たすき掛けの格子

4つの数を正方形に並べ、十字を引き、求めたいものを丸で囲む。残ったものが、何を掛けて何で割るかを教えてくれる。

計算例 — たすき掛けの格子

格子から読む	250 × 20 ÷ 100
答え	50

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どの二つを掛けるかは覚えない。見る

この方法を支持する理由はそれがすべてであり、数学的な理由ではない。ここには四つの問いがある——部分を求める、全体を求める、パーセントを求める、変化後の値を求める——公式として覚えれば、それは切迫した場面で取り違えずにおくべき四つの事柄になる。この正方形として覚えれば、それは一つになる。求めたい数を丸で囲む。十字でそれと結ばれていない二つを掛け、結ばれている一つで割る。どの隅を囲んでもこれは変わらない。レシートの裏で組み立て直せる図は、正確に思い出さねばならない公式に勝る。だからこそ、この形で覚えた人は何十年たっても使い続けている。

この四角は、相似な二つの三角形

高さ 2 m の棒が 3 m の影を落とし、隣の木は 18 m の影を落とします。同じ太陽、同じ角度ですから、二つの三角形は同じ形です。等角三角形の辺は比例する — ユークリッド『原論』第 6 巻命題 4 です。四つの数を四角に入れれば、木の高さは 2 × 18 ÷ 3 = 12 m。地面を離れずに測れました。ここにこの方法の正直な限界もあります。使えるのは一方の量が他方の一定倍であるときだけで、そのときにだけ二つの三角形が存在するからです。ケプラーの T² ∝ a³ の背後にそんなものはなく、2×2 の枠をどう並べても公転周期は出てきません。

千年のあいだ、算術はここで終わっていた

ブラーマグプタは 628 年にこの規則を書き留めました。方程式としてではありません — そこに未知数はないのです。彼は pramāṇa、phala、icchā という三つの量に名前を与え、そのうち二つは同じ種類のもので三つ目は違う、と述べました。同じものを同じものの下に置くという、この四角が課している制約そのものです。同じ言い回しは数百年後のアラビア語の文献に、さらにイタリアのアバコ書 — フィボナッチ『算盤の書』（1202 年）とそれに続く計算学校の商人算術 — に見てとれます。そしてそれは課程の始まりではなく終わりであり続けました。1859 年 12 月、自らの学歴を書くよう求められたエイブラハム・リンカーンは、自分は「読み、書き、三数法までの計算ができた。だが、それだけだった」と記しています。

元の価格に戻す上昇率は、被った下落率とは異なります

20%の下落は20%の上昇では取り戻せません。その差は四捨五入の誤差ではなく、上に向かって垂直になる曲線です。50%の下落から回復するには100%の上昇が必要です。80%の下落では400%、90%の下落では900%が必要です。損失は線形に増えますが、回復に必要な努力は無限大へと飛散します。

全プロセスの詳細解説

リンゴ3個が2.4のときの7個の値段 5 ステップ
リンゴ3個の値段は2.4です。7個の値段を求めなさい。また、その計算をするにあたって何を仮定しなければならなかったかを求めなさい。

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1. 表と同じ配置になるように、数量と金額を横に並べ、組ごとに段を分けて書きましょう。上の段には、わかっている組の 3 と 2.4、下の段には、求めたい組の 7 と D を書きます。ここでの前提は、どちらの段もりんご一個あたりの値段が同じだということです。
  
  $\begin{array}{rcl}3&\;\text{—}\;&2.4\\7&\;\text{—}\;&D\end{array}$
2. 対角線を交差するように引きましょう。りんご一個あたりの値段が同じなら、それぞれの対角線で結ばれた数の積は等しくなります。片方は 3 と D の積、もう片方は 2.4 と 7 の積です。
  
  $3\times D=2.4\times7$
3. 未知数には、対角線の反対側にある数が掛かっているので、その数で割ります。計算に必要なふたつの数は、未知数を通らないほうの対角線上にあります。
  
  $D=\frac{2.4\times7}{3}$
4. 2.4 × 7 = 16.8 であり、16.8 ÷ 3 = 5.6 となります。
  
  $D=\frac{16.8}{3}=5.6$
5. 丁寧な手順でも一度計算してみましょう。たすき掛けの法則の正体がよく分かるからです。2.4 ÷ 3 = 0.8 がリンゴ1個の値段であり、7 × 0.8 = 5.6 となります。たすき掛けとは、割り算を最後に回した単位量あたりの計算にほかならず、単位量の値が割り切れない複雑な数値であっても正しく機能するのはそのためです。
  
  $\frac{2.4}{3}=0.8\quad\Longrightarrow\quad 7\times0.8=5.6$
解答

マス目には 5.6 と表示されます。計算自体は簡単な半分にすぎず、その根拠となる前提こそが容易ではありません。たすき掛けは、価格が個数の一定の倍数であること——すなわち3個のときも7個のときも割合が同じであり、0個なら0であることを前提としています。同じリンゴを袋代 0.6 ＋ 1個につき 0.6 と価格設定しても、3個の値段は変わらず 2.4 のままなので、問題文は一見影響を受けていないように見えます。しかし、このとき 7個の値段は 4.8 となり、マス目の表示は 0.8 だけ高くなりすぎます。1つの確認で見抜くことができます。一方の量を2倍にしたときに、もう一方の量も2倍になるかを確かめるのです。配送料、基本料金、初乗り運賃といった固定料金はあちこちに存在し、そのどれもが問題文の表現を一切変えることなく、表の前提を破綻させてしまいます。

$c=0.8\,n\ \Longrightarrow\ c(7)=5.6;\qquad c=0.6+0.6\,n\ \Longrightarrow\ c(3)=2.4,\ c(7)=4.8$
200に対する20%の増加と20%の減少 5 ステップ
200が20%増加し、次に20%減少します。増加の段階では100に対して120と記述されるため、200 × 120 ÷ 100 = 240 に達します。減少によって最終的にいくらになるかを求め、なぜ答えが200にならないのかを求めなさい。

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1. 下の行は100に対する割合として変化を記述したものであり、この表の角のマスが誤って記入されやすいポイントです。20%の減少とは100に対して80を意味し、20ではありません。残った量は元の量の80%を保持しているからです。その角のマスに20を入れると、表からは48が得られますが、これは値引き額の大きさであり、新しい価格ではありません。
  
  $100-20=80\quad\Longrightarrow\quad \frac{A}{240}=\frac{80}{100}$
2. 80を当てはめると、たすき掛けはリンゴのときとまったく同じように機能します。新しい値 × 100 は 240 × 80 に等しくなります。
  
  $A\times100=240\times80=19200$
3. これを 100 で割ると 192 となり、最初に開始した数値よりも 8 だけ小さくなります。
  
  $A=\frac{19200}{100}=192,\qquad 200-192=8$
4. 原因は、2つの割合がそれぞれ異なる量を基準にして測定されていることにあります。増加によって加えられたのは 200 の 20% である 40 でした。一方、減少によって取り除かれたのは 240 の 20% である 48 でした。割合は同じでも金額は等しくありません。そして、引き算される方の金額が必然的に大きくなります。より大きな数値から差し引かれたためです。
  
  $240-200=40=0.20\times200,\qquad 240-192=48=0.20\times240$
5. 倍率として表せば1行で記述でき、その1行は表よりも多くのことを説明してくれます。1.2 × 0.8 = 0.96 であり、掛け算は順序によらないため、先に減少してから後に増加した場合でも、やはり 192 に着地します。
  
  $\frac{120}{100}\times\frac{80}{100}=1.2\times0.8=0.96,\qquad 200\times0.96=192$
解答

マス目には 192 と表示されます。その背景には覚えておく価値のある代数の公式があります。(1 + p)(1 − p) = 1 − p² です。したがって、増加とそれと同等の減少を行った場合、どちらの順序で起こったとしても、常に元の量から p² だけ不足することになります。ここでは p = 0.2 であり、損失は 0.04 × 200 = 8 となります。これは丸め誤差のように思えるほど小さな値です。p = 0.5 の場合、同じ往復計算によって全体の 25% が失われます。20%の増加を本当に元に戻す減少は、20%では全くありません。元に戻すとは 1.2 で割ることを意味し、1 ÷ 1.2 = 0.8333、すなわち 16.67% の減少となります。これは、未知数を「変化前」の角のマスに移動させたのと同じ表の計算です。すなわち 240 × 100 ÷ 120 = 200 となります。

$(1+p)(1-p)=1-p^{2};\qquad \frac{1}{1.2}=0.8333\quad\Longrightarrow\quad -16.67\%$

学習の道すじ

多くのデータを1つの数字で：要約統計

参考文献 (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

たすき掛けの格子

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この四角は、相似な二つの三角形 🖖

千年のあいだ、算術はここで終わっていた 🖖

元の価格に戻す上昇率は、被った下落率とは異なります 🖖

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