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Equação de Vis-Viva

A equação de vis-viva relaciona a velocidade com a posição e a forma da órbita. Escolha um corpo central e insira os parâmetros orbitais.

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Mesmo semieixo maior, mesma energia, mesmo período

A equação de vis-viva é a conservação de energia expressa em forma orbital. Em cada ponto, a energia mecânica específica total é ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — uma constante determinada apenas pelo semieixo maior a. Duas órbitas com o mesmo a, mas excentricidades diferentes, têm a mesma energia e o mesmo período; a excentricidade molda a trajetória sem alterar o orçamento energético. A velocidade é máxima no periélio (energia potencial mínima) e mínima no afélio. A trajetória de escape é o caso-limite a → ∞, com vesc = √(2GM/r) = √2 · vc — exatamente √2 vezes a velocidade circular no mesmo raio.

Apenas dois números definem a velocidade

A equação vis-viva diz que a velocidade de um objeto em órbita depende de apenas duas coisas: sua distância atual r ao corpo central e o tamanho global da órbita, o semieixo maior a. Coloque ambos em v = √(GM(2/r − 1/a)) e você obtém a velocidade. A massa do próprio objeto nunca aparece: um clipe de papel e uma estação espacial na mesma órbita viajam exatamente à mesma velocidade.

O nome significa 'força viva'

Vis viva é o latim para 'força viva', o termo que Leibniz cunhou na década de 1680 para a grandeza mv² — a antecessora da energia cinética. Ele desencadeou uma disputa de décadas com os seguidores de Newton, que defendiam que a quantidade de movimento mv era a verdadeira 'medida do movimento'. Ambos os lados tinham parte da razão, e o v² que sobrevive nesta equação é um eco direto da força viva de Leibniz.

Problema resolvido na íntegra

  1. Período e duas velocidades extremas de uma órbita Molniya em torno da Terra 5 passos

    Uma órbita Molniya: semieixo maior de 26 560 km, excentricidade de 0,74, em torno da Terra. Encontre o seu período e as suas duas velocidades extremas, e depois o número para o qual a órbita foi realmente concebida — quanto tempo de cada passagem é passado longe. Este é o estado Molniya (HEO), com μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².

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    1. O semieixo maior é a média dos dois raios extremos, pelo que a excentricidade o separa simetricamente. Esta órbita passa a 535 km acima do solo numa extremidade e atinge 39 843 km na outra, mais longe do que a geostacionária.

      rp=a(1−e)=26 560×0.26=6905.6 km,ra=a(1+e)=26 560×1.74=46 214.4 kmr_p=a(1-e)=26\,560\times0.26=6905.6\ \mathrm{km},\qquad r_a=a(1+e)=26\,560\times1.74=46\,214.4\ \mathrm{km}

    2. O período ignora tudo isso. A terceira lei de Kepler vê apenas o semieixo maior, pelo que esta elipse demora exatamente o mesmo tempo que uma órbita circular a 26 560 km demoraria — e a resposta é o ponto fulcral do projeto, porque 11,97 h é metade de um dia sideral. O satélite volta, portanto, a traçar a mesma trajetória sobre o solo duas vezes por dia e pode ser transferido para uma estação de solo num horário fixo.

      T=2πa3μ=2π(2.656×107)33.986×1014=43 079 s=11.97 hT=2\pi\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}} =2\pi\sqrt{\frac{(2.656\times10^{7})^{3}}{3.986\times10^{14}}} =43\,079\ \mathrm{s}=11.97\ \mathrm{h}

    3. A equação vis-viva necessita apenas do raio atual e do tamanho da órbita, e o periapside fornece ambos. O resultado é 93% da velocidade que lhe permitiria abandonar a Terra a partir dessa altitude: uma órbita muito excêntrica é uma fuga por pouco no ponto mais baixo.

      vp=μ(2rp−1a)=3.986×1014(26.906×106−12.656×107)=10.021 km/sv_p=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a}\right)} =\sqrt{3.986\times10^{14}\left(\frac{2}{6.906\times10^{6}}-\frac{1}{2.656\times10^{7}}\right)} =10.021\ \mathrm{km/s}

    4. A mesma equação na outra extremidade, alterando apenas o raio, dá uma velocidade quase sete vezes menor. Esse fator não é informação nova — o momento angular rv é conservado, pelo que as duas velocidades devem estar em proporção inversa aos dois raios, e a razão dos raios já tinha sido fixada por e no passo 1.

      va=μ(2ra−1a)=1.497 km/s,vpva=rarp=1+e1−e=6.69v_a=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a}\right)}=1.497\ \mathrm{km/s}, \qquad \frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}=\frac{1+e}{1-e}=6.69

    5. Lento no topo significa muito tempo no topo, e a segunda lei de Kepler torna isso exato: áreas iguais em tempos iguais, portanto uma fração do período é uma fração da área. O eixo menor corta a elipse em duas metades iguais e cruza a órbita precisamente onde r = a, pelo que a área varrida a partir da Terra no lado distante é essa metade mais o triângulo entre o foco e o eixo. Tanto a como b cancelam-se na razão, o que deixa a excentricidade isolada.

      tr>aT=12πab+abeπab=12+eπ=0.5+0.2356=0.7355⟹0.7355×11.97=8.80 h\frac{t_{r>a}}{T}=\frac{\tfrac12\pi ab+abe}{\pi ab}=\frac12+\frac{e}{\pi} =0.5+0.2356=0.7355\quad\Longrightarrow\quad 0.7355\times11.97=8.80\ \mathrm{h}

    Resposta

    A ferramenta indica um período de 11,97 h, 10,021 km/s no periapside e 1,497 km/s no apoapside. O passo 5 é a razão de ser desses números: 8,80 horas de cada órbita de 11,97 horas são passadas para lá de r = a, e apenas 3,17 horas no seu interior. Três satélites em planos desfasados cobrem, portanto, um dia inteiro com mais de duas horas de sobreposição, que foi a forma como a rede soviética Molniya deu à Rússia de latitudes elevadas televisão contínua — um satélite geostacionário fica no horizonte nessas latitudes e é inútil. E ½ + e/π não contém nenhum μ nem nenhum a: uma órbita com excentricidade de 0,74 em torno de qualquer corpo passa 73,6% da sua vida no lado distante.

    tr>aT=12+eπ(a, μ cancel)\frac{t_{r>a}}{T}=\frac12+\frac{e}{\pi}\qquad(a,\ \mu\ \text{cancel})

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Referências (1)
  • The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.