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Equação de Tsiolkovsky

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — a equação que rege o voo espacial

A carregar a simulação interativa...

a tirania da equação do foguete

Cada quilograma de carga útil precisa de propelente para se acelerar — mas esse propelente também tem massa, que precisa de mais propelente. O custo cresce exponencialmente. Para dobrar o delta-v, você precisa aproximadamente elevar ao quadrado a razão de massa. É por isso que o Saturn V pesava 2.900 toneladas na decolagem e entregou apenas 45 toneladas à Lua. Veja a animação: na ignição, o tanque de propelente domina todo o foguete; no final da queima, quase nada resta.

Por que os foguetes lançam massa para trás

Um foguete não tem contra o que empurrar, então avança expelindo propelente para trás: cada quilograma lançado para trás à velocidade de exaustão ve empurra a nave para a frente (terceira lei de Newton). Ao somar esses empurrões enquanto a nave fica cada vez mais leve, surge o logaritmo. A lição prática: o quão rápido você expele o gás — o que o impulso específico mede — importa mais do que quanto combustível você carrega; dobrar ve dobra o seu Δv com exatamente a mesma razão de massas.

A equação sobrevive à relatividade

Troque o Δv newtoniano pela rapidez — a grandeza relativista que ainda se soma de forma linear — e exatamente a mesma forma, o logaritmo da razão de massas, vale a qualquer velocidade. Assim, o orçamento de Δv de um foguete não tem teto, mesmo que sua velocidade nunca possa alcançar c. A armadilha é brutal: um foguete de fótons de matéria e antimatéria (ve = c) precisa, para atingir 0.9c, de uma razão de massas próxima de 4.4, e uma viagem de ida e volta que também freia em cada ponta eleva isso à quarta potência — mais de 350.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Alcançar a órbita com uma razão de massa de 4,5 e 311 s de impulso específico 5 passos

    Um andar transporta 3,5 toneladas de propelente por cada 1 tonelada de tudo o resto — tanques, motor e carga útil combinados — alimentado por um motor de 311 s de impulso específico. Encontre o seu Δv e, em seguida, determine se um único andar construído dessa forma poderia alguma vez alcançar a órbita. Essa razão entre a massa carregada e a massa vazia é uma razão de massa de 4,5, e 311 s é o valor fornecido pela predefinição do primeiro andar do Saturno V na ferramenta — perto do topo do intervalo querosene-oxigénio, que vai de cerca de 260 s ao nível do mar a 310 s no vácuo.

    1. O impulso específico expresso em segundos é a velocidade de exaustão disfarçada: é a velocidade de exaustão dividida pela gravidade padrão, pelo que multiplicá-lo de volta recupera o número de que a equação do foguete realmente precisa. Usam-se segundos porque o valor resulta no mesmo em unidades imperiais, não porque algo dure 311 s.

      ve=Isp g0=311×9.80665=3050 m/sv_e=I_{sp}\,g_0=311\times9.80665=3050\ \mathrm{m/s}

    2. O logaritmo aceita uma razão, pelo que apenas as proporções importam. Um andar de 3 toneladas e um andar de 3000 toneladas construídos nestas proporções debitam os mesmos 4,587 km/s.

      Δv=veln⁡ ⁣(m0mf)=3.050×ln⁡4.5=3.050×1.5041=4.587 km/s\Delta v=v_e\ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right)=3.050\times\ln 4.5 =3.050\times1.5041=4.587\ \mathrm{km/s}

    3. Leia-se antes a mesma razão de massa como uma fração da massa de lançamento. Quase quatro quintos do andar são propelente, e isso comprou menos de metade do que custa um lançamento para a órbita.

      fp=1−mfm0=1−14.5=77.78%f_p=1-\frac{m_f}{m_0}=1-\frac{1}{4.5}=77.78\%

    4. Portanto, aplique-se a equação em sentido inverso a partir do objetivo. Alcançar a órbita baixa terrestre a partir do solo exige cerca de 9,4 km/s uma vez contabilizadas as perdas por arrasto e gravidade, e a esta velocidade de exaustão isso fixa a razão de massa necessária — deixando 4,6% da massa de descolagem para tanques, motor, estrutura e satélite juntos.

      m0mf=eΔv/ve=e9.4/3.050=e3.082=21.80⟹fp=1−121.80=95.4%\frac{m_0}{m_f}=e^{\Delta v/v_e}=e^{9.4/3.050}=e^{3.082}=21.80 \quad\Longrightarrow\quad f_p=1-\tfrac{1}{21.80}=95.4\%

    5. Ninguém constrói tanques tão leves. Um andar a querosene bem construído tem cerca de 8% de estrutura em relação à massa carregada, e só isso limita a razão de massa a 12,5 antes de se adicionar um único quilograma de carga útil. O que resta de 9,4 km/s é o défice.

      ε=0.08 ⟹ (m0mf)max⁡=10.08=12.5,Δvmax⁡=3.050ln⁡12.5=7.703 km/s  (9.4−7.703=1.70)\varepsilon=0.08\ \Longrightarrow\ \left(\frac{m_0}{m_f}\right)_{\max}=\frac{1}{0.08}=12.5, \quad \Delta v_{\max}=3.050\ln 12.5=7.703\ \mathrm{km/s}\ \ (9.4-7.703=1.70)

    Resposta

    A ferramenta indica uma velocidade de exaustão de 3050 m/s, 4,587 km/s de Δv e uma fração de propelente de 77,78%. O último passo é a razão de ser da equação, porque ela não diz que um único andar seria difícil — diz que o Δv não existe, com uma carga útil de zero. Mesmo com 6% de estrutura, perto do melhor que um grande andar a querosene atinge, o total só chega a 8,58 km/s. Cobrir 9,4 km/s num único andar com 8% de estrutura exigiria um impulso específico de 380 s, um quinto a mais do que este motor e além de qualquer motor a querosene alguma vez utilizado em voo; os motores de hidrogénio-oxigénio atingem cerca de 450 s, razão pela qual todo o estudo sério sobre um andar único para órbita tem sido sobre hidrogénio. A outra saída é deixar de transportar o tanque vazio: largue-se o tanque e a equação recomeça com um m₀ muito menor, o que torna a divisão em andares não uma otimização, mas a solução alternativa para uma impossibilidade.

    Isp ≥ Δvg0ln⁡(1/ε)=94009.807×2.526=380 sI_{sp}\ \ge\ \frac{\Delta v}{g_0\ln(1/\varepsilon)} =\frac{9400}{9.807\times2.526}=380\ \mathrm{s}
  2. Custo de propulsor para um foguetão a conseguir 4,587 km/s para atingir órbita 6 passos

    O painel diz que este foguetão consegue 4,587 km/s com 77,78 % da massa à descolagem em propelente. Uma órbita pede cerca de 9,4. O dobro da velocidade não significa o dobro do combustível — calcule quanto custa de facto, e depois como se contornou o problema.

    1. Comece onde o painel está. A velocidade de exaustão é apenas o impulso específico vezes g₀, e o Δv sai só da razão de massas.

      ve=Isp g0=311×9.807=3050 m s−1,Δv=veln⁡4.5=4.587 km s−1v_e=I_{sp}\,g_0=311\times9.807=3050\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad \Delta v=v_e\ln 4.5=4.587\ \mathrm{km\,s^{-1}}

    2. Leia a fração de propelente à letra: com uma razão de 4,5, tudo exceto uma parte em 4,5 é combustível que se deita fora.

      mpm0=1−14.5=0.7778\frac{m_p}{m_0}=1-\frac{1}{4.5}=0.7778

    3. Peça agora ao mesmo motor 9,4 km/s. Inverta a equação do foguetão e a razão de massas não duplica — dispara exponencialmente até 21,80.

      Δv=9.4 km s−1:m0mf=e9400/3050=e3.082=21.80⟹mpm0=0.9541\Delta v=9.4\ \mathrm{km\,s^{-1}}:\qquad \frac{m_0}{m_f}=e^{9400/3050}=e^{3.082}=21.80\quad\Longrightarrow\quad \frac{m_p}{m_0}=0.9541

    4. Veja o que significam 95,41 % antes de avançar. Depósitos, motores, estrutura, guiamento e carga útil repartem 4,59 % da massa na rampa. Não é um objetivo difícil de engenharia: é aproximadamente uma bolha de sabão que tem de sobreviver a um lançamento.

    5. Divida então o trabalho em dois. Cada andar faz 4,7 km/s e precisa de uma razão de 4,669 — e multiplicadas devolvem exatamente 21,80.

      Δv1=Δv2=4.7:R1=e4700/3050=4.669,R1R2=4.6692=21.80\Delta v_1=\Delta v_2=4.7:\qquad R_1=e^{4700/3050}=4.669,\qquad R_1R_2=4.669^{2}=21.80

    6. Porquê multiplicadas: o Δv soma-se, e o Δv é um logaritmo da razão. Uma soma de logaritmos é o logaritmo de um produto.

      ∑iΔvi=ve∑iln⁡Ri=veln⁡∏iRi\sum_i \Delta v_i=v_e\sum_i \ln R_i=v_e\ln\prod_i R_i

    Resposta

    Os andares não reduzem a razão de massas. Fatorizam-na. 21,80 é inalcançável de uma só peça e trivial como duas cópias de 4,669, e o truque é honesto porque os depósitos vazios do primeiro andar deixam de ser carga no instante em que são largados. Cada andar fica então com 78,58 % de propelente — e olhe outra vez para o painel, que mostra 77,78 % desde o início. A predefinição não é um foguetão que chega à órbita: é um andar de um foguetão que chega.

    ∏iRi=21.80:95.41% ⟷ 78.58%+78.58%\prod_i R_i=21.80:\qquad 95.41\%\ \longleftrightarrow\ 78.58\%+78.58\%

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Referências (1)
  • The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.