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Comparador de velocidade de escape

v = √(2GM/R) — a velocidade mínima para escapar definitivamente da gravidade de um corpo

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Comprima qualquer coisa o suficiente e a sua velocidade de escape passa a da luz

Para qualquer corpo existe um raio em que a velocidade de escape iguala a velocidade da luz: rs = 2GM/c². Para o Sol, são apenas 3 km. Um buraco negro não é um objeto misterioso; é simplesmente um corpo cujo raio físico é menor que seu raio de Schwarzschild.

Por que a massa do próprio foguete não importa

A velocidade de escape é a rapidez de lançamento que permite a um objeto afastar-se para sempre em vez de cair de volta. A surpresa: ela depende apenas do corpo que você deixa — da sua massa M e do seu raio R, por v = √(2GM/R) — nunca do que você arremessa. Uma bola de gude e um navio de guerra precisam ambos de 11.2 km/s para deixar a Terra. É por isso que um único número resume cada mundo.

Escapar é só √2 vezes mais rápido que orbitar

A rapidez para orbitar um corpo logo acima da sua superfície é v = √(GM/R), e a velocidade de escape é exatamente √2 vezes maior. Então sair de uma órbita estável nunca exige o dobro da rapidez — apenas cerca de 41% a mais. É a trajetória amarela na simulação desta ferramenta, lançada a 0.71× (1/√2) da velocidade de escape: ela se acomoda num círculo enquanto o disparo verde de escape parte de vez.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. A velocidade à qual algo lançado da Terra nunca regressa 5 passos

    Determine a velocidade à qual algo lançado da Terra nunca mais regressa — depois use-a para explicar por que razão a Terra ainda conserva azoto, está a perder lentamente o seu hidrogénio e por que motivo a Lua não tem ar de todo. Terra: M = 5,972 × 10²⁴ kg, R = 6371 km.

    1. “Nunca mais regressa” é uma afirmação sobre energia, não sobre altura. A atração da gravidade enfraquece com a distância, mas nunca se desliga, pelo que a condição é que a energia cinética seja pelo menos tão grande quanto a profundidade do poço gravítico em que o objeto se encontra.

      12mv2−GMmR ≥ 0\tfrac12 m v^2-\frac{GMm}{R}\ \ge\ 0

    2. Iguale o total a zero — o caso limite, chegando ao infinito sem nada restante — e resolva. A própria massa do projetil cancela-se, o que é a primeira surpresa: uma bala e um rochedo precisam exatamente da mesma velocidade.

      vesc=2GMRv_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}

    3. Introduza os números da Terra. Este é o valor que o comparador acima apresenta quando a Terra está selecionada, e vale a pena notar que se trata de uma velocidade, não de uma propulsão: nada aqui diz como se chega a ela.

      vesc=2(6.674×10−11)(5.972×1024)6.371×106=11 186 m/s≈11.2 km/sv_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24})}{6.371\times10^{6}}}=11\,186\ \mathrm{m/s}\approx 11.2\ \mathrm{km/s}

    4. Agora use o facto de m se ter cancelado. Aplica-se tanto a uma molécula de azoto como a um foguete. As moléculas de um gás não se movem todas à mesma velocidade, mas a velocidade quadrática média decorre apenas da temperatura.

      vrms=3kTm:H2 at 288 K=1.90 km/s,N2=0.51 km/sv_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}:\quad \mathrm{H_2}\ \text{at}\ 288\,\mathrm{K}=1.90\ \mathrm{km/s},\qquad \mathrm{N_2}=0.51\ \mathrm{km/s}

    5. Um gás não se perde assim que uma molécula ultrapassa a velocidade de escape; a cauda de altas velocidades da distribuição vai-se dissipando ao longo de milhares de milhões de anos. Segundo a regra prática habitual, um astro retém um gás se a sua velocidade de escape for, pelo menos, cerca de seis vezes superior à velocidade molecular. A linha da Lua corresponde à sua própria temperatura: sem atmosfera para distribuir o calor, a face diurna atinge cerca de 390 K, fazendo subir a velocidade do azoto para 0,59 km/s.

      vescvrms:Earth, N2=22Earth, H2=5.9Moon, N2=4.0\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{rms}}}:\quad \text{Earth},\ \mathrm{N_2}=22\qquad \text{Earth},\ \mathrm{H_2}=5.9\qquad \text{Moon},\ \mathrm{N_2}=4.0

    Resposta

    11,2 km/s, e é a mesma para tudo. As razões contam depois toda a história das atmosferas planetárias: o azoto na Terra situa-se em 22 — confortavelmente retido. O hidrogénio situa-se em 5,9, logo abaixo do limiar, o que é precisamente a razão pela qual a Terra deixa escapar hidrogénio para o espaço e por que motivo a atmosfera que respira é composta por moléculas pesadas. Na Lua, a velocidade de escape é de apenas 2,38 km/s e o azoto regista 4,0 — abaixo da linha, razão pela qual a Lua já não tem atmosfera para perder. A própria equação que cancelou a massa do projetil é o que permite aplicá-la a uma molécula.

    vesc=11.2 km/sretained if vesc≳6 vrmsv_{\text{esc}}=11.2\ \mathrm{km/s}\qquad \text{retained if}\ v_{\text{esc}}\gtrsim 6\,v_{\text{rms}}
  2. O que custa sair do Sistema Solar depois de 11,2 km/s escaparem à Terra 6 passos

    11,2 km/s escapam à Terra. Não escapam ao Sol: deixam-no nas mãos do Sol à distância da Terra, em órbita ao lado do planeta que acabou de deixar. Calcule quanto custa realmente sair do Sistema Solar.

    1. Comece pelo número do painel e pelo balanço de energia que o produziu: a energia cinética a cancelar exatamente a profundidade do poço gravítico.

      vesc=2GMR=2(6.674×10−11)(5.972×1024)6.371×106=11.19 km s−1v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2(6.674\times10^{-11})(5.972\times10^{24})}{6.371\times10^{6}}}=11.19\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    2. Agora mude o centro a partir do qual mede. A própria Terra está a cair em torno do Sol, a uma velocidade fixada pela mesma lei a uma unidade astronómica de distância.

      v⊕=GM⊙a=(6.674×10−11)(1.989×1030)1.496×1011=29.79 km s−1v_{\oplus}=\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a}}=\sqrt{\frac{(6.674\times10^{-11})(1.989\times10^{30})}{1.496\times10^{11}}}=29.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    3. Escapar ao Sol a essa distância exige √2 vezes a velocidade circular — exatamente a mesma relação, porque à aritmética é indiferente qual dos corpos o segura.

      vesc,⊙(1 AU)=2  v⊕=1.4142×29.79=42.13 km s−1v_{\mathrm{esc},\odot}(1\,\mathrm{AU})=\sqrt{2}\;v_{\oplus}=1.4142\times29.79=42.13\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    4. Subtraia, e repare no que lhe é oferecido. Já viaja a 29,79 e precisa de 42,13, portanto só falta a diferença — e obtém-na de graça lançando no sentido em que a Terra já se move.

      Δv=42.13−29.79=12.34 km s−1\Delta v=42.13-29.79=12.34\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    5. Mas ainda tem de trepar para fora da Terra, e o que se soma são as energias, não as velocidades. É por isso que os dois valores se compõem ao quadrado: a velocidade necessária à superfície é a hipotenusa, não a soma.

      12v2−GMR=12Δv2 ⟹ v=vesc2+Δv2=11.192+12.342=16.65 km s−1\tfrac12v^{2}-\frac{GM}{R}=\tfrac12\Delta v^{2}\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^{2}+\Delta v^{2}}=\sqrt{11.19^{2}+12.34^{2}}=16.65\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    6. Agora vire-se e lance contra o movimento da Terra. As duas velocidades deixam de se cancelar e passam a somar-se.

      vretro=11.192+(42.13+29.79)2=125.2+5172.5=72.79 km s−1v_{\mathrm{retro}}=\sqrt{11.19^{2}+(42.13+29.79)^{2}}=\sqrt{125.2+5172.5}=72.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    Resposta

    16,65 km/s à superfície se for com a Terra, contra 72,79 km/s se for ao contrário. Um fator superior a quatro, e é feito inteiramente dos 29,79 km/s de movimento orbital da Terra, que ou aceita como prenda ou paga a dobrar. É por isso que os lançamentos para o espaço profundo esperam por uma janela e partem ao longo da trajetória da Terra, e é por isso que a velocidade de escape dada como um único número é meia resposta: a pergunta honesta é sempre escapar de quê.

    v=vesc2+Δv2:16.65 km s−1⟷72.79 km s−1v=\sqrt{v_{\mathrm{esc}}^{2}+\Delta v^{2}}:\qquad 16.65\ \mathrm{km\,s^{-1}}\quad\longleftrightarrow\quad 72.79\ \mathrm{km\,s^{-1}}
Referências (1)
  • The radius named in the first block: K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie." Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 189–196, 1916.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.