Laboratoire de Quantité de Mouvement & Collisions

Simulez les collisions de chariots en 1D pour explorer la conservation de la quantité de mouvement, les variations de l'énergie cinétique et le coefficient de restitution.

La quantité de mouvement se conserve lors de chaque choc	$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$
Restitution : e = 1 élastique, e = 0 ils restent collés	$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2),\qquad 0\le e\le1$
Impulsion : la variation de quantité de mouvement	$J=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$

Exemple résolu — Laboratoire de Quantité de Mouvement & Collisions

Quantité de Mouv. Initiale (Pi)	3 kg·m/s
Chariot 1 après (v₁)	−1,8 m/s
Chariot 2 après (v₂)	2,2 m/s
Vitesse d'éloignement	4 m/s
Quantité de Mouv. Finale (Pf)	3 kg·m/s
Énergie Initiale (Ki)	10,5 J
Énergie Finale (Kf)	10,5 J
Énergie cinétique perdue	0 J (0%)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Laboratoire de Quantité de Mouvement & Collisions

La quantité de mouvement d'un corps est le produit de sa masse par sa vitesse, p = mv ; à une dimension, son signe fixe son sens de déplacement. Pendant le choc, les deux chariots n'agissent que l'un sur l'autre : leur quantité de mouvement totale reste donc la même après la collision qu'avant, quoi qu'il advienne de leur énergie cinétique.

Ce que signifie chaque symbole

p: quantité de mouvement, mv, en kg·m/s. L'axe étant orienté vers la droite, un chariot se déplaçant vers la gauche possède une quantité de mouvement négative.
u: une vitesse avant le choc : u₁ pour le chariot 1 à gauche, u₂ pour le chariot 2 à droite. La collision n'a lieu que si u₁ > u₂.
v: une vitesse après le choc.
e: le coefficient de restitution, soit le rapport entre la vitesse d'éloignement des chariots et leur vitesse d'approche. La valeur 1 restitue toute l'énergie cinétique du mouvement relatif ; 0 fait qu'ils restent collés.
J: l'impulsion, c'est-à-dire la variation de quantité de mouvement d'un chariot, en N·s. Pour un contact durant Δt, elle est égale à la force moyenne multipliée par Δt.

D’où vient la formule

L'impulsion mesure la variation de quantité de mouvement. C'est la deuxième loi de Newton intégrée sur le contact : la force exercée multipliée par sa durée d'action correspond à la quantité de mouvement transmise.
$J=\int F\,dt=\bar F\,\Delta t=m(v-u)=\Delta p$
La troisième loi de Newton rend les deux impulsions égales et opposées. Chaque chariot pousse l'autre avec une force identique à celle qu'il subit, pendant la même durée de contact : tout ce que gagne le chariot 2, le chariot 1 le perd.
$\begin{gathered}m_2(v_2-u_2)=-m_1(v_1-u_1)\\ \Rightarrow\ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2\end{gathered}$
C'est une équation pour deux inconnues, et la restitution apporte la seconde. Elle compare la vitesse d'éloignement des chariots à leur vitesse d'approche, et constitue le seul endroit où intervient la nature du choc.
$v_2-v_1=e\,(u_1-u_2)$
Résolvez le système. Ce sont précisément les formules qu'évalue le tableau de résultats.
$\begin{gathered}v_1=\frac{(m_1-em_2)u_1+m_2(1+e)u_2}{m_1+m_2}\\ v_2=\frac{(m_2-em_1)u_2+m_1(1+e)u_1}{m_1+m_2}\end{gathered}$
L'énergie cinétique perdue ne dépend que de la vitesse relative. Elle est nulle pour e = 1 et maximale pour e = 0, lorsque les chariots s'agrègent ; deux masses données se percutant à la même vitesse relative perdront la même énergie, peu importe le mouvement d'ensemble de la paire.
$\Delta K=\tfrac12\,\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,(1-e^{2})\,(u_1-u_2)^{2}$

Suppose: Les chariots se déplacent sur une même droite et n'ont de contact qu'entre eux lors de l'impact : les frottements et la piste n'apportent donc aucune impulsion pendant cette durée. La restitution se résume à une valeur unique pour le couple de matériaux, bien qu'en réalité elle diminue avec la violence du choc. Les parois de l'animation restent extérieures au système des deux chariots : le rebond contre un mur inverse le sens d'un chariot, ce qui modifie la quantité de mouvement totale sans toucher à l'énergie cinétique.

Les deux chariots reçoivent la même impulsion

Quelles que soient leurs masses, les deux chariots reçoivent des impulsions de même valeur et de sens opposés. Chacun pousse l'autre avec une intensité strictement égale à celle qu'il subit (c'est la troisième loi de Newton), pendant une durée de contact identique : la conservation de la quantité de mouvement traduit simplement l'annulation mutuelle de ces deux impulsions. Cliquez sur Léger rebondit sur lourd : l'impulsion sur le chariot de 8 kg vaut 5,3333 N·s, et la quantité de mouvement du chariot de 1 kg varie exactement d'autant en sens inverse, passant de 3 à −2,3333 kg·m/s. La vitesse du chariot léger varie huit fois plus, car sa masse est huit fois moindre. Une mouche heurtant un pare-brise pousse sur le verre avec la même force que le verre pousse sur elle ; seule la masse que chaque force doit déplacer change l'issue.

Le seul chiffre qui règle le rebond

Le coefficient de restitution e est la commande maîtresse de cet outil. C'est la vitesse d'éloignement divisée par la vitesse d'approche : e = 1 correspond à un rebond parfait qu'aucune balle réelle n'atteint (une balle rebondissante avoisine 0,9), tandis que e = 0 signifie que les chariots restent collés comme de l'argile humide. Vous pouvez le mesurer chez vous : lâchez une balle et divisez la hauteur du rebond par la hauteur de chute, ce qui donne e². Un ballon de basket qui remonte à environ 64 % de sa hauteur de chute a ainsi e ≈ 0.8.

Voyager 2 a joué au billard avec Jupiter

L'assistance gravitationnelle d'une sonde suit exactement ces règles sans le moindre contact. Dans le référentiel de la planète, le survol est parfaitement élastique (e = 1) : la sonde repart à la vitesse à laquelle elle est arrivée, simplement redirigée. Mais dans le référentiel du Soleil, elle peut gagner près du double de la vitesse orbitale de la planète. Voyager 2 a ainsi gagné environ 10 km/s près de Jupiter — emprunté au mouvement orbital de la planète, qui a ralenti en retour d'une quantité totalement négligeable.

CHOCS — LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT SURVIT TOUJOURS, L'ÉNERGIE SOUVENT PAS

Quel choc êtes-vous en train de modéliser ?

Tous les chocs présentés conservent la quantité de mouvement : m₁u₁ + m₂u₂ est identique avant et après, sans exception. Ce qui distingue les cas, c'est la part d'énergie cinétique qui survit, et un seul nombre en décide : le coefficient de restitution e, vitesse de séparation divisée par vitesse d'approche. Fixez e d'abord ; le rapport des masses dira ensuite qui repart où.

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée e = 1, K′ = K

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus e = 0, v₁ = v₂

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée

Ce que vous savez: Rien ne se déforme durablement et rien ne chauffe : les chariots se séparent exactement aussi vite qu'ils se sont approchés. Quantité de mouvement et énergie cinétique sont toutes deux conservées.

Restitution: e = 1, K′ = K

Exemple résolu: 2 kg à +3 m/s rencontre 2 kg à −3 m/s avec e = 1 → ils repartent à −3 et +3 m/s. Les vitesses s'échangent, et les 18 J sont toujours là.

Ouvrir ce cas: Rebond de billes de billard

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée. Masses égales à e = 1 : les chariots échangent leurs vitesses et gardent chaque joule. Rien ne se déforme durablement et rien ne chauffe : les chariots se séparent exactement aussi vite qu'ils se sont approchés. Quantité de mouvement et énergie cinétique sont toutes deux conservées. — Masses égales à e = 1 : les chariots échangent leurs vitesses et gardent chaque joule.

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus

Ce que vous savez: Les chariots repartent avec une seule vitesse commune : la vitesse de séparation est nulle. La quantité de mouvement se conserve toujours, mais la perte d'énergie cinétique est la plus grande possible.

Restitution: e = 0, v₁ = v₂

Exemple résolu: 2 kg à 3 m/s heurte 3 kg immobile avec e = 0 → les deux repartent à 1,2 m/s, et 5,4 J des 9 J initiaux ont disparu : 60 % de perte.

Ouvrir ce cas: Collision inélastique collante

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus. À e = 0 les chariots repartent ensemble, et l'énergie manquante est passée dans les dégâts. Les chariots repartent avec une seule vitesse commune : la vitesse de séparation est nulle. La quantité de mouvement se conserve toujours, mais la perte d'énergie cinétique est la plus grande possible. — À e = 0 les chariots repartent ensemble, et l'énergie manquante est passée dans les dégâts.

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel

Ce que vous savez: Les chariots se séparent bien, mais plus lentement qu'ils ne se sont approchés. e est le rapport des deux : e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Restitution: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Exemple résolu: 3 kg à +4 m/s rencontre 2 kg à −2 m/s avec e = 0,5 → v₁ = +0,4 et v₂ = +3,4 m/s. Les 6 m/s d'approche reviennent en 3 m/s, et 16,2 J des 28 J sont perdus.

Ouvrir ce cas: Rebond réel d'autos tamponneuses

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel. Avec 0 < e < 1 ils se séparent plus lentement qu'ils ne se sont rencontrés ; la différence part en chaleur. Les chariots se séparent bien, mais plus lentement qu'ils ne se sont approchés. e est le rapport des deux : e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Avec 0 < e < 1 ils se séparent plus lentement qu'ils ne se sont rencontrés ; la différence part en chaleur.

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté

Ce que vous savez: Choc élastique avec m₁ bien plus grand que m₂. Le chariot lourd remarque à peine l'impact ; le léger repart plus vite que quoi que ce soit n'est arrivé.

Restitution: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Exemple résolu: 8 kg à 3 m/s heurte 1 kg immobile de façon élastique → le lourd ne ralentit qu'à 2,33 m/s tandis que le léger repart à 5,33 m/s, près du plafond 2u₁.

Ouvrir ce cas: Lourd percute léger

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté. Avec m₁ ≫ m₂ le chariot lourd poursuit presque inchangé et le léger est projeté en avant. Choc élastique avec m₁ bien plus grand que m₂. Le chariot lourd remarque à peine l'impact ; le léger repart plus vite que quoi que ce soit n'est arrivé. — Avec m₁ ≫ m₂ le chariot lourd poursuit presque inchangé et le léger est projeté en avant.

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière

Ce que vous savez: Choc élastique avec m₁ bien plus petit que m₂. Le chariot arrivant repart en sens inverse ; le lourd bouge à peine.

Restitution: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Exemple résolu: 1 kg à 3 m/s heurte 8 kg immobile de façon élastique → le léger rebondit à −2,33 m/s et le lourd avance doucement à 0,67 m/s.

Ouvrir ce cas: Léger rebondit sur lourd

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière. Avec m₁ ≪ m₂ le chariot léger rebondit presque à sa vitesse d'arrivée et le lourd bouge à peine. Choc élastique avec m₁ bien plus petit que m₂. Le chariot arrivant repart en sens inverse ; le lourd bouge à peine. — Avec m₁ ≪ m₂ le chariot léger rebondit presque à sa vitesse d'arrivée et le lourd bouge à peine.

Références (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Problèmes entièrement résolus

Un chariot de 2 kg rencontrant élastiquement un chariot de 3 kg 5 étapes
Un chariot de 2 kg à 3 m/s heurte élastiquement un chariot de 3 kg à −1 m/s. Calculez les deux vitesses finales à partir des deux lois de conservation, puis déterminez ce que coûte cette même collision si les chariots restent plutôt collés.
1. La quantité de mouvement d'abord, car elle se conserve quelle que soit la nature du choc. Les signes indiquent les sens du mouvement, de sorte que le −1 du second chariot se soustrait.
  
  $p:\quad m_1u_1+m_2u_2=2(3)+3(-1)=3\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. L'énergie cinétique constitue la seconde contrainte, et c'est celle qui ne s'applique que lorsque la collision est élastique. 10,5 J entrent en jeu.
  
  $K:\quad \tfrac12(2)(3)^2+\tfrac12(3)(-1)^2=9+1.5=10.5\ \mathrm{J}$
3. Il est inutile de résoudre un système à deux équations dont l'une est du second degré. Lors d'un choc élastique, la vitesse relative s'inverse simplement : les chariots s'éloignent aussi vite qu'ils se sont rapprochés, et cette relation linéaire se substitue rigoureusement à l'équation de l'énergie.
  
  $e=1:\quad v_2-v_1=e(u_1-u_2)=4,\qquad m_1v_1+m_2v_2=3$
4. Deux équations linéaires donnent alors directement les deux vitesses. Le chariot léger repart en arrière ; le plus lourd est poussé vers l'avant mais se retrouve plus lent que ne l'était le chariot léger à son arrivée.
  
  $\Longrightarrow\ v_1=-1.8\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=2.2\ \mathrm{m/s}$
5. Réglez à présent la restitution sur zéro : les chariots repartent ensemble à la moyenne de leurs vitesses pondérée par les masses, soit 0,6 m/s, en n'emportant que 0,9 J.
  
  $e=0:\ v=\frac{3}{5}=0.6\ \mathrm{m/s},\ K_f=\tfrac12(5)(0.6)^2=0.9\ \mathrm{J},\ \frac{K_i-K_f}{K_i}=\frac{9.6}{10.5}=91.43\%$
Réponse

L'outil affiche 3 kg·m/s avant et après, ainsi que 10,5 J avant et après : quantité de mouvement et énergie se conservent toutes deux, ce qui est le sens même d'un choc élastique. Réglez la restitution sur 0 : la quantité de mouvement affiche toujours 3, tandis que l'énergie cinétique finale chute à 0,9 J. 91,43 % de l'énergie cinétique a disparu en chaleur, en son et en déformation permanente, sans que la quantité de mouvement ne s'en aperçoive.

$e=1:\ v_1=-1.8,\ v_2=2.2\ \mathrm{m/s},\ K_f=K_i;\qquad e=0:\ v=0.6\ \mathrm{m/s},\ \frac{\Delta K}{K_i}=91.43\%$
Deux chariots qui s'accrochent 4 étapes
Un chariot de 4,0 kg filant vers la droite à 2,5 m/s rencontre un chariot de 1,0 kg allant vers la gauche à 5,0 m/s ; ils s'accrochent l'un à l'autre. Calculez leur vitesse finale commune et l'énergie cinétique dissipée.

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1. Quantité de mouvement initiale, en comptant positivement vers la droite (la vitesse du chariot de 1,0 kg vaut donc −5,0 m/s) :
  
  $P_i=4(2{.}5)+1(-5)=5\ \mathrm{kg\,m/s}$
2. Les deux chariots repartent d'un même mouvement en conservant toute cette quantité de mouvement :
  
  $(m_1+m_2)v=P_i\ \Rightarrow\ v=\frac{5}{5}=1\ \mathrm{m/s}$
3. Énergie cinétique avant et après le choc :
  
  $K_i=\tfrac12(4)(2{.}5)^{2}+\tfrac12(1)(5)^{2}=12{.}5+12{.}5=25\ \mathrm{J},\qquad K_f=\tfrac12(5)(1)^{2}=2{.}5\ \mathrm{J}$
4. La différence correspond à la perte d'énergie, que la formule des vitesses relatives fournit directement, sans calculer la vitesse finale :
  
  $\Delta K=25-2{.}5=22{.}5\ \mathrm{J}=\tfrac12\cdot\frac{4\cdot1}{4+1}\cdot(2{.}5+5)^{2}$
Réponse

1 m/s vers la droite, avec 22,5 J dissipés sur les 25 J de départ, soit 90 %. Le chariot léger arrivait avec autant d'énergie cinétique que le lourd, mais l'ensemble part tout de même dans la direction du plus lourd : la trajectoire obéit à la quantité de mouvement, pas à l'énergie.

$v=1\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=22{.}5\ \mathrm{J}\ (90\%)$
Un rebond avec e = 0,6 4 étapes
Un chariot de 1,5 kg lancé à 4,0 m/s heurte un chariot de 2,5 kg immobile. Le coefficient de restitution vaut 0,6. Déterminez les deux vitesses après l'impact ainsi que l'énergie cinétique dissipée.

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1. Quantité de mouvement :
  
  $1{.}5(4)+2{.}5(0)=1{.}5v_1+2{.}5v_2=6$
2. Restitution : la vitesse d'éloignement équivaut à 0,6 fois la vitesse d'approche de 4,0 m/s.
  
  $v_2-v_1=0{.}6\,(4-0)=2{.}4$
3. En remplaçant v₂ par v₁ + 2,4 dans l'équation de la quantité de mouvement :
  
  $1{.}5v_1+2{.}5(v_1+2{.}4)=6\ \Rightarrow\ 4v_1=0\ \Rightarrow\ v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s}$
4. Énergie cinétique avant et après le choc :
  
  $K_i=\tfrac12(1{.}5)(4)^{2}=12\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(2{.}5)(2{.}4)^{2}=7{.}2\ \mathrm{J},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}$
Réponse

Le premier chariot s'arrête net tandis que le second part à 2,4 m/s ; 4,8 J sont perdus, soit 40 % de l'énergie cinétique. Le chariot 1 s'immobilise parce qu'ici m₁ = e m₂ (1,5 = 0,6 × 2,5), ce qui annule le premier terme de l'expression de v₁.

$v_1=0,\quad v_2=2{.}4\ \mathrm{m/s},\quad \Delta K=4{.}8\ \mathrm{J}\ (40\%)$
Retrouver e d'après le rebond 3 étapes
Un chariot de 1,0 kg arrivant à 4,0 m/s percute un chariot de 3,0 kg immobile et repart en arrière à 0,50 m/s. Quelle est la vitesse du chariot de 3,0 kg après le choc, et que vaut le coefficient de restitution ?

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1. En rebondissant, le chariot change de sens : sa vitesse devient négative. La quantité de mouvement livre la vitesse du second :
  
  $1(4)+3(0)=1(-0{.}5)+3v_2\ \Rightarrow\ v_2=\frac{4{.}5}{3}=1{.}5\ \mathrm{m/s}$
2. Le coefficient de restitution s'obtient en divisant la vitesse d'éloignement par la vitesse d'approche :
  
  $e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}=\frac{1{.}5-(-0{.}5)}{4-0}=0{.}5$
3. Vérification du bilan énergétique, qui ne saurait augmenter :
  
  $K_i=\tfrac12(1)(4)^{2}=8\ \mathrm{J},\quad K_f=\tfrac12(1)(0{.}5)^{2}+\tfrac12(3)(1{.}5)^{2}=3{.}5\ \mathrm{J}$
Réponse

1,5 m/s et e = 0,5. Réglez e sur 0,5 avec ces deux masses : le tableau redonne précisément les −0,5 m/s mesurés au départ, avec une perte de 4,5 J. Une valeur de e supérieure à 1 impliquerait un gain spontané d'énergie cinétique. Faute de ressort comprimé ou de charge explosive libérée lors du choc, une telle mesure est nécessairement fausse.

$v_2=1{.}5\ \mathrm{m/s},\qquad e=0{.}5$
Impulsion et force moyenne 4 étapes
Un chariot de 2,0 kg lancé à 3,0 m/s percute un chariot de 3,0 kg immobile auquel il s'accroche, comme dans le scénario Collision inélastique collante. L'impact dure 50 ms. Déterminez l'impulsion reçue par chaque chariot et la force moyenne exercée lors du choc. Que se passe-t-il si un pare-chocs déformable prolonge le contact jusqu'à 200 ms ?

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1. Vitesse commune tirée de la quantité de mouvement :
  
  $v=\frac{2(3)+3(0)}{2+3}=1{.}2\ \mathrm{m/s}$
2. L'impulsion est égale à la variation de quantité de mouvement de chaque chariot :
  
  $J_2=3\,(1{.}2-0)=3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad J_1=2\,(1{.}2-3)=-3{.}6\ \mathrm{N\,s}$
3. La force moyenne s'obtient en divisant l'impulsion par la durée de l'impact :
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{3{.}6}{0{.}050}=72\ \mathrm{N}$
4. Le pare-chocs modifie la durée sans toucher aux vitesses : l'impulsion reste donc rigoureusement identique :
  
  $\Delta t=0{.}200\ \mathrm{s}:\quad \bar F=\frac{3{.}6}{0{.}200}=18\ \mathrm{N}$
Réponse

3,6 N·s sur chaque chariot, en sens opposés ; 72 N sur 50 ms et 18 N sur 200 ms. Quadrupler la durée du choc divise la force moyenne par quatre sans rien changer aux vitesses finales ni aux 5,4 J dissipés. Tel est le rôle des zones de déformation et des airbags : ils ne peuvent modifier la variation totale de quantité de mouvement du passager, mais ils l'étalent dans le temps.

$J=\pm3{.}6\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=72\ \mathrm{N}\ (50\ \mathrm{ms}),\quad 18\ \mathrm{N}\ (200\ \mathrm{ms})$
Propulsés depuis le repos 3 étapes
Deux chariots de 2,0 kg et 3,0 kg sont immobiles, maintenus de part et d'autre d'un ressort comprimé. Dès qu'on les relâche, le chariot de 3,0 kg part vers la droite à 2,0 m/s. Calculez la vitesse du chariot de 2,0 kg et l'énergie emmagasinée par le ressort.

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1. La quantité de mouvement totale étant nulle au repos, elle reste nulle après la détente :
  
  $0=2v_1+3(2)\ \Rightarrow\ v_1=-3\ \mathrm{m/s}$
2. Toute l'énergie cinétique a été fournie par le ressort :
  
  $E=\tfrac12(2)(3)^{2}+\tfrac12(3)(2)^{2}=9+6=15\ \mathrm{J}$
3. Imaginez le film projeté à l'envers : les deux chariots s'approchent à ces vitesses, s'accrochent et s'immobilisent. Le choc avec accrochage à u₁ = 3 m/s et u₂ = −2 m/s n'est rien d'autre que ce film inversé.
  
  $(m_1+m_2)v=2(3)+3(-2)=0\ \Rightarrow\ v=0,\qquad \Delta K=15\ \mathrm{J}$
Réponse

3 m/s vers la gauche, et 15 J. Les quantités de mouvement sont égales et opposées, mais le chariot le plus léger acquiert plus de vitesse et emporte 9 J sur les 15. Un recul est l'exact reflet temporel d'un choc parfaitement inélastique : c'est pourquoi la collision inverse dissiperait l'intégralité des 15 J.

$v_1=-3\ \mathrm{m/s},\qquad E=15\ \mathrm{J}$
Une balle contre un mur 4 étapes
Une balle de 0,40 kg frappe un mur à 12 m/s et rebondit sur la même droite à 8,0 m/s. Le contact dure 20 ms : la force croît régulièrement jusqu'à un maximum avant de redescendre à zéro au même rythme. Déterminez l'impulsion, la force moyenne, la force de crête et le coefficient de restitution.
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1. En choisissant le sens du rebond comme direction positive, la balle arrive à −12 m/s. L'impulsion est la variation de quantité de mouvement :
  
  $J=m(v-u)=0{.}40\,\bigl(8-(-12)\bigr)=8\ \mathrm{N\,s}$
2. Force moyenne pendant la durée du contact :
  
  $\bar F=\frac{J}{\Delta t}=\frac{8}{0{.}020}=400\ \mathrm{N}$
3. L'impulsion correspond aussi à l'aire sous la courbe force-temps, qui dessine ici un triangle :
  
  $J=\tfrac12F_{\max}\,\Delta t\ \Rightarrow\ F_{\max}=\frac{2(8)}{0{.}020}=800\ \mathrm{N}$
4. Le mur ne bouge pas : la vitesse d'éloignement se réduit à la vitesse propre de la balle :
  
  $e=\frac{8}{12}=0{.}6667$
Réponse

8 N·s, 400 N en moyenne, 800 N au sommet et e = 0,6667. Le rebond cumule les effets : une balle qui s'écraserait net contre la paroi ne recevrait que 4,8 N·s, contre 8 pour celle-ci.

$J=8\ \mathrm{N\,s},\quad \bar F=400\ \mathrm{N},\quad F_{\max}=800\ \mathrm{N},\quad e=0{.}6667$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Une voiture de 1 500 kg roulant à 20 m/s emboutit une voiture de 1 000 kg qui avance dans la même direction à 10 m/s ; les deux véhicules s'encastrent. À quelle vitesse repartent-ils et quelle quantité d'énergie cinétique est dissipée ?

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16 m/s ; 30 000 J.

$v=\frac{1500(20)+1000(10)}{2500}=16\ \mathrm{m/s},\qquad \Delta K=350\,000-320\,000=30\,000\ \mathrm{J}$
Une bille de 0,20 kg lancée à 5,0 m/s percute frontalement et de manière élastique une bille de 0,30 kg immobile. Calculez les deux vitesses après l'impact.

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−1,0 m/s (elle repart en arrière) et 4,0 m/s.

$v_1=\frac{0{.}20-0{.}30}{0{.}50}(5{.}0)=-1{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_2=\frac{2(0{.}20)}{0{.}50}(5{.}0)=4{.}0\ \mathrm{m/s}$
Une balle de tennis de 0,058 kg arrive à 30 m/s et quitte la raquette en sens inverse à 25 m/s après un contact de 5,0 ms. Déterminez l'impulsion et la force moyenne.

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3,19 N·s et 638 N.

$J=0{.}058\,(25+30)=3{.}19\ \mathrm{N\,s},\qquad \bar F=\frac{3{.}19}{0{.}0050}=638\ \mathrm{N}$
Une balle lâchée de 1,80 m au-dessus d'un sol dur rebondit jusqu'à 1,25 m. Quel est le coefficient de restitution ?

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0,8333, calculé par e = √(1,25/1,80).

$e=\sqrt{\frac{1{.}25}{1{.}80}}=0{.}8333$
Un fusil de 4,0 kg tire une balle de 0,010 kg à 400 m/s. Quelle est la vitesse de recul de l'arme ?

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1,0 m/s, en sens inverse du tir.

$v=-\frac{0{.}010(400)}{4{.}0}=-1{.}0\ \mathrm{m/s}$

Parcours

L’énergie plutôt que les forces

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.