陰関数の微分

y について解けない曲線であっても、ごく一部の点を除けば、至る所で接線の傾きを持っています。曲線と x を選んでみてください。その x の上にある点が見つかり、選んだ点での接線と −F_x/F_y が求まります。微分のステップを一手ずつ進めながら、各行の式と数値を照らし合わせてみましょう。

陰関数の微分法	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

計算例 — 陰関数の微分

選択した点	(1, 2.3615)
その点における ∂F/∂x	−11.1688
その点における ∂F/∂y	10.7296
その点での傾き	1.0409
同じ枝上の近傍の二点を結ぶ割線	1.0409
y′ を含む項を一方の辺にまとめ、それ以外の項を他方の辺に移します。	6y−3x²
この x にある他の点	0 となる点

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 陰関数の微分

y について解けない曲線 F(x, y) = 0 でも、滑らかな点には必ず傾きがあります。x と y の双方を含んだ dy/dx = −F_x/F_y がその式です。F_y = 0 の点では破綻します。

各記号の意味

F_x: ∂F/∂x、y を固定して x で微分した F の導関数
F_y: ∂F/∂y、x を固定して y で微分した F の導関数。この値が 0 のとき、傾きの式は値を持ちません

公式の導き方

曲線に沿って微分する。y を x の関数とみなして、F(x, y(x)) = 0 を微分します。x の項はいつも通り。一方、y の項には連鎖律によって y′ が掛かります。現れる二つの項は F_x と F_y·y′ で、足せば 0 です。
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
y′ について解く。F_y が 0 でないなら、これで割ります。傾きの式には x と y の双方が現れるため、x だけでなく点そのものの指定が必要です。ひとつの x に対して複数の点が対応し、傾きもそれぞれ異なるからです。
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
F_y = 0 のとき。割るべきものがありません。その点で F_x が 0 でなければ接線は垂直です。F_x も 0 ならば式は 0/0 となり、何も教えてくれません。正葉線の交点のように。

前提: その点の近傍で F の偏導関数が連続であることが前提です。組み込みの三つの曲線では、x の上にある点は閉形式で求められます。一方、手入力した曲線では、y を −8 から 8 まで走査して F の符号変化を探す数値計算を行っているため、この範囲の外にある点や、0 を横切らずに接するだけの点は見落とされることがあります。

全プロセスの詳細解説

円の接線 3 ステップ
x² + y² = 25 における dy/dx と、点 (3, 4) での接線を求めましょう。

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1. y を x の関数として両辺を微分します。合成関数の微分法により、y² の微分の隣に y′ が現れます：
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. y′ について整理して解きます：
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. 点 (3, 4) を代入し、その点を通りその傾きをもつ直線を求めます：
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
解答

y′ = −x/y であり、点 (3, 4) での接線は y = −3x/4 + 25/4 です。画面にはその位置で F_x = 6、F_y = 8 と表示され、傾きは −6/8 となります。接線は半径と直交しており、その半径の傾きは 4/3 です。

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
積を含む曲線 3 ステップ
x²y + y² = 2 における dy/dx と、点 (1, 1) でのその値を求めましょう。

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1. 両辺を微分します。x²y は積の形なので二つの項に分かれ、y を微分するたびに y′ が掛かります：
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. y′ の項をまとめて解きます：
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. 点 (1, 1) では：
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
解答

y′ = −2xy/(x² + 2y) であり、点 (1, 1) では −2/3 です。画面で自分で入力を選び、x^2*y + y^2 = 2、x = 1 と設定すると、F_x = 2、F_y = 3 と表示されます。

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
y の3乗 3 ステップ
y³ + xy = 2 における dy/dx と、点 (1, 1) でのその値を求めましょう。

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1. 両辺を微分します。合成関数の微分法で y³ は 3y²y′ に、積の微分法で xy は y + xy′ になります：
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. 整理して解きます：
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. 点 (1, 1) では：
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
解答

y′ = −y/(3y² + x) であり、点 (1, 1) では −1/4 です。この曲線を y について一行で解くことなど誰にもできませんし、傾きを求めるのにその必要はまったくありませんでした。

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
傾いた楕円が水平になるところ 3 ステップ
x² + xy + y² = 3 の接線が水平になる点を求めます。

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1. これまでと同様に微分し、y′ について解きます：
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. 傾きが 0 になるのは分子が 0 のときですから、y = −2x をもとの曲線の式に代入します：
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. 二つの点：
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
解答

(1, −2) と (−1, 2) です。(1, −2) では、このページに F_x = 0、傾き 0 と表示されます。いっぽう分母が 0 になる (2, −1) と (−2, 1) では、接線は垂直になります。

$(1,-2),\ (-1,2)$
ln x の導関数 3 ステップ
eʸ = x を用いて、y = ln x の導関数を求めます。

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1. eʸ = x の両辺を微分します。左辺は合成関数なので、eʸ に y′ を掛けた形になります：
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. y′ について解き、もう一度 eʸ = x を使います：
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. したがって、y = ln x の傾きは 1/x となります：
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
解答

(ln x)′ = 1/x です。x = 2 では、このページに傾き 0.5 と表示されます。ここで使ったのは eˣ の導関数だけです。ln x の微分公式は、まさにこのようにして初めて証明されるのです。

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
円の第二次導関数 3 ステップ
x² + y² = 25 における y″ と、点 (3, 4) でのその値を求めます。

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1. まずは第一次導関数から始めます：
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. 商の微分公式でもう一度微分し、y′ に −x/y を代入して x² + y² = 25 を使います：
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. (3, 4) では：
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
解答

y″ = −25/y³ であり、(3, 4) では −25/64 ≈ −0.3906 です。第二次導関数はこのページの計算範囲を超えていますが、計算の出発点となった傾き −0.75 は表示されます。

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
葉形線の先端 3 ステップ
x³ + y³ = 6xy のループの先端 (3, 3) における接線の傾きを求めます。

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1. 両辺を微分します。右辺は積の微分法を使います：
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. y′ について整理し、両辺を 3 で割って解きます：
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. (3, 3) では：
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
解答

(3, 3) で y′ = −1 です。この曲線は直線 y = x に関して対称なので、そこでの接線はこの直線と直交します。このページには F_x = F_y = 9 と表示されます。

$y'(3,3)=-1$
xy の正弦 3 ステップ
sin(xy) + y = 1 について dy/dx を求め、点 (0, 1) における値を求めなさい。

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1. 両辺を微分します。sin(xy) は積を内包した合成関数なので、cos(xy) に xy の導関数を掛けた形が現れます：
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. y′ について整理します：
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. 点 (0, 1) では余弦が cos 0 = 1 となります：
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
解答

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1) であり、点 (0, 1) では y′ = −1 です。正弦の微分には合成関数の微分法が、その内側の xy には積の微分法が必要です。そのため、整理する前の段階では y′ が二箇所に現れます。

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
傾いた楕円が垂直に立つ場所 3 ステップ
x² + xy + y² = 3 において接線が垂直になる点を求め、それらの接線の方程式を求めなさい。

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1. 問題4と同様に微分すると、傾きは分数式になります：
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. 分母が 0 で分子が 0 でない点において、接線は垂直になります。曲線の式に x = −2y を代入します：
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. どちらの点でも分子は 0 ではありません。したがって 0/0 の不定形にはならず、どちらも確かに垂直な接線です：
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
解答

接線が垂直になる点は (2, −1) と (−2, 1) であり、接線の方程式は直線 x = 2 および x = −2 です。これらは楕円の最右端と最左端で接する直線です。問題4では接線が水平になる位置を求めましたが、ここでは楕円の横幅が最大になる位置を求めたことになります。

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
葉の最高点 4 ステップ
正葉線の葉の最高点を厳密に求め、それが直線 y = x と交わる先端 (3, 3) と一致するか判定してください。葉の最高点を押してみましょう。x = 2.52 で上側の点の傾きは 0 に迫る −0.0002 を示しますが、刻み幅 0.01 のスライダーでは答えのおおよその範囲を挟み込むことしかできません。

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1. 接線が水平になるのは y′ = 0 のときであり、そのためには分母が 0 でなく、分子 2y − x² が 0 でなければなりません：
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. 曲線の式に y = x²/2 を代入します。x = 0 は公式が 0/0 となる原点なので、x³ で両辺を割ります：
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. したがって x は 16 の立方根であり、この点で分母は 0 になりません：
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. 先端 (3, 3) における傾きは −1 ですから、その左側で葉はまだ登り続けています：
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
解答

葉の最高点は (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2.5198, 3.1748) であり、先端よりも 0.1748 だけ高くなっています。この高さは、曲線が折り返す点の垂直な接線における x 座標と一致します。x と y を入れ替えても x³ + y³ = 6xy の形は変わらず、水平な接線が垂直な接線へと入れ替わるためです。画面はどこに点を置いても傾きを読み取ってくれますが、y′ = 0 を解く代数計算まではしてくれません。

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

補充問題（答えのみ）

xy = 6 について dy/dx を求め、点 (2, 3) における値を求めなさい。

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y′ = −y/x より、(2, 3) では −3/2

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
x² − y² = 16 について dy/dx を求めなさい。

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y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
x³ + y³ = 9 の点 (1, 2) における傾きを求めなさい。

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y′ = −x²/y² より、−1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
x² + y² = 25 の点 (4, −3) における法線を求めなさい。

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接線の傾きが 4/3 ですから、法線の傾きは −3/4 となり、法線は y = −3x/4 です。円の法線がすべてそうであるように、この直線も中心を通ります。

$y=-\tfrac34x$
tan y = x を用いて、y = arctan x の導関数を求めなさい。

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sec²y · y′ = 1 であり、sec²y = 1 + tan²y = 1 + x² ですから、y′ = 1/(1 + x²) となります

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
xy = 1 について y″ を求め、点 (1, 1) における値を求めなさい。

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y′ = −y/x、y″ = 2y/x² より、(1, 1) では 2

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

x = 1 の上にある三つの点と、三つの傾き

x = 1 における三つの傾きを押してみてください。x = 1 の直上には正葉線の点が三つあり、曲線はその各点を異なる傾きで通っています。x だけの式では各 x に対して値がひとつしか定まらないため、この曲線の傾きを表すことはできません。陰関数の導関数 y′ = (2y − x²)/(y² − 2x) はその点の y 座標も必要とし、曲線の下の表はその三点すべてで傾きを計算しています。1638年にこの曲線を初めて論じたデカルトは、花びらのようにすべての象限に葉が繰り返すと信じていました。実際には葉は一枚、尾は二本しかありません。

公式が破綻するのは、曲線上の点が増減するまさにその場所

折り目 を押してみてください。ここでは分母の F_y が 0 になり、接線が垂直になります。その左側では x の上に点が三つあり、ここで上の二つが合流し、右側には一つだけ残ります。三つの曲線すべてで、x の上にある点の数が変わるのは F_y = 0 となる場所だけで、他にはありません。スライダーを通して見えてくるもの、それこそが陰関数定理です。F_y ≠ 0 のところでは、各点のまわりの曲線は一つの関数のグラフになっています。F_y = 0 の場所について定理は何の保証も与えませんが、この三つの曲線では、まさにそこで二つの関数がぶつかり合っているのです。

原点では公式が 0/0 を示し、曲線には二本の接線が現れる

自己交差する原点を押してみてください。原点では F_x も F_y も 0 になるため、式は 0/0 となります。これは単に接線が垂直になるという以上の事態です。曲線はこの点を二度通ります。一度は葉の下側の縁に沿って平らに離れ、もう一度はそこを急勾配で横切っていきます。x = 0.1, 0.01, 0.001 と原点へ近づけていくと、表の傾きのうち、ひとつは 0 へ近づき、ふたつは際限なく大きくなっていきます。ひとつの傾きだけで表せるはずもありません。キャンバスには両方の接線が描かれます。

学習の道すじ

微分法：変化率はどう結びつくか

参考文献 (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。