立体ラボ：球・円錐・円柱

半径3の球を、それが収まる最小の円柱の中に入れます。体積の比が2:3になること、全表面積の比も同じ2:3になることを示し、なぜ同じ数値が二度現れるのかを説明しなさい。

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1. 外接する円柱の寸法は球によって決まります。球が側面（曲面）および上下の両底面に接する必要があるため、円柱の半径は r、高さは 2r となります。自由に選べる部分は一切ありません。

   $$V_{\text{sph}} = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad V_{\text{cyl}} = \pi r^{2}\cdot 2r = 2\pi r^{3}$$

2. 体積。球の体積は ⁴⁄₃πr³、円柱の体積は πr² × 2r = 2πr³ です。割ると (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃ となり、r は相殺されるため、この比はあらゆる球において成立します。r = 3 のとき、これは 113.10 対 169.65 となります。

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$$

3. 表面積。球の表面積は 4πr² です。円柱には3つの部分が必要です。それぞれ πr² である2つの平らな底面と、展開すると横幅 2πr、高さ 2r の長方形になる側面（曲面）であり、その面積は 4πr² となります。合計は 2πr² + 4πr² = 6πr² です。

   $$A_{\text{cyl}} = \underbrace{2\pi r^{2}}_{\text{caps}} + \underbrace{2\pi r\cdot 2r}_{\text{wall}} = 6\pi r^{2}$$

4. 再び割ると 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃ となります。全く異なる計算から、同じ比が得られました。r = 3 のとき、これは再び 113.10 対 169.65 となります。

   $$\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}} = \frac{4\pi r^{2}}{6\pi r^{2}} = \frac{2}{3}$$

5. 偶然そうなるわけではない。まず円柱の側面だけを見よう。その面積は4πr²で、球の表面積にぴたりと等しい。これはアルキメデスが示した結果である。円柱の軸に垂直な任意の二平面で球と円柱を切ると、その間にできる二つの帯の面積は等しくなる。球を上へたどるにつれて断面の円は小さくなるが、その割合と表面の傾きによる面積の増え方が正確に相殺されるからだ。ここに二つの底面の面積2πr²を加えれば、4が6になる。

   $$A_{\text{sph}} = 4\pi r^{2} = A_{\text{wall}} \quad\text{(Archimedes)}$$

6. この設定における表示パネルについて、1つ注意点があります。パネルには球の体積として 113.0973、表面積として 113.0973 と表示されますが、これらは同じ種類の量ではありません。一方は体積（立方単位）であり、もう一方は面積（平方単位）です。両者が一致するのは、⁴⁄₃πr³ = 4πr² が成り立つには r = 3 である必要があるからに過ぎません。r を 4 に設定すると、両者はただちに離れます。

   $$\tfrac{4}{3}\pi r^{3} = 4\pi r^{2} \iff r = 3 \quad\text{(why the panel prints 113.0973 twice)}$$

体積を等しくしたとき、パネルは円柱に球より 14.5%、円錐に 26.0% 多い表面積を課します。この二つの数値がどこから来るのかを求め、同じ材料 のプリセットが第二の事実なのか同じ事実なのかを判断してください。

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1. 球から始めます。r = 3 のとき体積は (4/3)π × 27 = 113.10、表面積は 4π × 9 = 113.10 であり、これが他のすべての立体が合わせるべき目標になります。

   $$V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi\cdot 27 = 113.10, \qquad A_{\text{sph}} = 4\pi r^{2} = 113.10$$

2. その体積を収める最も安上がりな密閉円柱は h = 2r、すなわち表面積を最小にする比です。このとき V = 2πr³、A = 6πr² となるので r = ∛18 = 2.6207 で、面積は 129.46 になります。

   $$\text{Best cylinder: } h = 2r_c \Rightarrow V = 2\pi r_c^{3},\ A = 6\pi r_c^{2}; \qquad r_c = \sqrt[3]{18} = 2.6207,\ A = 129.46$$

3. 数値を使わずに比較すると r が落ちます。体積を揃えると r_球³ = (3/2)r_柱³ が要求され、面積比は 3/2 の立方根、すなわち 1.1447 に潰れます。これが 14.5% であり、どの大きさでも成り立ちます。

   $$r_s^{3} = \tfrac{3}{2}r_c^{3} \;\Longrightarrow\; \frac{A_{\text{cyl}}}{A_{\text{sph}}} = \frac{6\pi r_c^{2}}{4\pi\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2/3} r_c^{2}} = \sqrt[3]{\tfrac{3}{2}} = 1.1447 \;\Rightarrow\; +14.5\%$$

4. 最も安上がりな円錐は h = √8 r で、母線がちょうど 3r、面積が 4πr² になります。同じ打ち消しによって残るのは 2 の立方根 1.2599 であり、26.0% です。

   $$\text{Best cone: } h = \sqrt{8}\,r_n \Rightarrow \ell = 3r_n,\ A = 4\pi r_n^{2},\ V = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi r_n^{3}; \qquad \frac{A_{\text{cone}}}{A_{\text{sph}}} = \sqrt[3]{2} = 1.2599 \;\Rightarrow\; +26.0\%$$

5. 小さな分数の立方根が二つ出てきたら、一つの量が働いている強い手がかりです。その量が Q = 36πV²/A³ です。単位を持たず、立体を拡大縮小しても動きません。球は 1、最良の円柱は ⅔、最良の円錐はちょうど ½ を与えます。

   $$Q = \frac{36\pi V^{2}}{A^{3}}: \qquad Q_{\text{sph}} = 1, \quad Q_{\text{cyl}} = \tfrac{2}{3}, \quad Q_{\text{cone}} = \tfrac{1}{2}$$

6. Q は二つのプリセットを一度に片づけます。体積を固定した場合、表面積は Q の −⅓ 乗に従い、1.1447 と 1.2599 を返します。表面積を固定した場合、体積は √Q に従うので、球は円柱の √(3/2) = 1.2247 倍、円錐の √2 = 1.4142 倍を収めます。これが材料を固定したカードにある 22.5% と 41.4% です。

   $$\text{fixed } V:\ A \propto Q^{-1/3} \Rightarrow 1.1447,\ 1.2599; \qquad \text{fixed } A:\ V \propto Q^{1/2} \Rightarrow \sqrt{\tfrac{3}{2}} = 1.2247,\ \sqrt{2} = 1.4142$$

7. そして円柱の ⅔ は、このページが冒頭で扱った比そのものです。表面積を最小にする円柱は h = 2r、すなわちアルキメデスの外接円柱であり、そこでは球が体積でも表面積でも 3 分の 2 を占めます。これを Q に入れると、2 乗と 3 乗が (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔ を残します。

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}} = \frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}} = \frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; Q_{\text{cyl}} = \frac{(3/2)^{2}}{(3/2)^{3}} = \frac{2}{3}$$