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円錐曲線パラメータ・エクスプローラー

中心、形状パラメータ、向きを調整すると、方程式の幾何がリアルタイムで更新されます。

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準線が描かれるのは放物線だけで、頂点はちょうどその中間にある

プリセットを切り替えると、放物線にだけ現れる行があります。準線です。これは他の二つに欠けているのではなく、定義そのものです。parabolaRight を見てください。頂点は (−2, 0)、焦点は (1, 0)、準線は x = −5 で、頂点はどちらからもちょうど 3 の距離にあります。この距離が p であり、だから p を動かすと焦点と準線が対称に離れていきます。放物線は焦点と直線から等距離にある点の集まりなので、比は 1 に固定されています。楕円と双曲線はその代わりに、c だけずれた焦点を報告します。

名前の由来

「円錐曲線」という言葉は文字どおりです。二重円錐を平面で切ると、その切り口の縁がこれらの曲線のいずれかになります。平面を水平に保てば円、少し傾ければ楕円、円錐の側面と平行になるまで傾ければ放物線、さらに傾けて両方の部分を切れば双曲線の二本の枝が得られます。このツールの各形状は、切る角度が違うだけなのです。

円錐の中に隠れた焦点

方程式として描かれた円錐曲線には焦点があり、円錐から切り出された円錐曲線には切断面があります。一見無関係ですが、1822年にジェルミナル・ダンデランは両者が同じ点だと示しました。円錐の内側に球を入れて円錐と切断面の両方に接するようにすると、その球の接点がまさに焦点になるのです。楕円ではこうした球が二つ収まり、二つの焦点を定めます。

全プロセスの詳細解説

  1. 半軸が4と3で焦点が c = 2.6458 の楕円 5 ステップ

    半軸長が 4 と 3 の楕円の焦点は c = 2.6458 にある。それを導出し、次いで、そもそもそれが楕円であるための性質を導出せよ。

    1. これら3つの長さは独立ではない。短軸の端点に立つと、2つの焦点距離は等しくなり、それぞれが直角を挟む2辺 b, c と斜辺 a を持つ直角三角形を形作る。したがって a² = b² + c² であり、ピタゴラスの関係式はあらゆる楕円の内部に存在する。

      x2a2+y2b2=1,a=4, b=3\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a=4,\ b=3

    2. c について解くと √7 が得られる。ツールに表示される 2.645751 は、まさにこの根号数の値である。

      a2=b2+c2 ⟹ c=16−9=7=2.645751a^2=b^2+c^2\ \Longrightarrow\ c=\sqrt{16-9}=\sqrt7=2.645751

    3. 離心率は c と a の比であり、形状パラメータである。これは大きさとは無関係に、曲線が円からどれだけ離れているかを示す唯一の数値である。

      e=ca=2.6457514=0.6614e=\frac{c}{a}=\frac{2.645751}{4}=0.6614

    4. ここから定義となる性質が導かれる。すべての点において、2つの焦点までの距離の和は一定であり、2a に等しい。距離が a − c および a + c となる長軸の端点で、このことを確認してみよう。

      r1+r2=2a=8 for every point on the curver_1+r_2=2a=8\ \text{for every point on the curve}

    5. 離心率は曲線ファミリー全体を分類するものでもある。0 は円、1 に近づくと放物線、1 を超えると双曲線となり、全般にわたって同じ方程式が適用される。

      e→0⇒circle;e→1⇒parabola;e>1⇒hyperbolae\to0\Rightarrow\text{circle};\quad e\to1\Rightarrow\text{parabola};\quad e>1\Rightarrow\text{hyperbola}

    解答

    ツールには a = 4、b = 3、c = 2.645751 と表示される。心に留めておくべきは「距離の和が一定である」という性質である。なぜなら、これは定義であると同時に作図法でもあるからだ。2本のピンと長さ 2a + 2c の輪にしたひもを使えば、まさにこの曲線を描くことができる。これは工作の裏技ではなく、定義を物理的に形にしたものなのだ。惑星の軌道が、中心ではなく焦点に太陽を持つ楕円となる理由もここにある。焦点こそが物理現象の宿る場所であり、中心は図形上の単なる中点にすぎない。

    c=a2−b2=7,e=0.661;r1+r2=2a defines the ellipsec=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt7,\quad e=0.661;\qquad r_1+r_2=2a\ \text{defines the ellipse}
参考文献 (1)
  • Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。