ベルヌーイの定理とベンチュリ効果

50 mm の水道管に、25 mm のスロート部を持つベンチュリ管が組み込まれています。標準的なベンチュリ管 を押して設定してください。二つの取り出し口をつなぐ差圧計は 29.95 kPa を示しています。現在の流量はいくらでしょうか。また、この計器が示せる最大の流量はどれくらいでしょうか。

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1. 毎秒入口を通過する体積はすべてスロート部も通過します。そのため、面積が減少した分だけ流速が上がり、両者の積は一定に保たれます。面積は直径の2乗に比例するため、内径が半分になっても流速は二倍にはならず、四倍になります。流速比の行は 4.00×、スロート部の流速は 8.00 m/s を示しています。

   $$\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}=\left(\frac{50}{25}\right)^{2}=4.00 \qquad v_2=v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}=2\times4.00=8.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

2. ベルヌーイの定理は、その流速の代償を圧力で支払います。管は水平なので二つの ρgh の項は打ち消し合い、運動エネルギーの項だけが残ります。運動エネルギーの項には v² が含まれるため、四倍の速さを生み出すには入口の動圧の十六倍が必要になります。そのうちの一倍分はすでに使われていたため、実際の圧力低下は ½ρv₁² の十五倍です。ここでの ½ρv₁² は 1996.4 Pa に当たります。圧力変化の行は −29.95 kPa を示しています。

   $$\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^{2}-v_2^{2}\right) =\tfrac{1}{2}(998.2)\left(2^{2}-8^{2}\right)=-29{,}946\ \mathrm{Pa}$$

3. 入口側の取り出し口における大気圧からその値を引くと、スロート部は絶対圧力で 71.38 kPa になります。まだ余裕はあります。20 °C の水は 2339 Pa で沸騰するため、69 kPa ほどの余裕が残されているわけです。スロート部のマッハ数は 0.005 を示しており、ベルヌーイの定理に組み込まれたもう一つの仮定もまた、まったく無理がないことを報告しています。

   $$p_2=p_{\mathrm{amb}}+\Delta p\quad\Rightarrow\quad 101.325-29.946=71.379\ \mathrm{kPa} \qquad M=\frac{v_2}{c}=\frac{8.00}{1481}=0.005$$

4. しかし、ベンチュリ管の働きはこうした計算とは異なります。計器には流速を決めるスライダーなどありません。あるのは二つの取り出し口と差圧計だけであり、流量こそが導き出すべき未知数なのです。そこで、今度は Δp が既知で v₁ を求めるものとして、同じ方程式を逆向きに解いてみましょう。差圧計の 29.95 kPa を代入し直すと、入口の流速は 2.000 m/s となります。これはまさに入口が設定されていた値です。

   $$\Delta p=-\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2}\Bigl[\Bigl(\frac{d_1}{d_2}\Bigr)^{4}-1\Bigr] \quad\Rightarrow\quad v_1=\sqrt{\frac{2\lvert\Delta p\rvert}{\rho\bigl[(d_1/d_2)^{4}-1\bigr]}} =\sqrt{\frac{2(29{,}950)}{(998.2)(15)}}=\sqrt{4.0005}=2.000\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

5. これに入口の面積 π(0.050)²/4 = 1.9635×10⁻³ m² を掛ければ、流量の行にある 3.93 L/s は流速からではなく圧力の読み取り値から得られたことになります。計器のデータシートでは、これら二つのステップを直径比 d₂/d₁（ここでは 0.5）を表す β を用いて一つの方程式にまとめています。この装置が存在する理由こそがその方程式であり、このページ上でツールが決して計算しない唯一のものなのです。

   $$Q=v_1A_1=2.000\times1.9635\times10^{-3}=3.927\times10^{-3}\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}} \qquad Q=A_2\sqrt{\frac{2\lvert\Delta p\rvert}{\rho\left(1-\beta^{4}\right)}}\quad\beta=\frac{d_2}{d_1}=0.5$$

6. どんな計器にも上限がありますが、この計器の上限は差圧計ではなく水そのものに依存しています。スロート部を絞っていくと、そこでの圧力は直径比の4乗で下落していき、やがて 2339 Pa に達します。その時点で液体は加速する代わりに沸騰を始めます。現在の流量でそれが起こるスロート部を逆算してみましょう。括弧内の値は 50.582 となり、その4乗根は 2.6669 です。このスロート径未満でキャビテーション発生 の行は 18.75 mm を示します。組み込まれた 25 mm のスロート部は、それよりも三分の一ほど広いことになります。

   $$d_2^{\ast}=d_1\Bigl[1+\frac{2(p_{\mathrm{amb}}-p_v)}{\rho v_1^{2}}\Bigr]^{-1/4} =d_1(50.582)^{-1/4}\qquad\frac{50}{2.6669}=18.75\ \mathrm{mm}$$

7. 今度はスロート部を 25 mm に固定して、同じ境界を逆側から見てみましょう。流体が消費できる圧力は周囲圧から蒸気圧を引いた 98,986 Pa であり、それを消費するのは ρ[(d₁/d₂)⁴ − 1] です。この流速以上でキャビテーション発生 の行は 3.64 m/s を示しています。

   $$v_1^{\max}=\sqrt{\frac{2\left(p_{\mathrm{amb}}-p_v\right)}{\rho\bigl[(d_1/d_2)^{4}-1\bigr]}} =\sqrt{\frac{2(98{,}986)}{(998.2)(15)}}=\sqrt{13.222}=3.636\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

8. その流速を流量に変換してくれる行はないため、自分で計算しましょう。50 mm の内径を 3.636 m/s で流れる場合、流量は 7.14×10⁻³ m³/s、すなわち 7.14 L/s となります。この計器のフルスケールは現在読み取っている流量の 1.82 倍であり、発生し得る最大の差圧は 98.99 kPa です。これは周囲圧から蒸気圧を引いたものであり、これを超えて利用できるものはありません。これ以上押し込むとスロート部は蒸気で満たされ、差圧は流量と連動しなくなり、差圧計は単に沸騰した空洞を測っているだけになります。

   $$Q_{\max}=v_1^{\max}A_1=3.636\times1.9635\times10^{-3}=7.14\times10^{-3}\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}} \qquad\frac{7.14}{3.927}=1.818$$