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Calculadora de ondas gravitacionais

Insira as duas massas, a distância e a frequência inicial para ver a massa chirp, a linha do tempo da fusão e a intensidade do sinal.

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Um braço de quatro quilômetros se move menos que um próton

O LIGO detecta uma onda gravitacional observando dois braços a laser de 4 quilômetros se esticarem e se comprimirem em cerca de uma parte em 10²¹ — uma distorção algumas centenas de vezes menor que a largura de um próton. Esse sinal só se torna confiável porque a mesma forma de onda precisa aparecer em detectores separados por milhares de quilômetros, permitindo distinguir um chirp real de ruídos locais, como caminhões passando ou terremotos distantes. A frequência também não permanece fixa: à medida que os dois objetos espiralam um em direção ao outro, a energia orbital é liberada como radiação gravitacional, fazendo a onda subir em frequência até o momento da fusão — o 'chirp' que dá nome à curva desta ferramenta.

O que a massa de chirp revela

Quando dois objetos compactos espiralam um em direção ao outro, eles não emitem suas duas massas separadamente. A forma de onda é determinada quase inteiramente por uma única combinação, a massa de chirp Mc = (m1m2)3/5/(m1+m2)1/5. Esse único número controla a rapidez com que a frequência sobe, então medir o ritmo do chirp entrega a massa de chirp diretamente. É por isso que esta ferramenta a coloca em primeiro plano.

Fusões como sirenes padrão

A amplitude de uma onda gravitacional depende da verdadeira distância de luminosidade da fonte de um modo que os físicos podem calcular a partir de primeiros princípios — sem calibração com cefeidas ou supernovas. Isso torna cada fusão uma sirene padrão: o chirp dá as massas, a amplitude dá a distância. Combine isso com um desvio para o vermelho e você obtém uma medição independente da constante de Hubble — foi exatamente assim que a fusão de estrelas de nêutrons GW170817, em 2017, contribuiu para a questão de quão rápido o universo se expande.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. 36 e 29 massas solares a 440 Mpc 6 passos

    36 e 29 massas solares a 440 Mpc. Determine a massa chirp, a duração do sinal e a distância que os espelhos do LIGO realmente se deslocam — em seguida, encontre o único número no painel que não depende de nenhuma das entradas.

    1. As duas massas entram na forma de onda em apenas uma combinação, e é esta. A massa chirp é o que um detetor mede diretamente — as massas individuais têm de ser extraídas mais tarde, a partir da parte do sinal que esta fórmula não consegue ver.

      M=(m1m2)3/5(m1+m2)1/5=(36×29)3/5651/5=10440.6650.2=64.772.305=28.1 M⊙\mathcal{M}=\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}=\frac{(36\times29)^{3/5}}{65^{1/5}}=\frac{1044^{0.6}}{65^{0.2}}=\frac{64.77}{2.305}=28.1\,M_\odot

    2. O tempo até à fusão varia com a massa chirp elevada a −5/3 e com a frequência de entrada elevada a −8/3. Ambos os expoentes são grandes, pelo que ambas as entradas contam muito mais do que parece.

      τ≈2.18(1.21M)5/3 ⁣(100f0)8/3=2.18 (0.04306)5/3(5)8/3=0.843 s\tau\approx2.18\left(\frac{1.21}{\mathcal{M}}\right)^{5/3}\!\left(\frac{100}{f_0}\right)^{8/3}=2.18\,(0.04306)^{5/3}(5)^{8/3}=0.843\ \mathrm{s}

    3. A órbita circular estável mais interna é onde a inspiral tem de parar, e a sua frequência varia inversamente com a massa total: um sistema binário mais pesado funde-se a uma frequência mais baixa. Para 65 massas solares, isso corresponde a 68 Hz — perto do limite inferior da banda do LIGO, razão pela qual este evento foi ouvido como um baque em vez de um chirp.

      fISCO=c366 πGMtot=2.694×102514.70×2.711×1022=67.6 Hzf_{\mathrm{ISCO}}=\frac{c^{3}}{6\sqrt6\,\pi G M_{\text{tot}}}=\frac{2.694\times10^{25}}{14.70\times2.711\times10^{22}}=67.6\ \mathrm{Hz}

    4. A deformação é adimensional: é o alongamento fracionário do espaço. Multiplique pelo comprimento do braço para obter uma distância.

      hpeak≈1.16×10−21 ⟹ ΔL=4000×1.16×10−21=4.6×10−18 mh_{\text{peak}}\approx1.16\times10^{-21}\ \Longrightarrow\ \Delta L=4000\times1.16\times10^{-21}=4.6\times10^{-18}\ \mathrm{m}

    5. Compare essa distância com algo. Um protão tem 8,4 × 10⁻¹⁶ m no seu raio de carga, e os espelhos moveram-se menos de um centésimo disso.

      4.6×10−188.41×10−16=1181 of a proton’s radius\frac{4.6\times10^{-18}}{8.41\times10^{-16}}=\frac{1}{181}\ \text{of a proton's radius}

    6. Agora, a linha que nunca muda. Nada a respeito do sistema binário passa para ela — isto é um teto, não uma medição.

      LGW∼c55G=2.42×10423.34×10−10=7.26×1051 W=1.90×1025 L⊙L_{\mathrm{GW}}\sim\frac{c^{5}}{5G}=\frac{2.42\times10^{42}}{3.34\times10^{-10}}=7.26\times10^{51}\ \mathrm{W}=1.90\times10^{25}\,L_\odot

    Resposta

    A luminosidade, e é c⁵/5G. Todas as outras linhas se movem quando altera um cursor; aquela é 1,90 × 10²⁵ L☉ quaisquer que sejam as massas, a distância ou a frequência inicial, porque é construída a partir da velocidade da luz e da constante gravitacional e de mais nada. É a maior potência que qualquer processo na relatividade geral pode radiar e, durante alguns milissegundos, esta fusão esteve a emitir mais potência do que a emitida sob a forma de luz por todas as estrelas do universo observável. O outro extremo da escala está no mesmo painel: 1,16 × 10⁻²¹ de deformação ao longo dos braços de 4 km do LIGO é uma variação de comprimento de 4,6 × 10⁻¹⁸ m, o que é uma 181.ª parte do raio de um protão. Ambos os números descrevem o mesmo evento.

    M=28.1 M⊙, τ=843 ms, fISCO=67.6 Hz, LGW=c55G\mathcal{M}=28.1\,M_\odot,\ \tau=843\ \mathrm{ms},\ f_{\mathrm{ISCO}}=67.6\ \mathrm{Hz},\ L_{\mathrm{GW}}=\frac{c^{5}}{5G}
  2. Duas estrelas de neutrões com 1,4 massas solares cada a 100 Mpc 5 passos

    Duas estrelas de neutrões com 1,4 massas solares cada, a 100 Mpc. Preveja cada linha a partir da resposta dos buracos negros acima sem recalcular nada, utilizando apenas os expoentes.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Recalcule apenas a massa chirp. Para massas iguais, ela reduz-se a 2−1/5 vezes a massa comum, o que dá 1,22 para um par de 1,4.

      M=(1.4×1.4)3/52.81/5=1.960.62.80.2=1.48691.2200=1.22 M⊙\mathcal{M}=\frac{(1.4\times1.4)^{3/5}}{2.8^{1/5}}=\frac{1.96^{0.6}}{2.8^{0.2}}=\frac{1.4869}{1.2200}=1.22\,M_\odot

    2. Tudo o resto é uma razão. O expoente da duração é −5/3, pelo que deve formar primeiro a razão entre massas e elevá-la uma vez.

      τNSτBH=(MBHMNS)5/3=(28.101.219)5/3=23.055/3=187\frac{\tau_{\mathrm{NS}}}{\tau_{\mathrm{BH}}}=\left(\frac{\mathcal{M}_{\mathrm{BH}}}{\mathcal{M}_{\mathrm{NS}}}\right)^{5/3}=\left(\frac{28.10}{1.219}\right)^{5/3}=23.05^{5/3}=187

    3. Aplique-a aos 0,843 s do problema anterior. Sem integrais, sem constantes, sem nenhuma fórmula para além do expoente.

      τ=0.843×187=157 s=2.6 min\tau=0.843\times187=157\ \mathrm{s}=2.6\ \text{min}

    4. A frequência da ISCO é inversamente proporcional à massa total, pelo que o mesmo truque com um expoente muito menor dá a frequência no final.

      fISCO∝1Mtot:67.6×652.8=1570 Hzf_{\mathrm{ISCO}}\propto\frac{1}{M_{\text{tot}}}:\quad 67.6\times\frac{65}{2.8}=1570\ \mathrm{Hz}

    5. A deformação comporta duas dependências em simultâneo — aumenta com a massa chirp elevada a 5/3, diminui com a distância — e este par é simultaneamente mais leve e mais próximo, pelo que os efeitos se anulam parcialmente.

      h∝M5/3dL:1.16×10−21×(1.21928.10)5/3×440100=2.2×10−22h\propto\frac{\mathcal{M}^{5/3}}{d_L}:\quad 1.16\times10^{-21}\times\left(\frac{1.219}{28.10}\right)^{5/3}\times\frac{440}{100}=2.2\times10^{-22}

    Resposta

    Toda a diferença reside numa única lei de potência: 187. A massa chirp cai de 28,10 para 1,22 e, como o tempo de inspiral varia com ℳ−5/3, dividir por 23 a massa multiplica o tempo por 235/3 = 187. Isso transforma 0,84 segundos em 157, razão pela qual a fusão de estrelas de neutrões é a única que o LIGO pode anunciar enquanto ainda está a acontecer — 2,6 minutos é tempo suficiente para apontar telescópios, e o GW170817 é a razão pela qual alguém viu a quilonova. A mesma alavanca funciona contra si no outro extremo: fISCO varia como 1/M, pelo que a fusão termina a 1570 Hz, bem acima de onde os detetores são mais sensíveis. Binários leves são fáceis de ouvir aproximar-se e difíceis de ouvir chegar.

    M=1.22 M⊙ ⟹ τ×187,fISCO×23,h÷5\mathcal{M}=1.22\,M_\odot\ \Longrightarrow\ \tau\times187,\quad f_{\mathrm{ISCO}}\times23,\quad h\div5
Referências (3)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.