²/(2√x) :
  
  $2x\sqrt{x}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4+4x^{2}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
4. Une vérification en x = 4, où √x = 2 :
  
  $f'(4)=\dfrac{80-4}{2\cdot2}=\dfrac{76}{4}=19$
Réponse

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x). En x = 4, la page affiche 19 : 3 proviennent de la bande de droite et 16 de la bande du haut.

$f'(x)=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
eˣ sin x, dérivée deux fois 3 étapes
Déterminez f′(x) et f″(x) pour f(x) = eˣ sin x.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Les facteurs et leurs dérivées :
  
  $u=e^{x},\quad u'=e^{x};\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. On assemble et on met eˣ en facteur :
  
  $f'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)$
3. f′ est elle-même un produit, celui de eˣ par (sin x + cos x) : on applique la règle une seconde fois. Les sinus s'annulent :
  
  $f''(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)+e^{x}\left(\cos x-\sin x\right)=2e^{x}\cos x$
Réponse

f′(x) = eˣ(sin x + cos x) et f″(x) = 2eˣ cos x. En x = 0, la page affiche f′ = 1, qui provient entièrement de la bande du haut, e⁰ cos 0. La dérivée seconde dépasse ce que la page propose d'emblée, mais vous pouvez la lui faire calculer : saisissez u = e^x et v = sin(x) + cos(x), et le résultat affiché en 0 donne f″(0) = 2.

$f'(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right),\qquad f''(x)=2e^{x}\cos x$
tan x sous forme de quotient 3 étapes
Écrivez tan x sous la forme sin x / cos x et dérivez-la avec la règle du quotient. Quelle est sa pente en x = π/4 ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Le numérateur, le dénominateur et leurs dérivées :
  
  $\begin{aligned}u&=\sin x,&u'&=\cos x\\v&=\cos x,&v'&=-\sin x\end{aligned}$
2. On assemble les termes : au numérateur, cos²x + sin²x vaut 1 :
  
  $\begin{aligned}(\tan x)'&=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x\,(-\sin x)}{\cos^{2}x}\\&=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\end{aligned}$
3. En π/4, le cosinus vaut √2/2, et son carré vaut donc un demi :
  
  $\begin{aligned}&\cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac12\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Réponse

(tan x)′ = 1/cos²x = sec²x, et la pente en π/4 vaut 2. Sur la page, u′v affiche 0,5 et uv′ affiche −0,5. Comme la règle soustrait le second, le numérateur vaut 1 et non 0. Puisque cos²x ne dépasse jamais 1, la pente n'est jamais inférieure à 1 : partout où elle est définie, tan x monte au moins aussi vite que y = x.

$\begin{aligned}&(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Où x/(x² + 1) change de sens 3 étapes
Trouvez les points stationnaires de f(x) = x/(x² + 1) et déterminez lequel est un maximum et lequel est un minimum.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Le numérateur, le dénominateur et leurs dérivées :
  
  $\begin{aligned}u&=x,&u'&=1\\v&=x^{2}+1,&v'&=2x\end{aligned}$
2. On rassemble et on simplifie le numérateur :
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}$
3. Le dénominateur, (x² + 1)², est positif pour tout x : f′ a donc le signe de 1 − x², nul en ±1, positif entre les deux et négatif à l'extérieur.
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=0\iff x=\pm1\\&f'(0)=1>0,\qquad f'(\pm2)=-\tfrac{3}{25}<0\end{aligned}$
Réponse

Un maximum f(1) = 1/2 et un minimum f(−1) = −1/2. En x = 1, la page affiche 2 pour u′v comme pour uv′ : leur différence, et avec elle la pente, vaut 0.

$f_{\max}=f(1)=\tfrac12,\qquad f_{\min}=f(-1)=-\tfrac12$
Diviser d'abord 3 étapes
Dérivez f(x) = (x³ − 2)/x² de deux manières, avec la règle du quotient et en divisant d'abord, puis déterminez sa pente en x = 1.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Par la règle du quotient, avec u = x³ − 2 et v = x² :
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{3x^{2}\cdot x^{2}-\left(x^{3}-2\right)\cdot2x}{x^{4}}\\&=\dfrac{x^{4}+4x}{x^{4}}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
2. En divisant d'abord, le quotient se décompose en deux puissances, et chacune se dérive séparément :
  
  $\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{2}}=x-2x^{-2}\\f'(x)&=1+4x^{-3}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
3. Les deux méthodes mènent à la même dérivée, et en x = 1 :
  
  $f'(1)=1+4=5$
Réponse

f′(x) = 1 + 4/x³, et f′(1) = 5. Quand le dénominateur est une simple puissance de x, divisez chaque terme du numérateur par celle-ci : vous n'avez pas besoin de la règle du quotient. La page applique toujours la règle : en x = 1, elle affiche u′v = 3 et uv′ = −2, de sorte que le numérateur de sa fraction vaut 3 − (−2) = 5, sur v² = 1.

$f'(x)=1+\dfrac{4}{x^{3}},\qquad f'(1)=5$
Une boîte dont les trois côtés varient 4 étapes
Donnez au rectangle une profondeur w = 3 − x, de sorte que la boîte ait pour côtés x + 1, 2x + 1 et 3 − x. Calculez le taux de variation de son volume en x = 1, puis la valeur exacte de ΔV/h pour un pas h. Cliquez sur Exemple résolu : en x = 1, la page affiche (uv)′ = 7, et ΔA/h = 8 pour h = ½.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Voyez la boîte comme le rectangle uv multiplié par la profondeur w et appliquez deux fois la règle du produit. La page s'est déjà chargée du produit intérieur :
  
  $(uvw)'=(uv)'\,w+uv\,w'=7\cdot2+6\cdot(-1)=8$
2. Vérifiez en pourcentages. Les côtés varient de 1 sur 2, 2 sur 3 et −1 sur 2 de leur valeur ; or, pour un produit, les taux s'additionnent :
  
  $\frac{V'}{V}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3},\qquad V'=12\cdot\frac{2}{3}=8$
3. Passons au pas exact. Des côtés rectilignes donnent Δu = h, Δv = 2h et Δw = −h : en développant, il reste trois plaques, trois arêtes et un cube d'angle :
  
  $\Delta V=(2+h)(3+2h)(2-h)-12=8h-3h^{2}-2h^{3}$
4. Divisez par h. Les plaques donnent la dérivée ; les arêtes et le cube portent les puissances de h qui s'évanouissent :
  
  $\frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2},\qquad h=1:\ 3,\qquad h=\tfrac{1}{2}:\ 6$
Réponse

V′(1) = 8, et exactement ΔV/h = 8 − 3h − 2h². Les trois plaques u′vw, uv′w et uvw′ (6, 8 et −6) survivent au passage à la limite ; les trois arêtes, valant −3 en tout, portent h, et le cube u′v′w′ = −2 porte h². Un pas d'une unité entière fait varier le volume de 3, le faisant passer de 12 à 15, ce qui est bien loin de 8 : pour h = 1, les arêtes et le cube pèsent tout autant que le reste.

$V'(1)=8,\qquad \frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Dérivez (2x + 1)(x² − 3).

Afficher la réponse

6x² + 2x − 6

$f'(x)=6x^{2}+2x-6$
Dérivez x³eˣ et donnez le résultat sous forme factorisée.

Afficher la réponse

x²eˣ(x + 3)

$f'(x)=x^{2}e^{x}(x+3)$
Dérivez (x + 1)/(x − 1).

Afficher la réponse

−2/(x − 1)², négative partout où elle est définie

$f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$
Déterminez où ln x / x est stationnaire, ainsi que sa valeur en ce point.

Afficher la réponse

f′(x) = (1 − ln x)/x², nulle en x = e, où f = 1/e ≈ 0,3679

$\begin{aligned}&f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\\&x=e,\quad f(e)=\tfrac1e\approx0{.}3679\end{aligned}$
Dérivez sin x / x.

Afficher la réponse

(x cos x − sin x)/x²

$f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$
Déterminez la tangente à y = x/(x + 1) en x = 1.

Afficher la réponse

y′ = 1/(x + 1)², d'où une pente de 1/4 et une tangente d'équation y = x/4 + 1/4

$y=\tfrac14x+\tfrac14$

La fausse règle n'est que le coin

Cliquez sur Le coin et observez un pas entier. Le rectangle gagne une bande à droite, une bande en haut et un petit coin : ce coin vaut exactement u′v′. Divisez à présent h par deux, puis encore par deux. Divisées par h, les deux bandes gardent leur taille ; le coin rétrécit avec h et disparaît à la limite. L'hypothèse (uv)′ = u′v′ retient donc l'unique morceau que la limite élimine, et rejette les deux qu'elle conserve. Leibniz avait formulé cette conjecture dans un manuscrit du 11 novembre 1675, avant de la réfuter lui-même quelques pages plus loin avec x fois x.

En pourcentage, les taux s'additionnent pour un produit et se soustraient pour un quotient

Cliquez sur Pourcentages. L'un des côtés croît de 3 % de sa longueur par unité de x, l'autre de 2 %, et l'aire augmente de 5 %. Divisez la règle du produit par uv : pour chaque x et pour tout couple de fonctions, elle affirme précisément que les taux relatifs s'additionnent. Ils s'additionnent aussi lorsque l'un d'eux est négatif ; c'est pourquoi augmenter les prix de 3 % quand les ventes reculent de 2 % accroît les recettes d'environ 1 %. Cliquez sur Rapport : ces deux mêmes côtés produisent un quotient qui progresse de 1 %, car pour un quotient, les taux se soustraient. Le signe moins de la règle du quotient traduit exactement cette soustraction.

Deux bandes qui s'annulent dans le produit s'additionnent dans le quotient

Cliquez sur Équilibre : les côtés valent sin x et cos x, en x = π/4. La largeur grandit exactement au même rythme que la hauteur rétrécit ; les deux bandes sont égales et opposées, et l'aire cesse de varier. Le rectangle ne sera jamais plus grand. Cliquez sur tan x : ces deux mêmes bandes entrent dans la règle du quotient, où le signe moins transforme la compensation en addition. Quand v diminue, le quotient augmente : la bande perdue dans le produit devient alors un gain pour le quotient.

Parcours

Dérivation : comment se combinent les taux

Références (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.