Accumulation et mouvement

Intégrez la vitesse et vous obtenez la variation de position. Intégrez sa valeur absolue et vous trouvez la distance réellement parcourue. Dès que le mobile fait demi-tour, ces deux grandeurs divergent. La page colore les phases d'avance et de recul, trace la position et met en évidence les instants où la vitesse égale sa propre moyenne.

Distance et déplacement	$\int_{a}^{b}v\,dt=s(b)-s(a),\qquad d=\int_{a}^{b}\left\|v\right\|dt$
Valeur moyenne	$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$

Exemple résolu — Accumulation et mouvement

Déplacement	1,3333
Distance parcourue, découpée aux demi-tours	4
Vitesse moyenne	0,3333
Vitesse scalaire moyenne	1
Instants où v égale sa moyenne	0,8453, 3,1547

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Accumulation et mouvement

Pour une vitesse v(t) sur [a, b], le déplacement vaut ∫ₐᵇ v dt et la distance parcourue vaut ∫ₐᵇ |v| dt. La valeur moyenne d'une fonction f sur [a, b] est (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt : c'est la hauteur du rectangle construit sur [a, b] ayant la même aire que f.

Ce que signifie chaque symbole

v̄: la vitesse moyenne, quotient du déplacement par le temps écoulé

D’où vient la formule

Distance : découpez aux demi-tours. Dès que v change de signe, le mobile rebrousse chemin et |v| change d'expression. Intégrez entre deux demi-tours successifs, puis additionnez les valeurs absolues.
$\int_{a}^{b}\left|v\right|dt=\sum_{i}\left|\int_{t_i}^{t_{i+1}}v\,dt\right|,\qquad v(t_i)=0$
La moyenne est atteinte. Une fonction continue f sur [a, b] prend toutes les valeurs situées entre son minimum m et son maximum M. Sa moyenne étant comprise entre les deux, f égale nécessairement sa moyenne en un point c.
$m\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\,dt\le M\ \Rightarrow\ f(c)=\bar f$

Problèmes entièrement résolus

Valeur moyenne et instant où elle est atteinte 2 étapes
Déterminez la valeur moyenne de f(t) = t² sur [0, 3], ainsi que l'instant où f prend cette valeur.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Divisez l'intégrale par la longueur de l'intervalle :
  
  $\bar f=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}\cdot9=3$
2. Résolvez f(c) = 3 sur l'intervalle :
  
  $c^{2}=3\ \Rightarrow\ c=\sqrt3$
Réponse

Moyenne de 3, atteinte en c = √3 ≈ 1,7321. Et non au milieu 1,5, où t² ne vaut encore que 2,25.

$\bar f=3,\quad c=\sqrt3\approx1{.}7321$
Déplacement et distance 2 étapes
Un mobile se déplace à la vitesse v(t) = t² − 4t + 3 pour 0 ≤ t ≤ 4. Déterminez son déplacement et la distance parcourue.

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1. Le déplacement s'obtient par l'intégrale directe :
  
  $\int_{0}^{4}\left(t^{2}-4t+3\right)dt=\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t\Bigr]_{0}^{4}=\tfrac{4}{3}$
2. Le mobile fait demi-tour quand v = 0, en t = 1 et t = 3 ; découpez le calcul en ces points :
  
  $\tfrac43+\left|-\tfrac43\right|+\tfrac43=4$
Réponse

Déplacement 4/3, distance 4. Chacun des trois tronçons couvre 4/3, le tronçon central s'effectuant en marche arrière.

$\Delta s=\tfrac43,\qquad d=4$
Position à partir de la vitesse et du point de départ 2 étapes
Soit v(t) = 3t² − 6t avec s(0) = 2. Déterminez s(t) ainsi que la position à t = 3.
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1. La position est égale au point de départ augmenté de la vitesse accumulée :
  
  $s(t)=2+\int_{0}^{t}\left(3\tau^{2}-6\tau\right)d\tau=t^{3}-3t^{2}+2$
2. En t = 3 :
  
  $s(3)=27-27+2=2$
Réponse

s(t) = t³ − 3t² + 2, et s(3) = 2. Retour au point de départ : le mobile a reculé jusqu'à t = 2, où s = −2, avant de repartir vers l'avant.

$s(t)=t^{3}-3t^{2}+2,\qquad s(3)=2$
Valeur moyenne d'un sinus 1 étapes
Déterminez la valeur moyenne de sin t sur [0, π].

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1. L'intégrale sur l'arche, divisée par sa largeur :
  
  $\bar f=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{\pi}\Bigl[-\cos t\Bigr]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}$
Réponse

2/π ≈ 0,6366. La page met en évidence les deux instants où elle est atteinte, en 0,6901 et π − 0,6901 = 2,4515.

$\bar f=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$
Accumulation à partir d'un débit 1 étapes
De l'eau s'écoule dans un réservoir au débit de r(t) = 20 − 4t litres par minute pour 0 ≤ t ≤ 5. Quel volume d'eau y pénètre ?
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1. Le volume correspond à l'intégrale du débit :
  
  $\int_{0}^{5}(20-4t)\,dt=\Bigl[20t-2t^{2}\Bigr]_{0}^{5}=100-50$
Réponse

50 litres. Le débit s'annule à t = 5, donc ce volume correspond à l'aire d'un triangle de base 5 et de hauteur 20 : une vérification directe sans calcul intégral.

$50\ \mathrm{L}$
Un aller-retour 2 étapes
Soit v(t) = sin t sur [0, 2π]. Déterminez la vitesse moyenne et la vitesse scalaire moyenne.

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1. Le déplacement sur le cycle complet est nul :
  
  $\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0$
2. Le calcul de distance se sépare en π :
  
  $\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt-\int_{\pi}^{2\pi}\sin t\,dt\right)=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}$
Réponse

Vitesse moyenne 0, vitesse scalaire moyenne 2/π ≈ 0,6366. Tout aller-retour a une vitesse moyenne nulle, quelle que soit la vitesse atteinte.

$\bar v=0,\qquad\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Calculez la valeur moyenne de la fonction 1/x sur [1 ; e] et déterminez en quel point elle est atteinte.

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1/(e − 1) ≈ 0,582, atteinte pour x = e − 1 ≈ 1,7183.

$\bar f=\frac{1}{e-1}\approx0{.}582,\qquad c=e-1\approx1{.}7183$
Une particule initialement au repos a pour accélération a(t) = 6t − 6. Déterminez v(t), puis le déplacement et la distance parcourue pour 0 ≤ t ≤ 3.

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v(t) = 3t² − 6t. Le déplacement est de 0 et la distance parcourue de 8 : la particule recule de 4 jusqu’à t = 2, puis avance de 4.

$v(t)=3t^{2}-6t,\qquad\Delta s=0,\qquad d=8$
Un réservoir perd 10e^−0,2t litres par minute. Quel volume s’en échappe au cours des 10 premières minutes ?

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50(1 − e⁻²) ≈ 43,2 litres. Quelle que soit la durée de la fuite, le volume total perdu reste inférieur à 50 litres.

$\int_{0}^{10}10e^{-0.2t}\,dt=50\left(1-e^{-2}\right)\approx43{.}2\ \mathrm{L}$
La température t heures après 6 h du matin est donnée par T(t) = 20 + 5 sin(πt/12) °C. Calculez la température moyenne sur les 12 premières heures.

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20 + 10/π ≈ 23,2 °C.

$\bar T=20+\frac{10}{\pi}\approx23{.}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$
Déterminez b > 0 pour que la valeur moyenne de x² sur [0 ; b] soit égale à 12.

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b = 6, puisque b²/3 = 12.

$\frac{b^{2}}{3}=12\ \Rightarrow\ b=6$

Le déplacement indique la position finale ; seule la distance mesure le chemin parcouru

Cliquez sur Trois fois plus loin. La vitesse t² − 4t + 3 reste positive jusqu'à t = 1, devient négative entre 1 et 3, puis redevient positive. Si vous l'intégrez sur [0, 4], la phase de recul compense une partie des phases d'avance : le mobile finit à 1,3333 de son point de départ. Pourtant, il a parcouru 4, soit trois fois cette distance, car chacun des trois tronçons représente 4/3 et seule la valeur absolue les cumule toutes au titre de la distance. L'intégrale de la vitesse indique où l'on arrive. Pour mesurer la distance réelle, découpez le trajet à chaque demi-tour et additionnez les tronçons comme des grandeurs positives.

La valeur moyenne est toujours atteinte, mais rarement au milieu

Cliquez sur t² : pas au milieu. La moyenne de t² sur [0, 3] vaut 9/3 = 3, et la ligne en pointillés coupe la courbe en un point unique, en t = √3 ≈ 1,7321. Le milieu de l'intervalle se situe à 1,5, où t² n'atteint encore que 2,25. Pour une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires garantit que cette moyenne est toujours atteinte quelque part, puisqu'elle est comprise entre le minimum et le maximum. L'instant exact dépend du profil de la fonction : une courbe qui grimpe plus vite vers la fin, comme t², n'atteint sa moyenne que tardivement.

Une oscillation complète a une vitesse moyenne nulle, mais une vitesse scalaire non nulle

Cliquez sur Une oscillation complète. Sur un tour complet, sin t avance puis revient à son point de départ : le déplacement est de 0, la vitesse moyenne est donc de 0, bien qu'entre le départ et l'arrivée, il ne s'arrête qu'au demi-tour. La vitesse scalaire moyenne, distance sur le temps, vaut 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Cliquez maintenant sur Une demi-oscillation : la valeur moyenne de sin t sur [0, π] vaut elle aussi 2/π. Ce n'est pas un hasard : la seconde moitié de l'oscillation parcourt la même distance que la première en un temps identique. La vitesse scalaire moyenne sur le tour complet égale ainsi la vitesse moyenne sur la demi-oscillation.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.