La méthode des tubes

Faites tourner une région plane autour de l'axe des ordonnées : vous pouvez la découper transversalement en rondelles, ou longitudinalement en minces tubes de rayon x et de hauteur h(x). Le volume reste le même dans les deux cas, et la page mène les deux calculs indépendamment. La seule différence réside dans la difficulté de l'intégrale — et c'est l'orientation de votre découpage qui en décide.

Tubes autour de l'axe des ordonnées	$V=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$
Pappus	$V=A\cdot2\pi\bar r$

Exemple résolu — La méthode des tubes

Aire latérale du tube en x	0,7854
Volume par les tubes	1,5708
Volume par rondelles, selon y	1,5708
Tube en x	2πx·h(x)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La méthode des tubes

La rotation du domaine situé sous y = h(x), pour a ≤ x ≤ b, autour de l'axe des ordonnées engendre un solide dont le volume s'exprime par V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx grâce aux tubes cylindriques : chaque bande élémentaire en x balaie un mince cylindre de rayon x, de hauteur h(x) et d'épaisseur dx.

Ce que signifie chaque symbole

h(x): la hauteur du domaine en x, bord supérieur moins bord inférieur
x: le rayon du tube : sa distance à l'axe de rotation

D’où vient la formule

Un tube élémentaire. Une fois déroulé, un mince cylindre de rayon x, de hauteur h et d'épaisseur Δx forme une plaque quasi plane de longueur 2πx et de hauteur h, ce qui donne un volume voisin de 2πx·h·Δx.
$\Delta V\approx(2\pi x)\cdot h(x)\cdot\Delta x$
Sommer les tubes. Additionnez les bandes et faites tendre Δx vers zéro.
$V=\lim\sum_{i}2\pi x_i\,h(x_i)\,\Delta x=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$

Problèmes entièrement résolus

Le même solide, deux méthodes 2 étapes
On fait tourner le domaine sous y = x² sur [0, 1] autour de l'axe des ordonnées. Calculez le volume par les tubes et par les rondelles.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Par les tubes : rayon x, hauteur x².
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\cdot x^{2}\,dx=2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}$
2. Par les rondelles : selon l'axe y, le domaine s'étend de x = √y jusqu'à x = 1.
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(1^{2}-\bigl(\sqrt{y}\bigr)^{2}\right)dy=\pi\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi}{2}$
Réponse

π/2 ≈ 1,5708 par les deux méthodes.

$V=\tfrac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
Quand les tubes s'imposent 2 étapes
Faites tourner le domaine situé sous y = sin x sur [0, π] autour de l'axe des ordonnées. Calculez le volume.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Par les tubes : rayon x, hauteur sin x.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
2. Intégration par parties de ∫x sin x dx avec u = x, dv = sin x dx :
  
  $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0$
Réponse

2π² ≈ 19,7392. Par les rondelles, il faudrait intégrer arcsin y, raison pour laquelle personne ne s'y aventure.

$V=2\pi^{2}\approx19{.}7392$
Un domaine entre deux courbes 1 étapes
On fait tourner le domaine compris entre y = x et y = x² sur [0, 1] autour de l'axe des ordonnées. Calculez le volume.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Par les tubes : rayon x, hauteur x − x².
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(x-x^{2}\right)dx=2\pi\left(\tfrac13-\tfrac14\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Réponse

π/6 ≈ 0,5236.

$V=\tfrac{\pi}{6}\approx0{.}5236$
Un tore 2 étapes
On fait tourner le disque (x − 2)² + y² ≤ 1 autour de l'axe des ordonnées. Calculez le volume.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. Par le théorème de Pappus : l'aire multipliée par la distance parcourue par le centre.
  
  $V=A\cdot d=\pi\cdot1^{2}\cdot2\pi\cdot2=4\pi^{2}$
2. Par les tubes, la hauteur en x vaut 2√(1 − (x − 2)²) :
  
  $V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot2\sqrt{1-(x-2)^{2}}\,dx\overset{u=x-2}{=}4\pi\int_{-1}^{1}(u+2)\sqrt{1-u^{2}}\,du=4\pi\cdot2\cdot\tfrac{\pi}{2}$
Réponse

4π² ≈ 39,4784. L'intégrale par les tubes exige un changement de variable et l'aire d'un demi-disque ; Pappus conclut en une seule ligne.

$V=4\pi^{2}\approx39{.}4784$
Une racine par les tubes 1 étapes
On fait tourner le domaine sous y = √x sur [0, 4] autour de l'axe des ordonnées. Calculez le volume.
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1. Par les tubes : rayon x et hauteur √x, de sorte que l'expression à intégrer est une simple puissance de x.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{4}x\sqrt{x}\,dx=2\pi\Bigl[\tfrac25x^{5/2}\Bigr]_{0}^{4}=2\pi\cdot\tfrac{64}{5}$
Réponse

128π/5 ≈ 80,4248.

$V=\tfrac{128\pi}{5}\approx80{.}4248$
Des tubes autour de l'axe des abscisses 2 étapes
Utilisez la méthode des tubes pour calculer le volume obtenu par rotation du domaine sous y = x² sur [0, 1] autour de l'axe des abscisses.
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1. Autour de l'axe des abscisses, les tubes s'étirent le long de x : leur rayon vaut y et leur longueur va de x = √y à x = 1.
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}y\left(1-\sqrt{y}\right)dy=2\pi\left(\tfrac12-\tfrac25\right)=\tfrac{\pi}{5}$
2. Vérification par les disques :
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{2}\right)^{2}dx=\tfrac{\pi}{5}$
Réponse

π/5 ≈ 0,6283 par les deux méthodes. Les tubes sont toujours parallèles à l'axe de rotation, et leur rayon correspond à la distance qui les en sépare.

$V=\tfrac{\pi}{5}\approx0{.}6283$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Faites tourner le domaine situé sous la courbe y = 1/x, pour 1 ≤ x ≤ 3, autour de l’axe des ordonnées. Calculez le volume du solide obtenu.

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4π ≈ 12,5664. Pour chaque coquille cylindrique, 2πx · (1/x) = 2π : l’intégrande est donc constant.

$V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot\frac{1}{x}\,dx=4\pi\approx12{.}5664$
Faites tourner le domaine situé sous la courbe y = x², pour 0 ≤ x ≤ 1, autour de la droite x = 2. Calculez le volume du solide obtenu.

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5π/6 ≈ 2,618. La coquille cylindrique d’abscisse x a pour rayon 2 − x, sa distance à l’axe de rotation, et non x.

$V=2\pi\int_{0}^{1}(2-x)\,x^{2}\,dx=\frac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
Faites tourner le domaine situé sous la courbe y = e^−x², pour 0 ≤ x ≤ 1, autour de l’axe des ordonnées. Calculez le volume du solide obtenu.

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π(1 − 1/e) ≈ 1,9859. Le facteur x provenant du rayon de la coquille cylindrique permet de calculer ∫ x e^−x² dx à l’aide de fonctions élémentaires ; e^−x² seule n’admet pas de primitive élémentaire.

$V=2\pi\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}}\,dx=\pi\left(1-\tfrac1e\right)\approx1{.}9859$

Deux découpages, un seul volume

Cliquez sur y = x², deux méthodes. Les tubes découpent le solide en cylindres emboîtés de rayon x et de hauteur x², puis intègrent 2πx·x² sur [0, 1]. Les rondelles le tranchent perpendiculairement à l'axe en disques de rayon 1 évidés d'un rayon √y, et intègrent π(1 − y) sur [0, 1]. Ces calculs sont menés séparément et donnent tous deux 1,5708 = π/2. Rien de plus normal : ce sont deux façons de découper le même solide en morceaux infinitésimaux, et le volume ne dépend pas du couteau.

Tranchez dans la direction où le domaine est simple à décrire

Cliquez sur sin x : tubes gagnants. Ce domaine se décrit très aisément selon la variable x, avec 0 ≤ y ≤ sin x pour 0 ≤ x ≤ π. La méthode des tubes donne alors 2π∫x sin x dx, qui se résout par une seule intégration par parties pour donner 2π². En revanche, découpé selon y, le domaine s'étend de arcsin y à π − arcsin y ; les rondelles imposent donc d'évaluer π∫((π − arcsin y)² − (arcsin y)²) dy. La page effectue ce calcul et retrouve bien 19,7392, mais personne n'aurait l'idée de s'infliger cela à la main. Avant de choisir une méthode, observez par rapport à quelle variable les frontières du domaine s'expriment le plus simplement : vos découpes doivent alors s'aligner sur l'autre.

Un tore : l'aire d'un disque fois la distance parcourue par son centre

Cliquez sur Un tore. En tournant, le disque de rayon 1 centré en x = 2 balaie l'espace pour former un anneau : les tubes lui trouvent un volume de 39,4784 = 4π². Il s'agit tout bonnement de l'aire du disque, π, multipliée par la distance parcourue par son centre autour de l'axe, soit 2π·2 = 4π. Pappus d'Alexandrie avait déjà énoncé ce résultat vers 340, au livre VII de sa Collection mathématique, pour toute région en rotation autour d'un axe qui ne la coupe pas ; Paul Guldin le publia de nouveau en 1640, et le théorème porte souvent son nom.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.