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災害再現期間と生涯リスク

年発生確率が数十年にわたってどのように累積するかを探り、建築基準が再現期間をどのように逆算しているかを学びます。

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100年確率の洪水は30年のローンで26%のリスク

「100年確率の洪水」とは、100年に1度定期的・周期的に発生するという意味ではありません。任意の1年間で発生する確率が1/100（1%）であることを示しています。30年の住宅ローン期間中に少なくとも1回このような洪水に遭遇する累積確率は 1 − (1 − 0.01)³⁰ = 26.03% となり、4分の1以上の高確率です。100年間では発生確率は63.40%となり、一度も発生しない確率は36.60%です。再現期間とは単に年発生確率の逆数であり、周期スケジュールではありません。

63%の定数：1再現期間待っても確実にはならない

暴露期間 n を再現期間 T と等しく設定すると、累積リスク 1 − (1 − 1/T)ᵀ は急速に 1 − 1/e ≈ 63.21% へと収束します。T = 10 では 65.13%、T = 50 では 63.58%、T = 100 では 63.40%、T = 500 では 63.25% となります。再現期間と同じ年数待っても遭遇確率は約63%にとどまり、100%になることはありません。毎年が不変の分布からの独立試行であるという数学的独立性の仮定が前提となっています。現実には、気候変動などにより確率分布自体が変動する可能性があります。

建築基準はこの方程式を逆算したもの

この関係を逆に解くと、T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)) となる。ここで、R は許容リスク、n は設計供用期間である。構造設計や耐震設計の基準は、古くからこの逆算をもとに定められてきた。設計供用期間 50年にわたるリスクを 10%まで許容する場合、再現期間 475年の事象（設計基準地震）に耐えるよう設計する必要がある。許容リスクを 50年間で 2%に下げると、必要な再現期間は 2,475年（最大想定地震）に延びる。よく知られたこれらの再現期間は、地質学的な周期ではない。人間がどこまでリスクを許容するかを、たった一行の代数計算に通した結果である。

全プロセスの詳細解説

  1. 1つの30年ローンの間に同じ町を襲う2つの100年洪水 6 ステップ

    30年間の住宅ローンの間に、同じ町が「100年確率の洪水」に二度見舞われる。これはどの程度不運なことなのでしょうか。また、それが誰かに起こる確率のほうが高くなるには、いくつの町を対象とする必要があるでしょうか。

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    1. 再現期間 T = 100 年とは、年超過確率 p = 1/T = 0.01 のことです。「年間発生確率」カードには 1.00% と表示されます。

      p=1T=1100=0.01p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01

    2. 30年間を30回の独立した試行と考えてみましょう。一度も洪水が起きない確率は 0.99³⁰ = 0.7397 となるため、少なくとも一度は洪水が発生する確率は 26.03% です。両方の数字は、このページの「発生なしの確率」カードと「生涯リスク」カードに表示されています。

      P(0)=(1−p)30=0.9930=0.7397⟹P(≥1)=0.2603P(0) = (1-p)^{30} = 0.99^{30} = 0.7397 \quad\Longrightarrow\quad P(\ge 1) = 0.2603

    3. ちょうど一度だけ洪水が発生する確率は、30年間のうちどの年にそれが起こるかを選ぶことで求められます。すなわち 30 × 0.01 × 0.99²⁹ = 0.2242 です。

      P(1)=(301) p (1−p)29=30×0.01×0.9929=0.2242P(1) = \binom{30}{1}\,p\,(1-p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.99^{29} = 0.2242

    4. 残りの確率はすべて二度以上の発生になります。すなわち 1 − 0.7397 − 0.2242 = 0.03615 です。「事象 ≥2 回の確率」カードの表示は 3.61% となっており、これはおおよそ住宅ローン28件につき一件の割合です。

      P(≥2)=1−0.7397−0.2242=0.03615P(\ge 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615

    5. ここまでは、あるひとつの町についてのお話でした。では、それぞれが独自の川沿いにあり、独自の 1% の閾値を持つN個の町について考えてみましょう。そのどの町でも二度発生することがない確率は 0.96385 のN乗です。これを半分として計算すると、N = ln 0.5 / ln 0.96385 = 18.8 となります。

      (1−0.03615)N=0.5⟹N=ln⁡0.5ln⁡0.96385=18.8(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\ln 0.5}{\ln 0.96385} = 18.8

    6. 19の町ですね。対象が100の町になれば、同じ30年間のうちに少なくともひとつの町が100年確率の洪水に二度見舞われる確率は 1 − 0.96385¹⁰⁰ = 97.5% となり、それに該当する町の数の期待値は 100 × 0.03615 = 3.61 となります。

      1−0.96385100=0.97481 - 0.96385^{100} = 0.9748

    解答

    二回以上起こる確率は、あなたの地域では 3.61%、百の流域全体では 97.5%です。 このページの各カードが扱うのは、ある一地点で一つの閾値を超える場合に限った確率である。3.61%が 97.5%まで大きくなったのは、観察対象とする河川の数を増やしたからだ。したがって、「一生のうちに、どこかで 100年洪水が二度起きた」というニュースがほぼ毎年流れても、それだけでは何かが変化した証拠にはならない。変化を検証するには、見出しの本数ではなく、同じ一つの水位観測所で得られた記録が必要になる。なお、上の計算では各町が互いに独立であるとも仮定している。実際の流域は独立ではなく、一つの暴風雨によって近隣地域が同時に洪水に見舞われることがある。正の相関があるため、真の値は 97.5%を下回るが、どの程度下がるかはこのページからは分からない。ここでモデル化しているのは一地点だけだからである。

    N≥2=100×0.03615=3.61N_{\ge 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61
  2. 475年の地震と、設計寿命を超えて残る建物 6 ステップ

    ある基準が50年間で超過確率10%以下を要求している。これが求める再現期間を算出し、100年後もなお建っている建物に対してその約束が成り立つかどうかを判断せよ。

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    1. これは最初の問題を逆向きに解くものである。あちらではハザードが与えられリスクが求まったが、ここではリスクが委員会によって固定されており、求めるべきはハザードである。50年間無事であること、その確率 0.90。

      (1−p)50=1−0.10=0.90(1-p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90

    2. 50乗根をとり、1から引く。年超過確率は 0.0021 であり、Annual Chance カードには 0.21% と表示される。

      p=1−0.901/50=1−e(ln⁡0.90)/50=0.0021050p = 1 - 0.90^{1/50} = 1 - e^{(\ln 0.90)/50} = 0.0021050

    3. 再現期間はその逆数で、475年。これは Required Return Period カードに表示される値と一致する。この数を選んだのは地質学ではない。委員会が10%と50年を選び、一行の代数がそこから475を返したのである。

      T=1p=10.0021050=475.06T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06

    4. 多くの人が使う近似は 50 ÷ 0.10 = 500年であるが、その誤差の方向が重要である。500年事象は50年間で 9.53% をもたらし、10%ではない。つまりこの近似は基準が求めるよりもわずかに大きな設計事象を要求する。またリスクが小さくなるほど精度は上がる。50年間で2%の場合、正確な答えは 2,475 年であり、近似では 2,500 年となる。

      nR=500.10=500⟹1−(1−1500)50=9.53%\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \left(1-\tfrac{1}{500}\right)^{50} = 9.53\%

    5. 次に、同じハザードのもとで建物を100年間建たせておく。生存確率は累乗されるので、100年間無事である確率は 0.90 の二乗、すなわち 0.81 である。超過確率は 19.00% となり、単純に倍にした 20% とも異なるし、基準が約束した 10% とはまるで違う。

      (1−p)100=[(1−p)50]2=0.902=0.81⟹19.00%(1-p)^{100} = \left[(1-p)^{50}\right]^{2} = 0.90^{2} = 0.81 \quad\Longrightarrow\quad 19.00\%

    6. 100年間で10%を維持するには、年超過確率を 0.105% まで下げる必要があり、再現期間は 949.6 年となる。供用期間を倍にすれば必要な再現期間もほぼ倍になる。確率がこれほど小さいと、結果を支配するのは指数部だからである。

      p′=1−0.901/100=0.0010531⟹T′=949.6p' = 1 - 0.90^{1/100} = 0.0010531 \quad\Longrightarrow\quad T' = 949.6

    解答

    50年の設計寿命に対して475年。同じ建物が100年後も建っていれば超過確率は 19.0%。10%という数字は構造物ではなく、誰かが仕様書に書き込んだ50年間に属するものであり、建物を使い続ける年数にほぼ比例して増大する。

    病院、ダム、学校の建物は、設計に用いた設計寿命を日常的に超えて使われるが、そのとき構造物自体には何も変わらない。変わるのは指数部である。ツールで確認できる。順方向モードに475を入力し、曝露期間を100年にすると、Lifetime Risk カードには 19.00% と表示される。したがって設計事象を正しく引用するには曝露期間を添えるべきである。475年とは50年間で10%の略記であり、その50年から切り離されると、保証のように聞こえる大きな数字にすぎない。

    T=11−(1−R)1/n,T(0.10, 100)=949.6≈2 T(0.10, 50)T = \frac{1}{1-(1-R)^{1/n}}, \qquad T(0.10,\,100) = 949.6 \approx 2\,T(0.10,\,50)
参考文献 (2)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。