Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

Comparez la trajectoire idéale et celle influencée par la traînée.

Traînée quadratique, selon la vitesse dans l'air	$\begin{gathered}\mathbf F=-k\,\|\mathbf v_{\mathrm{rel}}\|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=\mathbf v-\mathbf w\\ k=\tfrac12\rho\,C_dA\end{gathered}$
Vitesse limite : la traînée équilibre le poids	$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$
Chute verticale sans vitesse initiale et tir vertical	$\begin{gathered}v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)\\ H=\frac{m}{2k}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)\end{gathered}$

Exemple résolu — Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

Vitesse limite	18,083 m/s
Vitesse dans l'air au lancer	25 m/s
Traînée au lancer	18,75 N
Portée dans le vide	63,71 m
Hauteur maximale dans le vide	15,928 m
Portée	28,283 m
Hauteur maximale	9,643 m
Abscisse du sommet	16,259 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

La traînée quadratique correspond à la résistance de l'air subie par tout objet lancé à la main : une force k|v_rel|² opposée à la vitesse de la balle par rapport à l'air, v_rel = v − w, avec k = ½ρC_dA. Comme |v_rel| fait intervenir les deux composantes, elle lie les mouvements horizontal et vertical : le vol n'obéit plus à aucune formule directe. Cette page l'intègre donc par pas d'au plus 5 ms.

Ce que signifie chaque symbole

θ: l’angle de tir. Sans traînée, sa meilleure valeur est 45° pour toute vitesse initiale et toute masse — une constante du problème. Avec la traînée, il n’est rien de tout cela, et c’est le sujet de cette leçon.
k/m: le coefficient de traînée divisé par la masse. C’est la seule combinaison qui apparaisse dans les équations : jamais k seul, jamais m seul. Deux des six champs de saisie sont deux poignées sur un même nombre.
v_rel: la vitesse relative par rapport à l'air, v − w. La traînée s'exerce sur elle, jamais sur la vitesse par rapport au sol.
R: la portée. La page en affiche deux : R₀, issue de la formule dans le vide, et R, issue de l'intégration numérique. L'écart entre les deux correspond à ce que l'air a coûté.

D’où vient la formule

Commençons sans air, là où les deux axes ne se parlent jamais. La vitesse horizontale est constante, la position verticale est une parabole en temps, et l’élimination du temps laisse R = v₀² sin(2θ)/g. On maximise : sin(2θ) est maximal pour 2θ = 90°. Remarquez ce qui a disparu — ni v₀ ni la masse ne figurent dans cette condition, si bien que 45° est le meilleur angle pour tout tir qui ait jamais eu lieu. Voilà pourquoi on le retient comme un fait plutôt que comme un résultat.
$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\le\frac{v_0^{2}}{g}\ \Rightarrow\ \theta^{*}=45^\circ$
Ajoutez la traînée, et les axes cessent d'être indépendants. L'accélération s'écrit −g ŷ − (k/m)|v_rel|v_rel. Comme |v_rel| fait intervenir les deux composantes, l'équation horizontale dépend de la vitesse d'ascension, et l'équation verticale dépend de la vitesse d'avancement. Ce système couplé et non linéaire ne se sépare pas : il ne subsiste aucune formule élémentaire pour R. Le tableau des résultats présente donc la portée sous forme intégrale, telle qu'elle se calcule réellement.
$\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{(v_x-w)^{2}+v_y^{2}}$
Divisez par m : seul subsiste le rapport k/m. Une balle lourde se comporte comme une balle légère dans un air plus raréfié. Choisissez k = 0.03 avec m = 3 et vous retrouvez, jusqu'au dernier chiffre affiché, la même trajectoire qu'avec k = 0.01 et m = 1. Le préréglage boule lourde n'est donc que le cas à faible traînée sous un autre nom : le champ de la masse ne peut rien vous apprendre que celui de la traînée ne montre déjà.
$\frac{k}{m}=\frac{0.03}{3}=\frac{0.01}{1}=0.01\ \mathrm{m^{-1}}$
L'angle optimal descend sous 45°. Un tir très relevé passe plus de temps en vol, et l'air lui retire de la vitesse à chaque seconde. En air calme et depuis le sol, l'angle qui porte le plus loin passe donc sous la barre des 45°. Comme la traînée augmente avec la vitesse, cet angle diminue d'autant plus que vous lancez fort, alors qu'il restait immuable dans le vide. Avec la traînée par défaut, un tir à 25 m/s porte le plus loin à 38,939° (28,743 m, contre 28,283 m à 45°), et un tir à 90 m/s à 29,34° (72,117 m, contre 66,493 m). La dernière ligne du tableau détermine cet angle quelles que soient les valeurs que vous définissez. Le vent le déplace à nouveau : avec 20 m/s de vent arrière pour un lancer à 25 m/s, l'angle optimal remonte à 47,093°.
$v_0=25:\ \ R(45^\circ)=28.283<R(38.939^\circ)=28.743\ \mathrm{m};\qquad v_0=90:\ \ R(45^\circ)=66.493<R(29.34^\circ)=72.117\ \mathrm{m}$

Comment lire ce que vous voyez

La courbe en tirets représente le même tir en l'absence d'air, c'est-à-dire la parabole de la page précédente : l'espace entre les deux courbes mesure ce que l'air a fait perdre. Réglez la traînée à zéro, et la courbe pleine vient exactement épouser la courbe en tirets. La portée calculée par intégration concorde avec la formule dans le vide pour chacun des chiffres affichés par le tableau. Dès lors que la traînée est active, tout écart provient bien de l'air, pas du calcul numérique.

Suppose: Un air au repos hormis un vent horizontal régulier soufflant à la même vitesse à toute hauteur, une densité uniforme sur toute la montée, et un coefficient de traînée qui ne varie pas avec la vitesse. Un point matériel : ni portance, ni rotation, ni effet Magnus — une balle de golf coupée et un obus qui dérive sont tous deux hors de ce que ce modèle peut dire.

Problèmes entièrement résolus

Traînée linéaire ou quadratique ? 4 étapes
Une sphère de diamètre D se déplaçant dans l'air à la vitesse v subit deux formes de traînée : la traînée visqueuse 3πηDv (loi de Stokes) et la traînée de pression ½ρC_d(πD²/4)v². Avec η = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s, ρ = 1,2 kg/m³ et C_d = 0,47, laquelle de ces deux forces prédomine pour une balle de baseball (D = 7,4 cm) lancée à 40 m/s, et laquelle pour une gouttelette d'huile (D = 1,5 µm) dérivant à 0,10 mm/s ?
1. Divisez une force par l'autre. La plupart des facteurs se simplifient, et l'expression restante croît à la fois avec la taille et la vitesse :
  
  $\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=\frac{\tfrac12\rho C_d\,\tfrac{\pi D^{2}}{4}\,v^{2}}{3\pi\eta Dv}=\frac{\rho C_d}{24\eta}\,Dv$
2. Les propriétés physiques de l'air fixent la constante :
  
  $\frac{\rho C_d}{24\eta}=\frac{1.2\times0.47}{24\times1.8\times10^{-5}}=1305.6\ \mathrm{s/m^{2}}$
3. Pour la balle de baseball :
  
  $1305.6\times0.074\times40=3864.4$
4. Pour la gouttelette :
  
  $1305.6\times(1.5\times10^{-6})\times(1.0\times10^{-4})=1.9583\times10^{-7}$
Réponse

Pour la balle de baseball, le régime est quadratique : la traînée de pression vaut 3864 fois la traînée visqueuse ; pour la gouttelette, il est linéaire, son terme quadratique ne représentant que 2,0 × 10⁻⁷ du frottement visqueux. Tout objet lancé à la main relève résolument du domaine quadratique, qui est le modèle retenu sur cette page. La loi de Stokes est réservée aux poussières, à la brume et aux gouttes de Millikan.

$\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=3864\ \ (D=7.4\ \mathrm{cm}),\qquad \frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=2.0\times10^{-7}\ \ (D=1.5\ \mu\mathrm{m})$
Traînée au lancer et vitesse limite 4 étapes
Une balle de 1,0 kg, de constante de traînée k = 0,030 kg/m, est lancée à 25 m/s avec un angle de 45° au-dessus de l'horizontale, dans un air calme. Calculez la force de traînée subie au lancer et comparez-la au poids de la balle. Quelle est sa vitesse limite ?

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1. Dans un air immobile, la vitesse par rapport à l'air est la vitesse elle-même :
  
  $|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=|\mathbf v|=25\ \mathrm{m/s}\qquad(w=0)$
2. La traînée quadratique vaut k fois le carré de cette vitesse :
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times25^{2}=18.75\ \mathrm{N}$
3. Comparez-la au poids :
  
  $mg=1.0\times9.81=9.81\ \mathrm{N},\qquad \frac{F}{mg}=\frac{18.75}{9.81}=1.9113$
4. La vitesse limite correspond à la vitesse où la traînée compense exactement le poids :
  
  $k\,v_t^{2}=mg\ \Rightarrow\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}$
Réponse

18,75 N au lancer, soit 1,9113 fois le poids ; vitesse limite de 18,083 m/s. La balle quitte la main plus vite qu'elle ne pourrait jamais chuter. Tant qu'elle n'a pas ralenti sous les 18,083 m/s, l'air s'oppose à elle avec plus de force que la gravité ne l'attire.

$F=18.75\ \mathrm{N}=1.9113\,mg,\qquad v_t=18.083\ \mathrm{m/s}$
Face au vent et vent arrière 4 étapes
On reprend le même lancer face à un vent contraire de 8,0 m/s. Déterminez la vitesse de la balle par rapport à l'air au départ et la force de traînée correspondante. Faites de même avec le vent dans le dos du lanceur.

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1. Composantes par rapport au sol, comme précédemment :
  
  $v_x=25\cos45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=25\sin45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s}$
2. Face au vent, l'air se déplace à w = −8,0 m/s. Soustrayez la vitesse de l'air de celle de la balle :
  
  $\mathbf v_{\mathrm{rel}}=(v_x-w,\ v_y)=(17.678+8.0,\ 17.678)=(25.678,\ 17.678),\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s}$
3. La traînée dépend du carré de cette vitesse relative :
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times31.174^{2}=29.155\ \mathrm{N}$
4. Avec le vent dans le dos, w = +8,0 m/s et la soustraction s'inverse :
  
  $w=+8.0:\quad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=(9.6777,\ 17.678),\quad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\quad F=12.185\ \mathrm{N}$
Réponse

Face au vent, on obtient 31,174 m/s par rapport à l'air et 29,155 N de traînée ; vent dans le dos, 20,153 m/s et 12,185 N. Dans les deux cas, la balle quitte la main à 25 m/s. L'air ne ressent pourtant que l'écart relatif, et la traînée fait plus que doubler d'une situation à l'autre. Cliquez sur vent arrière pour observer ce second cas.

$|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s},\ F=29.155\ \mathrm{N}\ \ (w=-8.0);\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\ F=12.185\ \mathrm{N}\ \ (w=+8.0)$
Chute depuis 100 m 4 étapes
On lâche la même balle (m = 1,0 kg, k = 0,030 kg/m) sans vitesse initiale à 100 m du sol. À quelle vitesse touche-t-elle le sol ? Comparez ce résultat à sa vitesse limite et à la vitesse qu'elle atteindrait dans le vide.

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1. Prenons y comme distance de chute et v comme vitesse vers le bas. En écrivant l'accélération sous la forme v dv/dy, l'équation porte désormais sur la distance plutôt que sur le temps :
  
  $v\frac{dv}{dy}=g-\frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)$
2. Séparez les variables et intégrez à partir du repos :
  
  $\int_0^{v}\frac{v\,dv}{1-v^{2}/v_t^{2}}=\int_0^{y}g\,dy\ \Rightarrow\ v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)$
3. Passez à l'application numérique, avec la vitesse limite de 18,083 m/s issue du problème 2 :
  
  $\frac{2ky}{m}=\frac{2(0.030)(100)}{1.0}=6.0,\qquad v=18.083\sqrt{1-e^{-6.0}}=18.061\ \mathrm{m/s}$
4. En l'absence d'air, la même chute donne :
  
  $v_{\mathrm{vac}}=\sqrt{2gy}=\sqrt{2(9.81)(100)}=44.294\ \mathrm{m/s}$
Réponse

18,061 m/s : soit 99,88 % de la vitesse limite, et 41 % des 44,294 m/s obtenus dans le vide. La page intègre la même chute sans passer par la formule et retrouve ces mêmes 18,061 m/s, après 6,8066 s.

$v=18.061\ \mathrm{m/s}=0.9988\,v_t=0.41\,v_{\mathrm{vac}}$
Lancer vertical vers le haut 4 étapes
On lance la même balle verticalement vers le haut à 25 m/s. Quelle hauteur atteint-elle, et en combien de temps ? À quelle vitesse retombe-t-elle au sol, et la descente est-elle plus rapide ou plus lente que la montée ?

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1. À la montée, traînée et pesanteur agissent toutes deux vers le bas. En reprenant v dv/dy, l'ascension s'achève à :
  
  $v\frac{dv}{dy}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)\ \Rightarrow\ H=\frac{v_t^{2}}{2g}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)=\frac{327}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{625}{327}\right)=17.810\ \mathrm{m}$
2. La durée s'obtient plutôt à partir de dv/dt = −g(1 + v²/v_t²) :
  
  $t_{\mathrm{up}}=\frac{v_t}{g}\arctan\frac{v_0}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\arctan\frac{25}{18.083}=1.7412\ \mathrm{s}$
3. La descente revient au problème 4 repris depuis une hauteur de 17,810 m. Puisque e^−2kH/m = (1 + v₀²/v_t²)⁻¹, la vitesse au sol se simplifie :
  
  $v_{\mathrm{back}}^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2kH/m}\right)\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{back}}=\frac{v_0v_t}{\sqrt{v_0^{2}+v_t^{2}}}=\frac{25\times18.083}{\sqrt{625+327}}=14.652\ \mathrm{m/s}$
4. Et sa durée, à partir de dv/dt = g(1 − v²/v_t²) :
  
  $t_{\mathrm{down}}=\frac{v_t}{g}\operatorname{artanh}\frac{v_{\mathrm{back}}}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\operatorname{artanh}\frac{14.652}{18.083}=2.0789\ \mathrm{s}$
Réponse

17,810 m d'ascension en 1,7412 s, et un retour au sol à 14,652 m/s après 2,0789 s supplémentaires. La balle revient moins vite qu'elle n'est partie et met plus de temps à descendre : à la montée, la traînée s'ajoutait à la pesanteur ; à la descente, elle s'y opposait. Dans le vide, elle monterait à 31,855 m et reviendrait à 25 m/s. La page affiche la durée totale, soit 3,8201 s.

$H=17.810\ \mathrm{m},\quad t_{\mathrm{up}}=1.7412\ \mathrm{s},\quad v_{\mathrm{back}}=14.652\ \mathrm{m/s},\quad t_{\mathrm{down}}=2.0789\ \mathrm{s}$
Pourquoi les 63,71 m dans le vide deviennent 28,283 m 5 étapes
25 m/s à 45°, une balle de 1,0 kg avec k = 0,030 kg/m. La formule dans le vide donne 63,71 m. Expliquez pourquoi le résultat tombe à 28,283 m, et pourquoi la hauteur résiste bien mieux que la portée.

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1. Commencez par la réponse que l'air va altérer. Les deux formules dans le vide sont exactes, tiennent en une ligne et constituent le seul socle analytique de ce problème.
  
  $R_0=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{25^{2}\sin90^{\circ}}{9.81}=63.71\ \mathrm{m},\qquad y_{0,\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=15.928\ \mathrm{m}$
2. Écrivez maintenant la véritable équation. Le terme de traînée s'oppose au vecteur vitesse : sa composante horizontale dépend de la vitesse verticale et réciproquement. Les deux axes cessent d'être indépendants, et la parabole disparaît.
  
  $\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v|\,\mathbf v$
3. Lisez les deux pertes sur le panneau sous forme de fractions. Elles diffèrent, et cette différence est précisément ce qu'il convient d'expliquer.
  
  $R=28.283\ \mathrm{m}=0.4439\,R_0,\qquad y_{\max}=9.643\ \mathrm{m}=0.6054\,y_{0,\max}$
4. La vitesse limite est la vitesse pour laquelle la traînée compense le poids. La comparer à la vitesse de lancement montre quelle force mène le jeu au départ.
  
  $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}<v_0=25\ \mathrm{m/s}$
5. La longueur de traînée m/k représente la distance sur laquelle l'air dissipe une fraction substantielle de la vitesse. Comparez-la à la portée que vous espériez.
  
  $\ell=\frac{m}{k}=\frac{1.0}{0.030}=33.3\ \mathrm{m}\approx\tfrac12R_0$
Réponse

Parce que la traînée a une échelle de longueur de 33 m, et que le lancer aurait voulu atteindre 64 m de long pour seulement 16 m de hauteur. La portée conserve 44 % de sa valeur dans le vide, et la hauteur maximale 61 %. Deux valeurs montrent que la traînée n'est pas une simple correction ici. La vitesse limite vaut 18,083 m/s, sous les 25 m/s du départ : dès le début, la balle perd davantage face à l'air que face à la pesanteur. De son côté, m/k = 33,3 m ne vaut que la moitié de la portée dans le vide, alors qu'une correction marginale exigerait une échelle plusieurs fois supérieure. Aucune formule explicite ne permet de contourner le calcul : la traînée couple les deux axes, et c'est pourquoi la page intègre au lieu de substituer.

$\frac{R}{R_0}=0.44,\qquad \frac{y_{\max}}{y_{0,\max}}=0.61$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Une balle de baseball de masse 0,145 kg a une constante de traînée k = 1,3 × 10⁻³ kg/m. Quelle est sa vitesse limite ?

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33,08 m/s.

$v_t=\sqrt{\frac{0.145\times9.81}{1.3\times10^{-3}}}=33.08\ \mathrm{m/s}$
Un boulet et une balle ont la même taille, de sorte que k = 0,030 kg/m pour les deux ; mais le boulet a une masse de 3,0 kg et la balle de 1,0 kg. Quelle devrait être la constante de traînée de la balle pour voler exactement comme le boulet ?

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0,010 kg/m : seul le rapport k/m intervient dans le mouvement.

$\frac{k}{m}=\frac{0.030}{3.0}=0.010\ \mathrm{m^{-1}}\ \Rightarrow\ k=0.010\ \mathrm{kg/m}\ \ (m=1.0\ \mathrm{kg})$
On lâche la balle de 1,0 kg (k = 0,030 kg/m) sans vitesse initiale. Quelle distance a-t-elle parcourue lorsqu'elle atteint 90 % de sa vitesse limite ?

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27,68 m.

$y=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-0.90^{2}\right)=-\frac{1.0}{0.060}\ln0.19=27.68\ \mathrm{m}$
Une balle caractérisée par k/m = 0,010 m⁻¹ est lancée verticalement vers le haut à 40 m/s. Quelle hauteur atteint-elle, et à quelle vitesse retombe-t-elle au sol ?

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48,37 m, et elle revient au sol à 24,66 m/s.

$v_t^{2}=\frac{9.81}{0.010}=981,\quad H=\frac{981}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{1600}{981}\right)=48.37\ \mathrm{m},\quad v_{\mathrm{back}}=\frac{40\times31.32}{\sqrt{1600+981}}=24.66\ \mathrm{m/s}$
Une balle avec k/m = 0,030 m⁻¹ chute dans un vent régulier de 5,0 m/s. Si la chute dure assez longtemps, vers quelle vitesse par rapport au sol se stabilise-t-elle ?

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18,76 m/s, à 74,54° sous l'horizontale : 5,0 m/s dans le sens du vent et 18,08 m/s vers le bas.

$\mathbf v\to(w,\,-v_t)=(5.0,\,-18.08)\ \mathrm{m/s},\qquad |\mathbf v|=18.76\ \mathrm{m/s},\quad \varphi=74.54^\circ$

Pourquoi la descente est plus raide et plus lente

À la montée, traînée et pesanteur tirent de concert vers le bas et s'unissent pour freiner l'ascension. À la descente, elles s'opposent : la balle chute donc plus lentement qu'elle n'est montée et prend davantage de temps. Pour le lancer par défaut, la montée dure 1,2702 s et la descente 1,5141 s. Tout au long du vol, l'air dissipe la vitesse horizontale, de sorte que la seconde moitié du parcours couvre moins de distance que la première. Le sommet est atteint à 16,259 m sur un parcours de 28,283 m, bien au-delà de la moitié, et la balle touche le sol à 62,324° après être partie à 45°. Dans le vide, la parabole est symétrique par rapport à son sommet parce que les équations sans frottement restent valables en inversant le cours du temps. La traînée est le seul terme qui sache dans quel sens le temps s'écoule.

C'est l'air qui compte, pas le sol

La traînée s'exerce sur la vitesse relative par rapport à l'air, v − w : elle ne ramène donc pas la balle vers l'immobilité, mais tend à l'entraîner avec l'air ambiant. Après un temps suffisant dans un vent régulier, n'importe quel projectile finit par dériver à la vitesse exacte du vent tout en chutant à sa vitesse limite. Cliquez sur vent de face : un vent contraire de 8 m/s annule toute vitesse vers l'avant avant que la balle ne touche le sol, si bien qu'elle retombe à 92,328° sous l'horizontale, en revenant vers le lanceur.

Pourquoi une balle de golf alvéolée vole plus loin

Rendre une balle rugueuse peut diminuer sa traînée. Les alvéoles d'une balle de golf perturbent l'air à sa surface pour former une fine couche limite turbulente. Celle-ci reste collée à la paroi plus longtemps vers l'arrière avant de décoller, ce qui laisse dans son sillage une zone de dépression plus étroite. Pour une sphère, le coefficient de traînée s'effondre brutalement dès que l'écoulement devient assez rapide pour déclencher ce phénomène spontanément : c'est la crise de traînée. Les alvéoles abaissent le seuil de cette chute jusqu'aux vitesses usuelles d'un drive. Cette page conservant une valeur de k identique quelle que soit la vitesse, la crise est précisément le phénomène qu'elle ne saurait montrer.

Parcours

Lancer des objets

Références (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.