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Comparação de Luminosidade Solar

Use L/L☉ = (R/R☉)² (T/T☉)⁴ para estimar a luminosidade estelar relativa e absoluta.

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Lição

A teoria — Comparação de Luminosidade Solar

A luminosidade é a potência radiante total — cada watt que uma estrela emite em todas as direções ao mesmo tempo. Não é o quão brilhante a estrela parece: o brilho aparente diminui com a distância, a luminosidade não.

O que significa cada símbolo

L
a luminosidade da estrela, dada aqui tanto como um múltiplo da do Sol como em watts.
R
o raio da estrela. Entra ao quadrado, porque o que radia é a superfície, e a área da superfície varia com R².
T
a temperatura efetiva da superfície, em kelvin. Entra elevada à quarta potência, pela lei de Stefan-Boltzmann.
L☉
o índice solar, utilizado como unidade. Os valores aqui predefinidos são os nominais da IAU: L☉ = 3.828 × 10²⁶ W e T☉ = 5772 K.

Como ler o que vê

Dois painéis, e a sua ordem é fundamental. O primeiro dá a luminosidade como uma razão em relação ao Sol, diretamente a partir de (R/R☉)²(T/T☉)⁴ — com os valores predefinidos isso resulta em 1 · 1 = 1 L☉. Apenas o segundo converte a razão em watts, multiplicando por L☉ = 3.828 × 10²⁶ W. A razão não precisa de nenhuma constante física; os watts precisam de uma.

Pressupõe
Uma esfera a radiar como um corpo negro ideal a uma única temperatura. As estrelas reais apresentam escurecimento de bordo, são achatadas pela rotação e estão cobertas de manchas — e a temperatura efetiva é definida como a temperatura de corpo negro que produziria a potência observada, pelo que a lei da quarta potência se aplica aqui por definição e não por medição.
Falha quando
Nada aqui tem em conta o que se encontra entre a estrela e o telescópio: a poeira interestelar atenua e avermelha a luz, pelo que uma luminosidade inferida a partir do brilho observado necessita de uma correção de extinção que esta página não modela. E o raio estelar não é uma superfície onde alguém pudesse pisar — é a profundidade à qual o gás deixa de ser opaco.

Comparar duas estrelas nunca precisa da constante de Stefan-Boltzmann

O detalhamento mostra primeiro uma razão e depois watts, e essa ordem não é decorativa. Escreva L = 4πR²σT⁴ uma vez para a estrela e outra para o Sol, e divida: 4π e σ são idênticos nas duas linhas e se cancelam, restando (R/R☉)²(T/T☉)⁴. As unidades se cancelam com eles, então bastam duas razões simples — a ferramenta dá Vega em 42,7 luminosidades solares antes de usar qualquer constante física. Os watts aparecem só na segunda linha, onde esse 42,7 é multiplicado por uma luminosidade solar, 3,828 × 10²⁶ W.

A temperatura pesa mais que o tamanho

A luz total emitida por uma estrela depende de duas coisas: seu tamanho e quão quente é sua superfície. Mas a temperatura pesa muito mais, pois entra na fórmula elevada à quarta potência, enquanto o raio fica apenas ao quadrado. Por isso Vega — com apenas 2,4 vezes o raio do Sol — brilha cerca de 40 vezes mais: sua superfície de aproximadamente 9600 K faz o trabalho pesado.

Uma estrela quente mais fraca que o Sol

A temperatura da superfície sozinha não torna uma estrela luminosa — o tamanho também tem voz. Uma anã branca pode brilhar a 25.000 K, mais de quatro vezes mais quente que o Sol, e ainda assim irradiar apenas alguns por cento da luz solar. O motivo é seu corpo do tamanho da Terra: com um raio próximo de 0,01 R☉, o termo R² reduz a emissão apesar do calor intenso. Quente nem sempre significa brilhante.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

  1. Ponha a temperatura em metade da solar, 2886 K. Que tamanho teria a estrela de ter para continuar a emitir exatamente 1 L☉ — e onde é que a taxa de câmbio está escrita?

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    R = 4 R☉, e a decomposição mostra porquê: 16 · 0.063 = 1 L☉. O termo do raio ganha exatamente o fator 16 que o da temperatura perde. A taxa de câmbio está no bloco Local sensitivity — +1% T → +4% L contra +1% R → +2% L —, portanto um por cento de temperatura vale dois de raio, e compensar uma temperatura reduzida a metade exige quadruplicar o raio, não duplicá-lo.

  2. Ponha agora o raio em 10 R☉ com a temperatura solar, o que dá uma razão de 100. O que indica a linha da magnitude, e porque é o número tão redondo?

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    Exatamente −5.00. A escala de magnitudes está definida para que cinco magnitudes sejam um fator 100: ΔM = −2.5 log₁₀(L/L☉), e log₁₀(100) = 2. É por isso que uma única magnitude vale o incómodo 100^(1/5) ≈ 2.512 e nada mais limpo — o número redondo foi posto no fator 100 e tinha de sair de algum lado. Repare também no sinal: mais brilhante é mais baixo, por isso uma estrela 100 vezes o Sol fica cinco magnitudes abaixo dele.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Luminosidade e diferença de magnitude de Rigel a 78,9 raios solares 6 passos

    Rigel: 78,9 raios solares a 12 100 K. Calcule a sua luminosidade e o seu desvio de magnitude e, em seguida, diga qual dos dois dados de entrada preferiria medir com precisão. Este é o estado Rigel.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Toda a ferramenta se resume a uma equação, que é a lei de Stefan dividida por si mesma. Tudo se simplifica, exceto as duas razões.

      L=4πR2σT4 ⟹ LL⊙=(RR⊙)2(TT⊙)4L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}\ \Longrightarrow\ \frac{L}{L_\odot}=\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{2}\left(\frac{T}{T_\odot}\right)^{4}

    2. Calcule os fatores separadamente, porque a questão é o quão desiguais eles são. O raio contribui com três ordens de grandeza, a temperatura com pouco mais de uma.

      (RR⊙)2=78.92=6.225×103;(121005772)4=2.09634=19.311\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{2}=78.9^{2}=6.225\times10^{3};\qquad \left(\frac{12100}{5772}\right)^{4}=2.0963^{4}=19.311

    3. Multiplique e, em seguida, reescale pela luminosidade solar para sair do mundo adimensional.

      LL⊙=6225×19.311=1.202×105 ⟹ L=4.602×1031 W\frac{L}{L_\odot}=6225\times19.311=1.202\times10^{5}\ \Longrightarrow\ L=4.602\times10^{31}\ \mathrm{W}

    4. As magnitudes são −2,5 log₁₀ de uma razão de fluxos, pelo que um fator de 120 000 se torna 12,7 magnitudes mais brilhante. O sinal de menos é a convenção dos astrónomos segundo a qual mais brilhante significa menor.

      ΔM=−2.5log⁡10 ⁣(1.202×105)=−2.5×5.080=−12.70\Delta M=-2.5\log_{10}\!\left(1.202\times10^{5}\right)=-2.5\times5.080=-12.70

    5. As linhas de sensibilidade são apenas os expoentes, lidos como elasticidades. Esta é a forma útil quando está a decidir o que medir.

      ∂ln⁡L∂ln⁡T=4,∂ln⁡L∂ln⁡R=2 ⟹ +1% T→+4% L\frac{\partial\ln L}{\partial\ln T}=4,\quad \frac{\partial\ln L}{\partial\ln R}=2\ \Longrightarrow\ +1\%\ T\to+4\%\ L

    6. Converta a razão numa duração e ela deixa de ser abstrata.

      1.202×105 days365.25=329 years of sunlight, per day\frac{1.202\times10^{5}\ \text{days}}{365.25}=329\ \text{years of sunlight, per day}

    Resposta

    A temperatura, por um fator de dois; o raio, por um fator de trezentos. Não há contradição: trata-se da diferença entre erro relativo e erro absoluto. Na lei de Stefan-Boltzmann, a temperatura tem expoente 4 e o raio, expoente 2. Assim, um erro de 1% em T tem o dobro do efeito de um erro de 1% em R; é essa a sensibilidade indicada no painel. Contudo, Rigel tem 78,9 raios solares e uma temperatura de apenas 2,1 vezes a do Sol. Por isso, o fator associado ao raio contribui com 6.225 dos 120.000, enquanto o da temperatura contribui com apenas 19,3. O expoente indica qual medição exige mais cuidado; o valor revela de onde vem efetivamente a luminosidade. Num só dia, Rigel irradia o que o Sol leva 329 anos a irradiar.

    LL⊙=(RR⊙)2 ⁣(TT⊙)4=1.202×105,ΔM=−12.70\frac{L}{L_\odot}=\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{2}\!\left(\frac{T}{T_\odot}\right)^{4}=1.202\times10^{5},\qquad \Delta M=-12.70
  2. Luminosidade da Proxima Centauri a 0,1542 raios solares e 3042 K 5 passos

    Proxima Centauri: 0,1542 raios solares a 3042 K. Obtenha a sua luminosidade e, em seguida, verifique a escala de magnitudes comparando-a com Rigel. Este é o estado Proxima Centauri.

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    1. Os mesmos dois fatores, ambos agora abaixo de um. Note-se que a razão de temperaturas é de apenas metade e, ainda assim, custa um fator de treze, porque é elevada à quarta.

      (RR⊙)2=0.15422=0.02378;(30425772)4=0.52704=0.07713\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^{2}=0.1542^{2}=0.02378;\qquad \left(\frac{3042}{5772}\right)^{4}=0.5270^{4}=0.07713

    2. O produto é 1,834 × 10⁻³ do Sol — 1 parte em 545 —, razão pela qual a estrela mais próxima de nós é invisível sem um telescópio.

      LL⊙=0.02378×0.07713=1.834×10−3 ⟹ L=7.022×1023 W\frac{L}{L_\odot}=0.02378\times0.07713=1.834\times10^{-3}\ \Longrightarrow\ L=7.022\times10^{23}\ \mathrm{W}

    3. Uma luminosidade abaixo de um dá um desvio de magnitude positivo — 6,84 magnitudes mais ténue do que o Sol.

      ΔM=−2.5log⁡10 ⁣(1.834×10−3)=+6.84\Delta M=-2.5\log_{10}\!\left(1.834\times10^{-3}\right)=+6.84

    4. Agora a verificação cruzada. Calcule diretamente a razão das duas luminosidades.

      LRigelLProxima=1.202×1051.834×10−3=6.55×107\frac{L_{\text{Rigel}}}{L_{\text{Proxima}}}=\frac{1.202\times10^{5}}{1.834\times10^{-3}}=6.55\times10^{7}

    5. Em seguida, calcule a diferença entre as duas magnitudes e inverta o logaritmo. Os dois caminhos têm de coincidir, e essa concordância é o que confirma que a escala de magnitudes é um logaritmo e nada mais.

      ΔMProxima−ΔMRigel=6.84−(−12.70)=19.54;1019.54/2.5=6.55×107\Delta M_{\text{Proxima}}-\Delta M_{\text{Rigel}}=6.84-(-12.70)=19.54;\qquad 10^{19.54/2.5}=6.55\times10^{7}

    Resposta

    1,834 × 10⁻³ L☉, e Rigel supera-a em brilho por 6,55 × 10⁷. A verificação é o ponto essencial: os dois desvios de magnitude são −12,70 e +6,84, uma diferença de 19,54 magnitudes, e 1019,54/2,5 é 6,55 × 10⁷ — o mesmo número que as luminosidades fornecem diretamente. Isto não é uma coincidência, é a própria definição; a escala de magnitudes foi ajustada à resposta do olho no século II a.C. e formalizada como exatamente cinco magnitudes por cada fator de 100 em 1856. Aqui, ambos os fatores de Proxima atuam para baixo, raio e temperatura juntos, razão pela qual uma estrela 6,5 vezes menor do que o Sol em raio acaba por ser 545 vezes mais ténue.

    1.834×10−3 L⊙, ΔM=+6.84;19.54 mag=1019.54/2.5=6.55×1071.834\times10^{-3}\,L_\odot,\ \Delta M=+6.84;\qquad 19.54\ \text{mag}=10^{19.54/2.5}=6.55\times10^{7}

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Referências (1)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.