タンクからの流出

タンクは常に深さ 1.20 m まで水が満たされています。その側面に三つの穴が開けられており、それぞれタンクが置かれている机から 0.30 m、0.60 m、0.90 m の高さにあります。各穴からの噴流がどこに落ちるかを計算し、水を最も遠くまで飛ばせる高さを求めてみましょう。

1. 穴から流れ出る水は、その上にある水の深さのみによって押し出されます。この圧力によって生じる速さは、石を同じ距離だけ自由落下させたときの速さと完全に一致します。これがトリチェリの定理です。一番下の穴の上には、0.90 m の水があります。

   $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.90} = 4.20\ \mathrm{m/s}$$

2. 空気中に出た噴流は水平投射されるため、空中に留まる時間は落下距離で決まります。穴より上の水深が流出速度を決めます。穴より下の高さが落下時間を決めるのです。

   $$t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.30}{9.81}} = 0.2473\ \mathrm{s}$$

3. この二つを掛け合わせると、式から g が消去されます。もし月面であれば、水の飛び出す速度は遅くなり、空中を飛ぶ時間も長くなりますが、最終的に水は同じ場所に落ちます。

   $$R = vt = \sqrt{2gh}\;\sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{hy} = 2\sqrt{0.90 \times 0.30} = 1.039\ \mathrm{m}$$

4. 到達距離は常に、上の水深と下の高さの積で決まります。これら二つの和は必ず H です。y を H − y に置き換えても積は同じままなので、高さ 0.90 m の穴から飛び出した水は、0.30 m の穴と全く同じ距離まで届きます。

   $$R(y) = 2\sqrt{(H-y)\,y}\ \Longrightarrow\ R(0.90) = 2\sqrt{0.30 \times 0.90} = 1.039\ \mathrm{m} = R(0.30)$$

5. 和が一定である二つの数は、両者が等しいときに積が最大になります。したがって、最も遠くまで届くのは、ちょうど中間の高さにある穴です。このとき、上の水深と下の高さは共に H/2 となり、到達距離はぴったり H になります。

   $$\max_y\,(H-y)y \;\Longrightarrow\; y = \tfrac{H}{2} = 0.60\ \mathrm{m}, \qquad R_{\max} = 2\sqrt{\tfrac{H}{2}\cdot\tfrac{H}{2}} = H = 1.200\ \mathrm{m}$$

6. つまり、どれほど工夫してドリルで穴を開けても、タンクの深さ以上に遠くへ水を飛ばすことはできません。また、この一対の噴流は同じ場所を濡らしますが、同時に到達するわけではありません。上の穴からの噴流は 0.4284 s の間空中を飛ぶのに対し、下の穴からは 0.2473 s で着地します。その結果、同じ落下地点に 0.18 s の差で二度水が当たることになります。

   $$t_{0.90} = \sqrt{\frac{2 \times 0.90}{9.81}} = 0.4284\ \mathrm{s}, \qquad t_{0.90} - t_{0.30} = 0.1810\ \mathrm{s}$$