加重平均ラボ

年収45,000の12人が6%の昇給を受け、年収72,000の48人が2%の昇給を受けました。平均昇給率はいくらになるでしょう？ これには妥当な答えが2つと、間違った答えが1つあります。そして大抵の場合、世間で引き合いに出されるのはその間違った答えの方なのです。

1. ついついやってしまいがちなのが、2つの昇給率を単純に平均することです。これだと12人の部署と48人の部署を同じ比重で扱ってしまい、まさに上のツールが示そうとしている誤りそのものになります。ですが、とにかく書き留めておきましょう。なぜなら、最終的に発表で使われる数字はこの4%だからです。

   $$\frac{6\%+2\%}{2}=4.00\%$$

2. 代わりに人数で加重平均をとれば、一人一人が等しく計算に組み込まれます。これが「平均的な従業員はどれくらい昇給したのか」という問いに対する誠実な答えであり、すでに発表される数字を1ポイント以上下回っています。

   $$\frac{12(6\%)+48(2\%)}{12+48}=\frac{72+96}{60}=2.80\%$$

3. しかし、給与は頭数で支払われるわけではありません。後者の部署は人数が4倍な上に一人一人の給与額も高いため、人件費全体の86%を占めています。昇給前の時点で、それぞれのグループに実際いくらの費用がかかっているのかを計算してみてください。

   $$12\times 45{,}000=540{,}000\qquad 48\times 72{,}000=3{,}456{,}000$$

4. 人件費で加重平均をとると、予算担当者が肌で感じる数字、つまり総人件費が実際に膨らんだ割合がわかります。昇給率の高いグループの方が元々のパイが小さかったため、この数字は先ほどよりさらに低くなります。

   $$\frac{540{,}000(6\%)+3{,}456{,}000(2\%)}{3{,}996{,}000}=\frac{32{,}400+69{,}120}{3{,}996{,}000}=2.54\%$$

5. 実はどちらの答えも正解です。答えている問いが違うだけであり、どちらが必要になるかは、人を数えているのかお金を数えているのかで変わってきます。いずれにせよ出ていく現金は同じで、誰がどの平均値を引用しようが金額そのものには関係ありません。

   $$32{,}400+69{,}120=101{,}520$$

6. さて、ここからがツールの数字だけでは見えてこない話になります。これまでの加重平均はすべて、昇給の前後で顔ぶれが変わらないことを前提としています。例えば従業員が20人いて、10人の年収が30,000、残り10人が60,000だとすると、平均は45,000になりますね。

   $$10\times 30{,}000+10\times 60{,}000=900{,}000\ \Rightarrow\ \bar{x}=45{,}000$$

7. ここで給料の低い10人を解雇し、残った全員の給料を10%カットしたとします。するとどうでしょう、平均は54,000になります。残った従業員全員が10分の1を失い、さらに10人がすべてを失ったというのに、平均値は5分の1も跳ね上がりました。計算のどこにも誤りはありません。平均という表層の下で、対象となる集団そのものが入れ替わってしまっただけなのです。だからこそ「平均賃金の上昇」という言葉は、一体誰が計算対象として残っているのかという事実とセットで読み解かなければならないのです。

   $$10\times(60{,}000\times 0.9)=540{,}000\ \Rightarrow\ \bar{x}=54{,}000\quad(+20\%)$$