分数の足し算と、その間違い

中間分数は、二つの分数のあいだで最も簡単な分数でしょうか。 隙間に入ることは必ずです。より小さい分母のものが先にそこへ届くかどうかは別の問いで、答えは「いつもではない」です。

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1. まず和を、正しく求めます。20 は4分の1も5分の1も収まる最初の分母なので、二つの分数は20分の15と20分の8になります。

   $$\tfrac{3}{4}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{15}{20}+\tfrac{8}{20}=\tfrac{23}{20}$$

2. 次に例の間違いです。9分の5となり、パネルもそれを裏づけます。値はあるべきとおり隙間の中にあります。

   $$\tfrac{3+2}{4+5}=\tfrac{5}{9}=0.5556,\qquad \tfrac{2}{5}=0.4<\tfrac{5}{9}<0.75=\tfrac{3}{4}$$

3. なぜ必ずそうなるか。両端から中間分数を引くと、どちらの場合も分子に同じ量 bc − ad が現れます。分母は一方が b(b+d)、他方が d(b+d) で、ともに正です。したがって二つの差は同じ符号をもち、中間分数は二つの分数のあいだに挟み込まれます。

   $$\tfrac{a+c}{b+d}-\tfrac{a}{b}=\tfrac{bc-ad}{b(b+d)},\qquad \tfrac{c}{d}-\tfrac{a+c}{b+d}=\tfrac{bc-ad}{d(b+d)}$$

4. しかし、もっと簡単なものを探してみてください。2分の1も隙間の中にあり、その分母は 2、中間分数の 9 に対してです。この組では中間分数はあいだの最も簡単な分数ではなく、しかも僅差ですらありません。

   $$\tfrac{1}{2}=0.5\in\left(\tfrac{2}{5},\ \tfrac{3}{4}\right),\qquad q=2<9$$

5. それを決めるのは、すでに机の上にある量です。4分の3と5分の2では、それは 1 ではなく 7 です。

   $$bc-ad=4\times 2-3\times 5=-7,\qquad |bc-ad|=7$$

6. では 1 になる組を試します。3分の1と2分の1。中間分数は5分の2で、分母が 5 より小さいものはそのあいだに入りません。これが条件のすべてです。

   $$\tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{2}:\quad bc-ad=3\times 1-1\times 2=1,\qquad \tfrac{1+1}{3+2}=\tfrac{2}{5}$$