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会合周期計算機

2つの公転周期を入力すると、繰り返される角度配置のうなり周期のタイミングが計算されます。

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会合周期は両方の公転周期より長くなりうる

最初に見るとおかしく感じます。どちらも 2 年以内に 1 周する 2 つの天体が、再び並ぶまでにそれより長くかかることがあるのです。地球は 1 年、火星は 1.881 年で、1/S = |1/1 − 1/1.881| から S = 2.135 年、およそ 25.6 か月となり、どちらの公転周期よりも長くなります。2 つの周期が近いほど事態は極端になります。速い側が遅い側に追いつくのがごくゆっくりになるからで、周期が等しくなるにつれて S は無限へ発散します。これは小話ではありません。この 25.6 か月という数字こそ、火星探査機がロケットの準備ができた時ではなく、約 2 年おきにまとまった打ち上げ窓で出発する理由であり、窓を一つ逃すことが 2 年の遅れを意味する理由なのです。

トラックを走る二人のランナー

異なる速さでトラックを回る二人のランナーを思い浮かべてください。速いほうは絶えず前に出ていき、会合周期とは、その速いランナーが遅いランナーを一周分追い抜いて再び横並びになるまでの時間にすぎません。だからこそ、地球が365日、火星が687日で公転していても、両者が衝(しょう)に達するのはおよそ780日ごとで、有人火星ミッションが打ち上げられるのも約26か月ごとに限られるのです。

金星の五芒星

地球と金星はほぼ8:13の公転リズムに乗っています。地球の8年は金星の13年とほぼ正確に等しく、これは地球と金星の会合周期5回分でもあります(5 × 584 ≈ 2920日 ≈ 8年)。この近共鳴のため、金星は内合のたびにほぼ同じ位置へ戻り、その出会いの点を8年間たどると、驚くほど整った五枚花弁のばら模様が描かれます。これが有名な「金星の五芒星」です。

全プロセスの詳細解説

  1. 木星と土星が直列する周期 5 ステップ

    木星の1年は4332.59日、土星の1年は10759.22日である。2つの惑星が会合する周期、各会合が空のどこで起こるか、そして同じ2つの数値に隠された遥かに遅い周期を求めよ。これは木星-土星の状態であり、位置合わせの目標は同じ相対黄経に設定されている。

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    1. 周期を引き算することはできないが、割合（角速度）は引き算できる。各周期を1日あたりの周回数に変換することで、残りの計算は幾何学ではなく算数となる。

      n1=14332.59=2.3081×10−4 d−1,n2=110759.22=9.2944×10−5 d−1n_1=\frac{1}{4332.59}=2.3081\times10^{-4}\ \mathrm{d^{-1}},\qquad n_2=\frac{1}{10759.22}=9.2944\times10^{-5}\ \mathrm{d^{-1}}

    2. トラックを走る2人のランナーは、速い方が正確に1周分リードしたときに再び会合するため、会合割合は周回割合の差となる。2つの小さな数値の引き算により、さらに小さな数値が残る。これが、12年周期の惑星と29年周期の惑星が、いずれよりも遅い20年周期という時計を刻む理由である。

      ν=n1−n2=1.3787×10−4 d−1⟹S=1ν=P1P2P2−P1=7253.4577 d=19.8589 yr\nu=n_1-n_2=1.3787\times10^{-4}\ \mathrm{d^{-1}} \quad\Longrightarrow\quad S=\frac{1}{\nu}=\frac{P_1P_2}{P_2-P_1} =7253.4577\ \mathrm{d}=19.8589\ \mathrm{yr}

    3. 木星の1年だけでは追いつかず、不足分は大きい。4332.59日の間に土星は自身の軌道の40%を進むため、合の位置は半周以上ずれ、木星はさらに3分の2周追いかけなければならない。

      θP1=360∘(1−P1P2)=360∘(1−0.40269)=215.0329∘\theta_{P_1}=360^\circ\left(1-\frac{P_1}{P_2}\right) =360^\circ(1-0.40269)=215.0329^\circ

    4. いつ起こるかだけでなく、どこで会合が起こるかを問う。木星は1周期あたり自身の軌道を1.674周し、合の位置を空の中で移動させるのはその端数部分である。それぞれの合は前回の位置から117.3°遅れた場所に移動する。これを3回繰り返すと、ほぼ正三角形を描いて1周する。

      SP1=7253.45774332.59=1.674162 ⟹ 360∘×1.6741=602.70∘≡+242.70∘ (−117.30∘),3×242.70∘=728.10∘≡8.10∘\frac{S}{P_1}=\frac{7253.4577}{4332.59}=1.674162 \ \Longrightarrow\ 360^\circ\times1.6741=602.70^\circ\equiv+242.70^\circ\ (-117.30^\circ), \qquad 3\times242.70^\circ=728.10^\circ\equiv 8.10^\circ

    5. 周期の比が第2の周期への手がかりとなる。簡単な分数に近い比は、2つの割合の整数倍の組み合わせがほぼゼロになることを意味し、この組み合わせが最も近い分数は5/2である。木星の2周に対して土星の5周をとると、差は1日あたり約1000分の1度となる。

      P2P1=2.4833≈52:2λ˙1−5λ˙2=7204332.59−180010759.22=−0.0011160∘ d−1 ⟹ 3600.0011160=322 575 d=883 yr\frac{P_2}{P_1}=2.4833\approx\tfrac{5}{2}:\quad 2\dot\lambda_1-5\dot\lambda_2=\frac{720}{4332.59}-\frac{1800}{10759.22} =-0.0011160^\circ\,\mathrm{d^{-1}} \ \Longrightarrow\ \frac{360}{0.0011160}=322\,575\ \mathrm{d}=883\ \mathrm{yr}

    解答

    ツールは会合周期として7253.4577日、19.8589年、木星の1軌道ごとのずれとして215.0329°、そして周期比として2.4833を出力する。ここから先はケプラーの考察である。連続するグレート・コンジャンクションは黄道帯を117.3°ずつ進み、そのうちの3回は59.6年後に初期位置から8.1°以内の位置に戻り、この緩やかに回転する三角形が黄道十二宮の1つのサイン（宮）を移動するのには221年を要する。2.4833という数値は、単なる20年のうねり以上のものを隠している。この値が5/2から0.7%しか離れていないため、2λJ − 5λSという組み合わせは1日あたり0.0011160°というわずかな速さで変化し、883年の周期を描く。これが『大不等（グレート・インイコーリティ）』であり、観測記録の歴史を通じて木星が加速し土星が減速しているように見えていた現象の原因であって、1785年にラプラスが両者ともいずれ反転することを示した。|n1 − n2|しか計算しない計算ツールは20年周期しか捉えることができず、883年周期には盲目である。平均運動の近共鳴は、単に差の成分だけでなく、2つの割合のすべての小さな整数比の組み合わせにおいてうねりを生じさせるのである。

    S=P1P2∣P2−P1∣=19.86 yr360∘∣2λ˙1−5λ˙2∣=883 yrS=\frac{P_1P_2}{|P_2-P_1|}=19.86\ \mathrm{yr} \qquad \frac{360^\circ}{|2\dot\lambda_1-5\dot\lambda_2|}=883\ \mathrm{yr}
参考文献 (1)
  • The commensurability behind insight block 3: J. Kepler, Harmonices Mundi, Book V. Linz, 1619 — the ratios between planetary periods, including the Venus–Earth near-commensurability the pentagram comes from.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。