Simulateur d'énergie des montagnes russes

Fais glisser le curseur de position le long du circuit. La conservation de l'énergie détermine la vitesse en chaque point.

Sans frottement : l'énergie par kilogramme est conservée	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}$
Avec frottement, d désignant la distance horizontale parcourue	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0-\mu g\,d$

Exemple résolu — Simulateur d'énergie des montagnes russes

Distance parcourue	0 m
Hauteur	5 m
Énergie initiale / masse	49,05 J/kg
Énergie perdue (frottement)	0 J/kg
Vitesse	0 m/s
Énergie cinétique	0 J
Énergie potentielle	49,05 J
Vérification de l'énergie	49,05 J

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Simulateur d'énergie des montagnes russes

Sur une piste sans frottement, l’énergie mécanique se conserve : la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle est la même partout. Cette seule phrase détermine la vitesse en chaque point du parcours à partir de la seule hauteur de départ — sans nécessiter de forces, de chronologie ou de forme de pente.

Ce que signifie chaque symbole

h: la hauteur au-dessus du niveau de référence. Le niveau que vous appelez zéro ne change jamais un résultat : seule la dénivelée h₀ − h entre dans la formule, si bien que déplacer la référence déplace les deux hauteurs ensemble.
v: la vitesse, que l’affichage déduit de l’énergie plutôt que d’une force.
KE: l’énergie cinétique, ½mv².
PE: l’énergie potentielle, mgh — 49.05 J au départ, issue de 1 × 9.81 × 5.
μ: le coefficient de frottement. Dès qu'il dépasse zéro, il prélève μg joules par kilogramme pour chaque mètre de distance horizontale parcouru, quelle que soit la pente.

D’où vient la formule

Sans frottement, l'énergie totale est constante. En tout point du trajet, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle reste égale à sa valeur initiale.
$\tfrac12mv^{2}+mgh=\tfrac12mv_0^{2}+mgh_0$
Chaque terme contient la masse : divisez par celle-ci pour l'éliminer. La masse disparaît du bilan, et pour de bon.
$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0$
Exprimez la vitesse. Seule intervient la perte de hauteur, et le chariot ne peut se trouver que là où la racine carrée est réelle : il ne remontera jamais plus haut que son énergie de départ ne le lui permet.
$v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)},\qquad h\le h_0+\frac{v_0^{2}}{2g}$
Frottement sur un tronçon rectiligne incliné d'un angle θ : la force normale vaut mg cos θ et le segment mesure d/cos θ de long, si bien que le travail des frottements s'élève à μmg multiplié par la distance horizontale d. Retranchez-le de l'énergie avant d'exprimer la vitesse.
$W_f=\mu\,(mg\cos\theta)\,\frac{d}{\cos\theta}=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)-2\mu g\,d}$

Suppose: Un point matériel guidé par une trajectoire sans rotation, sans résistance de l'air, et doté d'une vitesse suffisante pour rester sur les rails. Le frottement n'est pris en compte que sur les sections rectilignes : l'effort supplémentaire qu'exige une courbe franchie à vive allure, qui majore la force normale dans un creux, est ici laissé de côté. Rien ne vérifie non plus si le chariot décollerait au sommet d'une crête.
Ne tient plus quand: L'étape 2 mérite d'être testée plutôt que crue sur parole, et la page vous le permet. Cliquez sur Demi-tube et placez le curseur au milieu : la vitesse indique 9.9045 m/s. Portez la masse de 1 kg à 500 kg : elle indique toujours 9.9045 m/s, alors que l'énergie cinétique bondit de 49.05 J à 24,525 J. Les chariots plus lourds emportent plus d'énergie, sans aller plus vite pour autant. Le frottement ne remet pas non plus ce résultat en cause : la perte par unité de masse vaut μgd, ce qui ne dépend pas non plus de la masse.

Problèmes entièrement résolus

Un wagonnet de 1 kg lâché au repos à 5 m sur la piste 6 étapes
Un wagon de 1 kg lâché du repos à 5 m sur la piste 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Déterminer où il s'arrête — et ce n'est pas à l'extrémité opposée.
1. En l'absence de frottement, l'énergie totale est fixée par la hauteur de départ et ne varie jamais. Un kilogramme et 5 mètres constituent l'intégralité des données de ce problème.
  
  $E_0=mgh_0=1\times9.81\times5=49.05\ \mathrm{J},\qquad v_0=0$
2. Réexprimée par rapport à la vitesse, la même relation devient une restriction : le wagon ne peut se trouver que là où la racine carrée est réelle. C'est là toute la solution, avant même de tracer la moindre piste.
  
  $\tfrac{1}{2}mv^{2}=mg(h_0-h)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{2g(h_0-h)},\quad\text{real only where }h\le h_0$
3. Examinez la piste pour y trouver son maximum. Le sommet se situe au-dessus du point de départ, ce qui tranche la question — et remarquez que la descente à 1 m au-delà n'intervient à aucun moment dans le raisonnement.
  
  $\text{track max}=6\ \mathrm{m}>h_0=5\ \mathrm{m}\quad\Longrightarrow\quad\text{the hill at }x=3\text{ is unreachable}$
4. Déterminez exactement le point de rebroussement. Il se trouve sur la montée de (2,3) à (3,6), là où le segment rectiligne repasse par la hauteur de départ.
  
  $(2,3)\to(3,6):\ y=5\ \text{at}\ x=2+\tfrac{5-3}{6-3}=2.667$
5. Le curseur de position mesure la distance le long du rail : il est donc utile de connaître la longueur totale. Six segments, six applications du théorème de Pythagore.
  
  $s=\sum\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=2.828+3.162+5.385+3.606+2.828+3.162=20.972\ \mathrm{m}$
6. Deux vitesses permettent de conclure : la vitesse maximale que le wagon atteint réellement au cours de sa courte excursion, et la vitesse de lancement qui débloquerait le reste du parcours.
  
  $v_{\max}=\sqrt{2g(5-3)}=6.26\ \mathrm{m/s};\qquad v_0\ \text{needed}=\sqrt{2g(6-5)}=4.43\ \mathrm{m/s}$
Réponse

La voiture rebrousse chemin en x = 2,667 m et n’atteint jamais le reste de la piste. La bosse située en x = 3 culmine à 6 m, alors que la voiture est partie d’une hauteur de 5 m : l’énergie disponible ne suffit tout simplement pas. L’affichage indique arrêtée pour toute position au-delà de ce point, signe que l’outil confirme le résultat et non qu’il est en panne. L’intérêt du calcul tient à ceci : aucune simulation n’est nécessaire. La conservation de l’énergie ramène une équation différentielle à une inégalité, h ≤ h₀, et la forme de la piste entre le départ et l’obstacle n’a aucune importance. Donnez à la voiture une vitesse de 4,43 m/s au sommet, et les 20,972 m du parcours deviennent accessibles, avec notamment un passage à 9,90 m/s dans le creux situé en x = 5. En dessous de cette vitesse, toute cette partie de la piste reste hors d’atteinte.

$h_{\text{track}}=6>h_0=5\ \Longrightarrow\ \text{it stops at }x=2.667,\ \text{never reaching the drop}$
Vitesse au fond du half-pipe 4 étapes
Un chariot de 250 kg est lâché sans vitesse initiale depuis le bord d'un half-pipe, à 5 m de hauteur. Sans frottement, à quelle vitesse circule-t-il sur le fond plat, quelle y est son énergie cinétique, et quelle est sa vitesse lorsqu'il remonte à 2 m de hauteur sur la paroi opposée ?

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1. Énergie au départ et au fond, en prenant le fond comme niveau de référence pour l'altitude :
  
  $E_0=mgh_0=250(9{.}81)(5)=12\,262{.}5\ \mathrm{J},\qquad E_{\mathrm{bottom}}=\tfrac12mv^{2}$
2. La masse se simplifie : la vitesse découle uniquement de la hauteur de chute :
  
  $\tfrac12mv^{2}=mgh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0}=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
3. L'énergie cinétique nécessite en revanche la masse :
  
  $E_k=\tfrac12(250)(9{.}9045)^{2}=12\,263\ \mathrm{J}$
4. À 2 m de hauteur sur la paroi opposée, la dénivellation depuis le départ n'est plus que de 3 m :
  
  $v=\sqrt{2g(h_0-h)}=\sqrt{2(9{.}81)(5-2)}=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Réponse

9,9045 m/s au fond, avec 12 263 J d'énergie cinétique, et 7,672 m/s à 2 m de hauteur sur la paroi opposée. Le fond étant plat, le chariot le parcourt tout entier à cette même vitesse de 9,9045 m/s.

$v_{\mathrm{bottom}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s},\quad E_k=12\,263\ \mathrm{J},\quad v(2\ \mathrm{m})=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
La vitesse minimale de lancement pour franchir la côte 3 étapes
Sur le tracé Classique, le chariot part de 5 m et la côte en x = 3 culmine à 6 m. Sans frottement, quelle vitesse minimale de lancement permet de franchir le sommet, et à quelle vitesse le chariot circule-t-il ensuite dans le creux à 1 m en x = 5 ?

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1. Au sommet, le chariot peut arriver avec une vitesse quasi nulle. Conservation de l'énergie entre le départ et le sommet :
  
  $\tfrac12v_0^{2}+gh_0=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+gh_{\mathrm{top}},\qquad v_{\mathrm{top}}\ge0$
2. On isole la vitesse de lancement :
  
  $v_0=\sqrt{2g(h_{\mathrm{top}}-h_0)}=\sqrt{2(9{.}81)(6-5)}=\sqrt{19{.}62}=4{.}4294\ \mathrm{m/s}$
3. Conservation de l'énergie entre le départ et le creux, situé 4 m plus bas que le départ :
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}=\sqrt{19{.}62+2(9{.}81)(5-1)}=\sqrt{98{.}1}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Réponse

4,4294 m/s, puis 9,9045 m/s dans le creux. C'est la vitesse atteinte lors d'une chute de 5 m sans vitesse initiale, car le lancement a fourni exactement le 1 m d'altitude supplémentaire qu'exigeait la côte.

$v_0=4{.}4294\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{dip}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Une voie avec frottement 3 étapes
Un chariot de 1 kg est lâché sans vitesse initiale à 5 m d'altitude sur la voie avec frottement, qui rejoint le sol 10 m plus loin. Le coefficient de frottement vaut 0,05. À quelle vitesse arrive-t-il, et quelle quantité d'énergie le frottement a-t-il prélevée ?

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1. Sur chaque tronçon rectiligne, le frottement prélève μmg multiplié par la distance horizontale ; sur l'ensemble de la voie, il dissipe donc :
  
  $W_f=\mu mg\,d=0{.}05(1)(9{.}81)(10)=4{.}905\ \mathrm{J}$
2. L'énergie au départ égale l'énergie à l'arrivée augmentée du travail des forces de frottement :
  
  $mgh_0=\tfrac12mv^{2}+W_f\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0-2\mu g\,d}=\sqrt{98{.}1-9{.}81}=9{.}3963\ \mathrm{m/s}$
3. Sans frottement, la même chute donnerait :
  
  $\mu=0:\quad v=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Réponse

9,3963 m/s, dont 4,905 J prélevés par le frottement. Les deux creux et la bosse intermédiaire ne modifient en rien la perte : une rampe rectiligne de 10 m descendant de 5 m mènerait à la même vitesse d'arrivée.

$v=9{.}3963\ \mathrm{m/s},\qquad W_f=4{.}905\ \mathrm{J}$
Jusqu'à quelle hauteur sur la paroi opposée ? 3 étapes
Le half-pipe comporte un bord à 5 m, une descente de 2 m de portée horizontale, 4 m de fond plat et une remontée de 2 m jusqu'au bord opposé, lui aussi à 5 m de hauteur. Lâché sans vitesse initiale avec un coefficient de frottement de 0,05, à quelle hauteur le chariot remonte-t-il sur la paroi opposée ?

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1. Supposons que le chariot s'arrête à la hauteur h sur la rampe opposée. Cette rampe monte de 5 m sur 2 m de distance horizontale : atteindre h en mobilise donc 2h/5, et la distance horizontale depuis le départ s'élève à :
  
  $d=2+4+\tfrac25h=6+0{.}4h$
2. L'énergie au départ égale l'énergie potentielle au point d'arrêt plus le travail des forces de frottement :
  
  $gh_0=gh+\mu g\,(6+0{.}4h)$
3. On isole h :
  
  $h=\frac{h_0-6\mu}{1+0{.}4\mu}=\frac{5-0{.}3}{1{.}02}=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Réponse

4,6078 m, soit environ 0,39 m en dessous du bord. Le chariot repart ensuite en arrière, et chaque nouvelle traversée du fond plat lui coûte davantage.

$h=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Le looping : de quelle hauteur faut-il partir ? 3 étapes
Un chariot dévale sans frottement une pente depuis l'arrêt pour aborder un looping vertical circulaire de rayon 4,0 m. De quelle hauteur doit-il partir pour ne pas décrocher au sommet de la boucle, et quelle poussée la voie exerce-t-elle au bas du cercle sur un passager de 70 kg ?
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1. Au sommet, la voie ne peut pousser que vers le bas : la seule gravité doit donc fournir au moins la force centripète :
  
  $mg\le\frac{mv_{\mathrm{top}}^{2}}{R}\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{top}}^{2}\ge gR$
2. Conservation de l'énergie entre le départ et le sommet du looping, situé à une altitude de 2R :
  
  $gh=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+g(2R)\ \ge\ \tfrac12gR+2gR\ \Rightarrow\ h\ge\tfrac52R=10\ \mathrm{m}$
3. Au point le plus bas, la vitesse découle de toute la chute, et la voie doit compenser le poids en plus de fournir la force centripète :
  
  $v_{\mathrm{bottom}}^{2}=2gh=5gR,\qquad N=mg+\frac{mv_{\mathrm{bottom}}^{2}}{R}=6mg=6(70)(9{.}81)=4120\ \mathrm{N}$
Réponse

Au moins 10 m, soit deux fois et demie le rayon ; et la voie exerce sur le passager une poussée de 4 120 N, soit six fois son poids. Ce facteur six explique pourquoi les véritables loopings ne sont pas circulaires : une clothoïde conserve un rayon court au sommet, où la vitesse est faible, et grand à la base, où elle est élevée.

$h_{\min}=2{.}5R=10\ \mathrm{m},\qquad N_{\mathrm{bottom}}=6mg=4120\ \mathrm{N}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Un chariot de 600 kg animé d'une vitesse de 2,0 m/s au sommet d'une descente de 30 m s'élance sur une voie sans frottement. À quelle vitesse roule-t-il lorsqu'il se trouve à 10 m du sol ?

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19,91 m/s.

$v=\sqrt{2{.}0^{2}+2(9{.}81)(30-10)}=\sqrt{396{.}4}=19{.}91\ \mathrm{m/s}$
Une luge animée d'une vitesse de 8,0 m/s au pied d'une pente sans frottement glisse vers le haut. Jusqu'à quelle hauteur s'élève-t-elle ?

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3,262 m.

$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{8{.}0^{2}}{2(9{.}81)}=3{.}262\ \mathrm{m}$
Un bloc est lâché sans vitesse initiale à 3,0 m de hauteur sur une rampe rectiligne, puis poursuit sa glissade sur un sol horizontal. Le coefficient de frottement vaut 0,15 partout. Quelle distance horizontale couvre-t-il depuis son point de départ avant de s'arrêter ?

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20 m, pour toute rampe assez inclinée pour amorcer le glissement (tan θ > 0,15, soit plus de 8,53°) : le frottement dissipe μg par mètre de distance horizontale, et 3,0/0,15 = 20. Sur une pente plus douce, le bloc ne bouge jamais.

$mgh=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ d=\frac{h}{\mu}=\frac{3{.}0}{0{.}15}=20\ \mathrm{m}$
Un chariot part du repos au sommet d'une dénivellation de 45 m et couvre 60 m de distance horizontale au cours de la descente, avec un coefficient de frottement de 0,02. À quelle vitesse circule-t-il en bas ?

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29,315 m/s.

$v=\sqrt{2g(h-\mu d)}=\sqrt{2(9{.}81)(45-0{.}02\times60)}=29{.}315\ \mathrm{m/s}$
Un chariot s'élance sans vitesse initiale depuis une hauteur de 12 m au-dessus du bas d'un looping circulaire sans frottement. Quel est le plus grand rayon de boucle qu'il peut franchir sans quitter le rail ?

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4,8 m, car le départ doit se situer au moins 2,5 fois plus haut que le rayon au-dessus du bas de la boucle.

$h\ge\tfrac52R\ \Rightarrow\ R\le\frac{12}{2{.}5}=4{.}8\ \mathrm{m}$

Le frottement dépend de la distance horizontale, non de la voie

Sur une pente rectiligne inclinée d'un angle θ, la force normale vaut mg cos θ, et la pente mesure d/cos θ de long pour une distance horizontale d. Les deux cosinus se simplifient : le frottement dissipe donc μmgd quel que soit l'angle. Un plongeon abrupt et une rampe douce couvrant la même distance horizontale perdent la même énergie, et une chute verticale n'en perd aucune. Le tracé Avec frottement descend de 5 m sur 10 m de voie horizontale en franchissant deux creux et une bosse : il perd 4,905 J/kg et arrive à 9,3963 m/s, très exactement ce que donnerait une rampe rectiligne de 5 m de dénivelé sur ces mêmes 10 m. Le profil ne réapparaît qu'avec les courbures, ignorées ici : un creux réel plaque le chariot plus fort contre les rails et dissipe davantage que ce modèle simplifié. Le Demi-tube en est l'illustration la plus spectaculaire. Sans frottement, il remonte pile à sa hauteur initiale ; le moindre frottement le bloque donc à mi-pente de l'autre côté : avec μ = 0,05, il s'arrête à 4,6078 m.

La vitesse ne dépend que de la hauteur

Sur une voie sans frottement, la vitesse de la bille en tout point ne dépend que de la hauteur dont elle est descendue depuis le départ, sans que la forme du tracé intermédiaire n'y change rien. Un plongeon quasi vertical et une longue pente douce descendant à la même profondeur mènent exactement à la même vitesse. Voilà pourquoi la bille ne peut jamais remonter plus haut que son point de départ : elle réclamerait une énergie qu'elle n'a pas. Ajoutez du frottement, et chaque mètre parcouru à l'horizontale dissipe une part d'énergie sous forme de chaleur.

Les vrais loopings ne sont pas circulaires

Un looping de montagnes russes paraît rond, mais ne l'est presque jamais : c'est une clothoïde en forme de larme, une courbe dont le rayon se resserre vers le sommet. Un looping parfaitement circulaire, assez rapide pour rester sur les rails au sommet, écraserait les passagers en bas sous des forces g brutales. L'ingénieur allemand Werner Stengel a introduit le looping en clothoïde en 1976 : petit rayon en haut (peu de vitesse requise), rayon doux en bas. Même conservation de l'énergie — géométrie plus astucieuse.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Cliquez sur Demi-tube, faites glisser la position au milieu du fond plat et lisez la vitesse. Portez ensuite la masse de 1 kg à 500 kg. Prédisez d'abord la vitesse.

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Elle reste à 9.9045 m/s. Tous les termes de l'équation de conservation de l'énergie contiennent le facteur m : celui-ci se simplifie, et la vitesse ne dépend que de la hauteur de chute. En revanche, l'énergie cinétique change, passant de 49.05 J à 24,525 J : un chariot plus lourd possède beaucoup plus d'énergie, mais n'avance pas plus vite.
Au départ, l'affichage indique une énergie potentielle de 49.05 J et une énergie cinétique de 0 J. En quel endroit de cette voie le chariot atteint-il sa vitesse maximale, et que vaut alors l'énergie totale ?

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Au point le plus bas qu'il atteint réellement : à 3 m de hauteur, en x = 2, où sa vitesse vaut 6.2642 m/s. Le creux à 1 m situé en x = 5 est plus bas, mais il se trouve après la côte de 6 m que le chariot ne peut pas gravir. L'énergie totale y est toujours de 49.05 J, dont 19.62 J sous forme cinétique.
Donnez au coefficient de frottement une valeur supérieure à zéro. L'énergie perdue dépend-elle de la distance parcourue le long de la voie, ou d'autre chose ?

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De la distance franchie à l'horizontale. Sur une pente, la force normale diminue d'un facteur cos θ pendant que la longueur augmente en 1/cos θ : le calcul donne donc μgd, où d est mesuré à l'horizontale et non le long du rail. Une chute verticale ne dissipe rien ; un parcours horizontal dissipe le plus par mètre de voie. Cette perte étant également indépendante de la masse, le frottement ne remet pas non plus en cause la réponse précédente.

Parcours

L’énergie plutôt que les forces

Références (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.